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1、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法第三章第三章 行波法与积分变换法行波法与积分变换法一 行波法3适用范围： 无界域内波动方程，等1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。7/19/20241数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法7/19/20242数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法一维波动方程
2、的达朗贝尔公式 行波法 7/19/20243数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。a. 只有初始位移时， 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波4 解的物理意义b. 只有初始速度时：假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于07/19/20244数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法解：将初始条件代入达朗贝尔公式5 达朗贝尔公式的应用7/19/20245数学物理方程与
3、特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法影响区域决定区域依赖区间特征线特征变换行波法又叫特征线法6 相关概念7/19/20246数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法7 非齐次问题的处理(齐次化原理)利用叠加原理将问题进行分解：7/19/20247数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法利用齐次化原理，若 满足：则：令：7/19/20248数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法从而原问题的解
4、为7/19/20249数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法7/19/202410数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法特征方程7/19/202411数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例1 解定解问题解7/19/202412数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例2 求解解：特征方程为令：7/19/202413数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波
5、法与积分变换法章行波法与积分变换法例3 求解Goursat问题解：令7/19/202414数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法思考题：求解如下定解问题7/19/202415数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法二 积分变换法1 傅立叶变换法傅立叶变换的性质微分性位移性积分性相似性傅立叶变换的定义偏微分方程变常微分方程7/19/202416数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例1 解定解问题解：利用傅立叶变换的性质7/19/2
6、02417数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法7/19/202418数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例2 解定解问题解：利用傅立叶变换的性质7/19/202419数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法2 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换的性质微分性相似性拉普拉斯变换的定义偏微分方程变常微分方程7/19/202420数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例3 解定解问题解：
7、对t求拉氏变换7/19/202421数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例4 解定解问题解：对x求傅氏变换对t求拉氏变换7/19/202422数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法7/19/202423数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例5 解定解问题解：对t求拉氏变换对x求傅氏变换7/19/202424数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法7/19/202425数学
8、物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例6 求方程 满足边界条件 ， 的解。 解法一：7/19/202426数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法解法二：对y求拉氏变换7/19/202427数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例7 解定解问题解：对t取拉氏变换x取傅立叶变换其中7/19/202428数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法7/19/202429数学物理方程与特殊
9、函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法7/19/202430数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法7/19/202431数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法3 积分变换法求解问题的步骤对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程对定解条件做相应的积分变换，导出新方程变的为定解条件对常微分方程，求原定解条件解的变换式对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的解4 积分变换法求解问题的注意事项如何选取适当的积分变换定解条件中那些需要积分变换，
10、那些不需取如何取逆变换思考利用积分变换方法求解问题的好处是什么？7/19/202432数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法三. 三维波动方程的柯西问题7/19/202433数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法球对称情形球对称情形所谓球对称是指所谓球对称是指与无关，则波动方程可化简为7/19/202434数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法半无界问题7/19/202435数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3
11、章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法这是关于这是关于 v = r u 的一维半无界波动方程的一维半无界波动方程.7/19/202436数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法一般情形我们利用球平均法。我们利用球平均法。从从物理上看，波具有球对称性。从数学上看，总希望把物理上看，波具有球对称性。从数学上看，总希望把高维化为一维情形来处理，并设法化为可求通解的情况。高维化为一维情形来处理，并设法化为可求通解的情况。所谓球平均法，即对空间任一点（所谓球平均法，即对空间任一点（x，y，z），），考虑考虑 u 在在以（以（x，y，z）为球心，为球
12、心，r 为半径的球面上的平均值为半径的球面上的平均值其中为球的为球的半径半径的方向余弦，7/19/202437数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法如如把把 x, y, z 看作参变量，则看作参变量，则是是 r，t的函数，若能的函数，若能求出求出 ，再令，再令则为此把波动方程的两边在以为此把波动方程的两边在以x，y，z为中心，为中心，r为半径的为半径的球体球体 内积分，并应用内积分，并应用Gauss公式，可得公式，可得（*1）7/19/202438数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换
13、法同时有同时有由（由（*1）(*2)可得可得（*2）关于关于r 微分，得微分，得（*3）利用球面平均值的定义，（利用球面平均值的定义，（*3）可写成）可写成（*4）7/19/202439数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法（*4）又可改写为）又可改写为7/19/202440数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法通解为通解为令令 r 0，有有代入上式，得（*5）关于关于 r 微分，微分，再令再令 r 0，有有（*6）7/19/202441数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第
14、第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法接下来，求满足初值的解。对（接下来，求满足初值的解。对（*5）关于）关于 t 微分，微分，（*7）（*6）和（*7）相加即得即把代入上式，得代入上式，得7/19/202442数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法7/19/202443数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法从而有从而有7/19/202444数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法7/19/202445数学物理方程与特殊
15、函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法Poisson公式公式7/19/202446数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法四. 二维波动方程如果我们把上述问题中的初值视为如果我们把上述问题中的初值视为重复推导重复推导Poisson公式的过程，将会公式的过程，将会发现所得发现所得Poisson公式中不含第三个变量。公式中不含第三个变量。降维法：降维法：由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维波动方程柯西问题的方法。波动方程柯西问题的方法。 由由Hadamard最早提出的
16、。最早提出的。7/19/202447数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法计算上述曲面积分。由于初始数据与第三个变量无关，计算上述曲面积分。由于初始数据与第三个变量无关，因此，在因此，在 上的球面积分可由在圆域上的球面积分可由在圆域上的上的积分得到。积分得到。7/19/202448数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法因此因此7/19/202449数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法物理意义物理意义惠更斯原理（无后效性现象）惠更斯原理（无后效性现象）三维情形三维情形二维情形二维情形波的弥散（后效现象）波的弥散（后效现象）7/19/202450
