《2022年抽象函数与具体函数值域的求法》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年抽象函数与具体函数值域的求法(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1 抽象函数与具体函数值域的求法例 1 已知函数 f(x)对任意实数x、y 均有 f(xy)f(x)f(y),且当 x0时, f(x)0, f(1) 2 求 f(x)在区间 2,1上的值域 . 分析:先证明函数f( x)在 R 上是增函数(注意到f(x2) f(x2x1)x1f(x2x1) f( x1);再根据区间求其值域. 例 2 已知函数 f(x)对任意实数x、y 均有 f(xy) 2f(x)f(y),且当 x0 时, f(x)2,f(3) 5,求不等式f(a22a2)0,xN; f(ab)f(a)f(b), a、 bN;f(2) 4.同时成立?若存在,求出f(x)的解析式,若不存在,说明
2、理由. 分析:先猜出f(x)2x;再用数学归纳法证明. 例 6 设 f(x)是定义在( 0,)上的单调增函数,满足f(xy) f(x)f(y), f(3) 1,求:(1)f(1);(2) 若 f( x) f(x8) 2,求 x 的取值范围 . 分析:( 1)利用 31 3;(2)利用函数的单调性和已知关系式. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - 2 例 7 设函数 y f(x)的反函数是y g(x).如果 f(ab)
3、 f(a) f(b),那么 g(ab) g(a) g(b)是否正确,试说明理由. 分析:设 f( a)m,f(b) n,则 g( m) a,g(n)b,进而 mn f(a) f(b)f(ab) f g(m)g(n). 例 8 已知函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件: x1、x2是定义域中的数时,有f(x1x2); f(a)1(a0,a 是定义域中的一个数); 当 0x2a 时, f(x)0. 试问:(1)f(x)的奇偶性如何?说明理由;(2) 在( 0,4a)上, f(x)的单调性如何?说明理由. 分析:( 1)利用 f ( x1x2) f (x1x2),判定 f(x)是奇
4、函数;(3) 先证明 f(x)在( 0,2a)上是增函数,再证明其在(2a,4a)上也是增函数 . 对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意 .有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题. 例 9 已知函数 f(x)( x0)满足 f(xy) f(x) f(y),(1) 求证: f( 1) f( 1) 0;(2) 求证: f( x)为偶函数;(3) 若 f( x)在( 0,)上是增函数,解不等式f(x) f(x) 0. 分析:函数模型为:f(x)loga|x|(a 0
5、)(1) 先令 xy 1,再令 x y 1;(2) 令 y 1;(3) 由 f( x)为偶函数,则f(x) f(|x|). 例 10 已知函数f(x)对一切实数x、y 满足 f(0)0,f(xy)f(x) f(y),且当 x0 时, f(x)1,求证:(1) 当 x0 时, 0f(x) 1;(2)f(x)在 xR 上是减函数 . 分析:( 1)先令 xy0 得 f(0) 1,再令 y x;(3) 受指数函数单调性的启发:由 f(xy) f(x)f(y)可得 f(x y),进而由 x1x2,有f(x1x2)1.练习题:名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
6、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - 3 1.已知: f(xy)f(x) f(y)对任意实数x、y 都成立,则()(A)f(0) 0 (B)f(0)1 (C)f(0) 0 或 1 (D)以上都不对2. 若对任意实数x、y 总有 f(xy) f(x) f(y),则下列各式中错误的是()(A)f(1) 0 (B)f() f(x)(C)f()f( x)f(y)(D) f(xn) nf(x)( nN)3.已知函数 f(x)对一切实数x、y 满足: f(0) 0,f(xy)f(x)f(y),且当 x0 时
7、, f(x)1,则当 x0 时,f(x)的取值范围是()(A)( 1,)( B)(, 1)(C)( 0,1)(D)( 1,)4.函数 f(x)定义域关于原点对称,且对定义域内不同的x1、x2都有f(x1x2),则 f(x)为()(A)奇函数非偶函数(B)偶函数非奇函数(C)既是奇函数又是偶函数( D)非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数f(x)对任意实数x、 y 满足 f(xy) f(xy) 2f(x)f(y),则函数 f(x)是()(A)奇函数非偶函数(B)偶函数非奇函数(C)既是奇函数又是偶函数( D)非奇非偶函数参考答案:1A2 B 3 C4A5B 10. 如何求复合函数的定义域?义域是
8、_。复合函数定义域的求法:已知的定义域为,求的定义域,可由解出 x 的范围,即为的定义域。例若 函 数的 定 义 域 为, 则的 定 义 域为。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - 4 分 析 : 由 函 数的 定 义 域 为可 知 :; 所 以中有。解: 依题意知:解之,得的定义域为11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。例 求函数 y=的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最
9、基本的方法之一。例、求函数y=-2x+5 ,x-1 ,2 的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - 5 4、反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数 y=值域。5、函数有界性法直接求函数的值
10、域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数 y=,的值域。6、函数单调性法通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容例求函数 y=( 2x10)的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。名师资料总结 - - -精品资料欢
11、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - 6 例:已知点P(x.y )在圆 x2+y2=1 上,例求函数 y=+的值域。解:原函数可化简得:y=x-2 +x+8上式可以看成数轴上点P(x)到定点 A(2),B( -8 )间的距离之和。由上图可知:当点P在线段 AB上时,y=x-2 +x+8=AB =10 当点 P在线段 AB的延长线或反向延长线上时,y=x-2 +x+8 AB =10 故所求函数的值域为:10 ,+)例求函数 y=+ 的值域解:原函数可变形
12、为:y=+上式可看成x 轴上的点 P ( x,0)到两定点A( 3,2), B(-2,-1 )的距离之和,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - 7 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时, y=AB=,故所求函数的值域为,+)。注:求两距离之和时,要将函数9 、不等式法利用基本不等式a+b2,a+b+c3(a,b,c),求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例:倒数法有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况例求函数 y=的值域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - -