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1、1 / 21 经济数学基础 12形考作业一讲评一、填空题1._sinlim0xxxx. 解：00sinsinlimlim11 10xxxxxxx答案： 0 2.设0,0, 1)(2xkxxxf，在0x处连续，则_k. 解：200lim( )lim(1)1(0)xxf xxfk答案： 1 3.曲线xy在)1 , 1 (的切线方程是. 解：切线斜率为1111|22xxkyx，所求切线方程为11(1)2yx答案：2121xy4.设函数52) 1(2xxxf，则_)(xf. 解：令1xt，则2( )4,( )2f ttftt答案：x25.设xxxfsin)(，则_)2(f. 解：( )sincos ,
2、( )2cossin ,22fxxxx fxxxx f答案：2二、单项选择题1.当x时，下列变量为无穷小量的是（）Aln(1)x B21xx C21xe Dsin xx解：sin1limlimsinxxxxxx，而1lim0,|sin| 1xxx，故sinlim0xxx答案： D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页2 / 21 2.下列极限计算正确的是（） A.1lim0xxx B.1lim0xxxC.11sinlim0xxx D.1sinlimxxx解：0limxxx不存在，00limlim1xxxxxx，01l
3、imsin0xxx，sinlim0xxx答案： B 3.设yxlg2，则dy（）A12dxxB1dxxln10Cln10xxdD1dxx解：212 ln10ln10yxx，1ln10dyy dxdxx答案： B 4.若函数 f (x)在点 x0处可导，则 ( )是错误的 A函数 f (x)在点 x0处有定义 BAxfxx)(lim0，但)(0xfA C函数 f (x)在点 x0处连续 D函数 f (x)在点 x0处可微解：可导等价于可微，可导必连续，但（B）为不连续答案： B 5.若1fxx，则( )fx（）. A21x B21x C1x D1x解：令1tx，则211,( )ftfttt答案：
4、 B 三、解答题1计算极限本类题考核的知识点是求简单极限的常用方法。它包括：利用极限的四则运算法则；利用两个重要极限；利用无穷小量的性质( 有界变量乘以无穷小量还是无穷小量) 利用连续函数的定义。（1）22132lim1xxxx分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则限进行计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页3 / 21 算。解：原式11(1)(2)21limlim(1)(1)12xxxxxxxx（约去零因子）（2）22256lim68xx
5、xxx分析：这道题考核的知识点主要是利用函数的连续性求极限。具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用函数的连续性进行计算。解：原式22(2)(3)31limlim(2)(4)42xxxxxxxx（约去零因子）（3）011limxxx分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。具体方法是：对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则进行计算。解：原式01lim2( 11)xxxx（分子有理化）（4）2235lim324xxxxx分析：这道题考核的知识点主要是齐次有理因式的求极限问题。具体方法是：分子分母同除以自变量的最高次幂，也可直接利用结论，齐次有理因式的极限就是分
6、子分母最高次幂的系数之比。解：原式223511lim2433xxxxx（抓大头）（5）0sin3limsin5xxx分析：这道题考核的知识点主要是重要极限的掌握。具体方法是：对分子分母同时除以x，并乘相应系数使其前后相等，然后四则运算法则和重要极限进行计算。解：原式033lim55xxx（等价无穷小）（6）224limsin(2)xxx分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则和重要极限的掌握。具体方法是：对分子进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则和重要极限进行计算。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页
7、4 / 21 解：原式22lim(2)4sin(2)xxxx（重要极限）2设函数0sin0,0,1sin)(xxxxaxbxxxf，问：（ 1）当ba,为何值时，)(xf在0x处有极限存在？（2）当ba,为何值时，)(xf在0x处连续 . 分析：本题考核的知识点有两点，一是函数极限、左右极限的概念。即函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限均存在且相等。二是函数在某点连续的概念。解 ： （ 1）00sin1(0 )lim1,(0 )limsin,(0 )(0 )xxxffxbb ffxx， 即 当1b，a任意时，)(xf在0x处有极限存在；（2）(0 )(0 )(0),fff即当1ba时
8、，)(xf在0x处连续 3计算下列函数的导数或微分：本题考核的知识点主要是求导数或（全）微分的方法，具体有以下三种：利用导数 ( 或微分 ) 的基本公式；利用导数 ( 或微分 ) 的四则运算法则；利用复合函数微分法。（1）2222log2xxyx，求y分析：直接利用导数的基本公式计算即可。解：2ln12ln22xxyx（注意22为常数）（2）dcxbaxy，求y分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。解：222() ()()()()()()()()axbcxdaxb cxda cxdaxb cadcbycxdcxdcxd（3）531xy，求y分析：利用导数的基本公式和复合函数的求
9、导法则计算即可。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页5 / 21 解：1322313(35)(35)322 (35)yxxx（4）xxxye，求y分析：利用导数的基本公式计算即可。解：11()(1)e22xxxyexexxx（5）bxyaxsine，求yd分析：利用微分的基本公式、复合函数的微分及微分的运算法则计算即可。解：(e ) sin(sin)sincosaxaxaxaxybxebxe abxebx be ( sincos)axdyy dxabxbbx dx（6）xxyx1e，求yd分析：利用微分的基本公式、复
10、合函数的微分及微分的运算法则计算即可。解：1213e2xyxx，yd1231(e )d2xxxx（7）2ecosxxy，求yd分析：利用微分的基本公式、复合函数的微分及微分的运算法则计算即可。解：21(sin)e( 2 )2xyxxx，ydxxxxxd)2sine2(2（8）nxxynsinsin，求y分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算。解：11(sin)cos(cos)(sincoscos)nnynxxnxnnxxnx（9）)1ln(2xxy，求y分析：利用复合函数的求导法则计算。解：222121112 11xyxxxx（10）132sin122xxxyx，求y分析：利用导数的
11、基本公式和复合函数的求导法则计算。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页6 / 21 解：111sin6222xyxx1513sinsin62226351111ln21112(ln2) cos2cos2626xxyxxxxxxxx4.下列各方程中y是x的隐函数，试求y或yd本题考核的知识点是隐函数求导法则。（1）1322xxyyx，求yd解：方程两边对x 求导，得22()30xy yyxy，322yxyyx，xxyxyyd223d（2）xeyxxy4)sin(，求y解：方程两边对x 求导，得cos()(1)()4xyx
12、yyeyxy，)cos(e)cos(e4yxxyxyyxyxy5求下列函数的二阶导数：本题考核的知识点是高阶导数的概念和函数的二阶导数。（1）)1ln(2xy，求y解：2222222,1(1)xxyyxx（2）xxy1，求y及) 1(y解：1122yxx，312211,22yxx23254143xxy，1)1(y经济数学基础 12形考作业二讲评一、填空题1.若cxxxfx22d)(，则_)(xf. 解：( )(22)2 ln 22xxf xxc答案：22ln2x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页7 / 21 2.x
13、x d)sin(_. 解：因为F (x)d( )xF xc，所以(sin) dsinxxxc答案：cxsin3.若cxFxxf)(d)(，则()dxxef ex. 解：令xue，xdue dx，则()d( )( )()xxxef exf u duF ucF ec答案：()xF ec4.设函数_d)1ln(dde12xxx. 解：因为e21ln(1)dxx为常数，所以e21dln(1)d0dxxx答案： 0 5.若ttxPxd11)(02，则_)(xP. 解：02220111( )d111xxddP xtdtdxdxttx答案：211x二、单项选择题1.下列函数中，（）是xsinx2的原函数A2
14、1cosx2B2cosx2C- 2cosx2D-21cosx2解：因为22(cos)2 sinxxx，所以221(cos)sin2xxx答案： D 2.下列等式成立的是（）A)d(cosdsinxxxB)1d(dlnxxxC)d(22ln1d2xxx Dxxxdd1解：(cos )sindxxdx，211d()dxxx，d(2 )2 ln 2xxdx，1d2xdxx答案： C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页8 / 21 3.下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）Axxc1)dos(2， Bxxxd12Cxx
15、xd2sinDxxxd12答案： C 4.下列定积分计算正确的是（）A2d211xxB15d161xC0)d(32xxxD0dsinxx答案： D 5.下列无穷积分中收敛的是（）A1d1xx B12d1xx C0dexx D1dsinxx解：21111d1xxx答案： B 三、解答题1.计算下列不定积分（1）xxxde3解：原式3313e3ln3 1lnexxxxdxccee（2）xxxd)1(2解：原式3352221422235xxdxxxxcx（3）xxxd242解：原式21(2)22xdxxxc（4）xxd211解：原式111(12 )(12 )ln 1222xdxxc（5）xxxd22
16、解：原式132222211(2)(2)(2)23xdxxc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页9 / 21 （6）xxxdsin解：原式2 sin2cosxdxxc（7）xxxd2sin解：原式2cos2 cos2 cos2 cos4sin22222xxxxxxdxdxxc（8）xx1)dln(解：原式1ln(1)ln(1)1(1)ln(1)11xxxdxxxdxxxxcxx2.计算下列定积分（1）xxd121解：原式221211115(1)(1)22222xx dxxdxx（2）xxxde2121解：原式2112x
17、x111=-e d=-e=eex（3）xxxdln113e1解：原式33e111d(1+ln )2 1ln|2(21)21lnexxx（4）xxxd2cos20解：原式2222000011111sin2sin 2 |sin 20cos2|22242xdxxxxdxx（5）xxxdlne1解：原式22222211111111lnln|(e1)222244eeeexxexdxxdxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页10 / 21 （6）xxxd)e1(40解：原式444444000044|44|55exxxxxde
18、xee dxee经济数学基础 12形考作业三讲评一、填空题1.设矩阵161223235401A，则A的元素_23a. 答案： 3 2.设BA,均为 3阶矩阵，且3BA，则TAB2=_. 解：32( 2) |8|8 ( 3)( 3)72TTABABAB答案：723.设BA,均为n阶矩阵，则等式2222)(BABABA成立的充分必要条件是. 解：22222()()()2ABABABAABBABAABB答案：BAAB4.设BA,均为n阶矩阵，)(BI可逆，则矩阵XBXA的解_X. 解：1,(),()AXBXIB XA XIBA答案：ABI1)(5.设矩阵300020001A，则_1A. 答案：310
19、00210001A二、单项选择题1.以下结论或等式正确的是（）A若BA,均为零矩阵，则有BA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页11 / 21 B若ACAB，且OA，则CBC对角矩阵是对称矩阵D若OBOA,，则OAB答案： C 2.设A为43矩阵，B为25矩阵，且乘积矩阵TACB有意义，则TC为（）矩阵A42B24 C53 D35答案： A 3.设BA,均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）A111)(BABA，B111)(BABACBAABDBAAB答案： C 4.下列矩阵可逆的是（）A300320321B32
20、1101101C0011D2211解：因为12302360003，所以300320321可逆答案： A 5.矩阵444333222A的秩是（）A0 B1C 2 D3 解：222111333000444000A，()1r A答案： B 三、解答题1计算（1）01103512；（ 2）00113020；（ 3）21034521精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页12 / 21 解：（ 1）01103512=5321（2）001130200000（3）21034521=02计算7230165421323414212312
21、21321解：72301654274001277197723016542132341421231221321 =1423011121553设矩阵110211321B110111132，A，求AB解：因为BAAB，22122)1()1(01021123211011113232A01101-1-0321110211321B所以002BAAB4设矩阵01112421A，确定的值，使)(Ar最小 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页13 / 21 解：由于矩阵A 的秩至少为2，令| 940A，得到：当49时，2)(Ar达到
22、最小值 5求矩阵32114024713458512352A的秩 解：1742017420174202532109521095215854302715630000041123027156300000A，故2)(Ar6求下列矩阵的逆矩阵：（1）111103231A解：132100132100132100301010097310011112111001043101043101101236100113011112010237001349001349，故9437323111A（2）设 A =113115121，求1()IA解：013104120IA，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
23、归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页14 / 21 0131001050101050101050100131000131001200010250110012111001065010533001211，故11065()533211IA7设矩阵3221,5321BA，求解矩阵方程BXA解：1125210233111XBA四、证明题1试证：若21,BB都与A可交换，则21BB，21BB也与A可交换 证：因为1122,B AAB B AAB，所以12121212()()BBAB AB AABABA BB，121212B B AB ABAB B，即21BB，21BB也与A可交换
24、 2试证：对于任意方阵A，TAA，AAAATT,是对称矩阵 证：TTT)(AAAA，AAAAAAAATTTTTT)( ,)(3设BA,均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：BAAB证：已知T,TAA BB，充分性：由于ABBA，故T()TTABB ABAAB；必要性：由于ABABT)(，故()TTTABABB ABA4设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且TBB1，证明ABB1是对称矩阵 证：因为T1,TAA BB，所以1T11()()()TTTTTB ABB ABB A B=ABB1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14
25、页，共 21 页15 / 21 经济数学基础 12形考作业四讲评一、填空题1.函数1( )4ln(1)f xxx的定义域为_. 解：40,10,2,xxx解之得14,2xx答案：(1,2)(2,42.函数2) 1( 3 xy的驻点是_，极值点是，它是极值点. 解：令6(1)0yx，得驻点为1x，又60y，故1x为极小值点答案：1, 1 xx，小3.设某商品的需求函数为2e10)(ppq，则需求弹性pE. 解：221102210pppp dqppEeq dpe答案：12p4.若线性方程组121200xxxx有非零解，则_. 解：令11|101A，得1答案：15.设线性方程组bAX，且010023
26、106111tA，则_t时，方程组有唯一解 . 解：当( )( )3r Ar A时，方程组有唯一解，故1t答案：1二、单项选择题1.下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页16 / 21 AsinxBe xCx 2 D3 x 解：因为在区间(,)上，()0xxee，所以xye区间(,)上单调增加答案： B 2.设1( )f xx，则( )ff x（）A1x B21x Cx D2x解：11( ( )1( )ff xxf xx答案： C 3.下列积分计算正确的是（）A110d2ee
27、xxxB110d2eexxxC0dsin11xxx- D0)d(3112xxx-解：因为( )2xxeef x是奇函数，所以110d2eexxx答案： A 4.设线性方程组bXAnm有无穷多解的充分必要条件是（）AmArAr)()( BnAr)( Cnm DnArAr)()(解：当nArAr)()(时，线性方程组bXAnm才有无穷多解，反之亦然答案： D 5.设线性方程组33212321212axxxaxxaxx，则方程组有解的充分必要条件是（）A0321aaa B0321aaaC0321aaaD0321aaa解：111222331312110110110011011011121011000a
28、aaAaaaaaaaaa，则方程组有解的充分必要条件是()( )r Ar A，即3120aaa答案： C 三、解答题1求解下列可分离变量的微分方程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页17 / 21 (1) yxye解：分离变量得eyxe dydx，积分得yxe dye dx，所求通解为cxyee（2）23eddyxxyx解：分离变量得23xy dyxe dx，积分得23xy dyxe dx，所求通解为cxyxxee32. 求解下列一阶线性微分方程：（1）3)1(12xyxy解：22311(1)dxdxxxyexe
29、dxc2(1)(1)xxdxc221(1) ()2xxxc（2）xxxyy2sin2解：112 sin2dxdxxxyexxedxc2sin 2xxdxc( cos2)xxc3.求解下列微分方程的初值问题：(1)yxy2e,0)0(y解：分离变量得2eyxe dydx，积分得通解1ee2yxc，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页18 / 21 代入初始条件0)0(y得12c，所求特解为11ee22yx(2)0exyyx,0) 1(y解：1xeyyxx，通解为1111()xdxdxxxxxeyeedxce dxce
30、cxxx，代入初始条件0)1(y得ce，所求特解为e)e(1xxy4.求解下列线性方程组的一般解：（1）03520230243214321431xxxxxxxxxxx解：000011101201111011101201351223111201A所以，方程的一般解为4324312xxxxxx（其中21,xx是自由未知量）（2）5114724212432143214321xxxxxxxxxxxx解：2111112142121420537317411505373A12142101/ 56 /54 /5013/ 57 /53/ 5013/ 57 /53/ 50000000000所以，方程的一般解为精选
31、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页19 / 21 535753545651432431xxxxxx（其中34,xx是自由未知量）5.当为何值时，线性方程组43214321432143211095733223132245xxxxxxxxxxxxxxxx有解，并求一般解解：115421154210851213110113930113933223301139300000759100226181400008A当8时，( )( )24r Ar A，方程组有无穷多解所以，方程的一般解为1342348511393xxxxxx（其中
32、34,xx是自由未知量）6ba,为何值时，方程组baxxxxxxxxx3213213213221无解，有唯一解，有无穷多解？解：1111111111111122021102111304110033Aababab，当3a且3b时，方程组无解；当3a时，方程组有唯一解；当3a且3b时，方程组无穷多解7求解下列经济应用问题：（1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：qqqC625.0100)(2（万元） , 求：当10q时的总成本、平均成本和边际成本；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页20 / 21 当产量q为多少时
33、，平均成本最小？解：185)10(C（万元）5.18)10(C（万元 /单位）( )0.56Cqq，11)10(C（万元 /单位）100( )0.256C qqq令2100( )0.250Cqq，得20q；故当产量为20 个单位时可使平均成本达到最低（2）.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为201. 0420)(qqqC（元），单位销售价格为qp01.014（元 /件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少解：22( )( )( )(140.01 )(2040.01)20100.02L qR qC qq qqqqq，令( )100.040L qq，得250q，故当产量为250 个单
34、位时可使利润达到最大，且最大利润为1230)250(L（元） （3）投产某产品的固定成本为36(万元 )，且边际成本为402)(qqC(万元 /百台 )试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低解：总成本函数2000( )( )(240)364036qqC qC q dqcqdqqq，(6)(4)312212100CCC，所以当产量由4 百台增至6 百台时，总成本的增量为C100（万元）；36( )40C qqq，令236( )10Cqq，得6q，故当6q（百台）时可使平均成本达到最低. （4）已知某产品的边际成本)(qC=2（元 /件），固定成本为
35、0，边际收益qqR02.012)(，求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会发生什么变化？解：总成本函数000( )( )202qqC qC q dqcdqq，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页21 / 21 总收入函数200( )( )(120.02 )0120.01qqR qR q dqq dqqq，总利润函数22( )( )( )120.012100.01L qR qC qqqqqq，令( )100.020L qq，得500q，因此当产量为500 件时，利润最大. (550)(500)2475250025LLL（元），即利润将减少25 元. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页
