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1、学习必备欢迎下载第一章勾股定理【知识点归纳】1234561、已知直角三角形的两边,求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题考点一:勾股定理(1)对于任意的直角三角形, 如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为 c,那么一定有222cba勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(2)结论:有一个角是 30的直角三角形, 30角所对的直角边等于斜边的一半。有一个角是 45的直角三角形是等腰直角三角形
2、。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。(3)勾股定理的验证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页学习必备欢迎下载abcabcabcabcabababba例题:例 1:已知直角三角形的两边,利用勾股定理求第三边。(1)在 RtABC中, C=90 若 a=5,b=12,则 c=_ ;若 a=15,c=25,则 b=_ ;若 c=61,b=60,则 a=_ ;若 ab=34,c=10 则 RtABC的面积是 =_。(2)如果直角三角形的两直角边长分别为1n2,2n(n1) ,那么它的斜边长是() A、2n B、n+1 C 、
3、n21 D、1n2(3)在 RtABC中,a,b,c 为三边长,则下列关系中正确的是()A.222abc B. 222acbC. 222cba D.以上都有可能(4)已知一个直角三角形的两边长分别为3 和 4,则第三边长的平方是()A、25 B、14 C 、7 D、7 或 25 例 2:已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。(1)直角三角形两直角边长分别为5 和 12,则它斜边上的高为 _。(2)已知 RtABC中, C=90 ,若 a+b=14cm ,c=10cm ,则 RtABC 的面积是() A、242cmB、36 2cmC、482cmD、602cm(3)
4、已知 x、y 为正数,且 x2-4+(y2-3)2=0,如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为()A、5 B、25 C 、7 D、15 例 3:探索勾股定理的证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页学习必备欢迎下载有四个斜边为 c、两直角边长为 a,b 的全等三角形,拼成如图所示的五边形,利用这个图形证明勾股定理。ABCMDGHFE考点二:勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c 有关系,222cba,那么这个三角形是直角三角形。(2)
5、 常见的勾股数: (3n,4n,5n ) ,(5n,12n,13n), (8n,15n,17n), (7n,24n,25n) , (9n,40n,41n).(n 为正整数)(3)直角三角形的判定方法:如果三角形的三边长a,b,c 有关系,222cba,那么这个三角形是直角三角形。有一个角是直角的三角形是直角三角形。两内角互余的三角形是直角三角形。如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形。例题:例 1:勾股数的应用(1)下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是()A. 4 ,5,6 B. 2,3,4 C. 11,12,13 D. 8,15,17 (2)
6、若线段 a,b,c 组成直角三角形,则它们的比为() A、234 B 、346 C、51213 D、467 例 2:利用勾股定理逆定理判断三角形的形状(1)下面的三角形中:ABC 中, C=AB;ABC 中, A:B:C=1 :2:3;ABC 中,a:b:c=3:4:5;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页学习必备欢迎下载ABC 中,三边长分别为8,15,17其中是直角三角形的个数有() A1 个 B2 个 C3 个 D4 个(2)若三角形的三边之比为21:122,则这个三角形一定是()A.等腰三角形 B.直角三角形C
7、.等腰直角三角形 D.不等边三角形(3)已知 a,b,c 为ABC 三边,且满足 (a2b2)(a2+b2c2) 0,则它的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形(4)将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是 ( ) A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形(5)若ABC 的三边长 a,b,c 满足222abc20012a16b20c,试判断 ABC的形状。(6)ABC的两边分别为 5,12 ,另一边为奇数,且 a+b+c是 3 的倍数,则 c 应为,此三角形为。例 3:求最大、最小角的问题(1)若三角形三
8、条边的长分别是7,24,25 ,则这个三角形的最大内角是度。(2)已知三角形三边的比为1:3:2,则其最小角为。考点三:勾股定理的应用例题:例 1:面积问题(1)下图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形 A、B、C 、D的边长分别是 3、5、2、3,则最大正方形E的面积是()A. 13 B. 26 C. 47 D. 94 ABCDES2S3S1ABCS3S2S1(图 1)(图 2)(图 3)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页学习必备欢迎下载(3)如图, ABC 为直角三
9、角形,分别以AB ,BC ,AC为直径向外作半圆,用勾股定理说明三个半圆的面积关系,可得()A. S1+ S2 S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3 S1 D. 以上都不是(2)如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S1、S2、S3,则它们之间的关系是()A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3 S1 D. S2- S3=S1 例 2:求长度问题(1)小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1 米,当他把绳子的下端拉开 5 米后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高度。(2)在一棵树 10m高的 B处,有两只猴
10、子,一只爬下树走到离树20m处的池塘 A处;?另外一只爬到树顶 D处后直接跃到 A 外,距离以直线计算, 如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高?CADB例 3:最短路程问题(1)如图 1,已知圆柱体底面圆的半径为2,高为 2,AB ,CD分别是两底面的直径, AD ,BC是母线,若一只小虫从A 点出发,从侧面爬行到C 点,则小虫爬行的最短路线的长度是。(结果保留根式)ABCD(图 1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页学习必备欢迎下载(2)如图 2,有一个长、宽、高为 3 米的封闭的正方体纸盒,一只昆虫从顶
11、点A要爬到顶点 B,那么这只昆虫爬行的最短距离为。BA(图 2)例 4:航海问题(1)一轮船以 16 海里/ 时的速度从 A港向东北方向航行,另一艘船同时以12 海里/ 时的速度从 A港向西北方向航行,经过1.5 小时后,它们相距 _海里(2)如图 1,某货船以 24 海里时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处,在点 A处测得某岛 C在北偏东 60的方向上。 该货船航行 30 分钟到达 B处,此时又测得该岛在北偏东30的方向上,已知在 C岛周围 9海里的区域内有暗礁, 若继续向正东方向航行, 该货船有无暗礁危险?试说明理由。东北3060BACMDDBCA(图 1)(图 2)(3)如图
12、2,某沿海开放城市A 接到台风警报,在该市正南方向260km的 B 处有一台风中心,沿BC方向以 15km/h 的速度向 D移动,已知城市 A到 BC的距离 AD=100km ,那么台风中心经过多长时间从 B点移到 D点?如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页学习必备欢迎下载例 5:网格问题(1)如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中,边长为无理数的边数是()A0 B
13、1 C2 D3 (2)如图,正方形网格中的ABC ,若小方格边长为1,则 ABC是 ()A.直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D.以上答案都不对(3)如图,小方格都是边长为1 的正方形 , 则四边形 ABCD 的面积是 ( ) A 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5 BCAABCDCBA(图 1)(图 2)(图 3)例 6:图形问题(1)如图 1,求该四边形的面积(2) (2010 四川宜宾) 如图 2,已知,在 ABC中, A= 45,AC = 2,AB = 3+1,则边 BC的长为431213BCDA(图 1)(图 2)(3)某公司的大门如图所示 , 其中四边形是长
14、方形 , 上部是以为直径的半圆 , 其中 =2.3, =2, 现有一辆装满货物的卡车,高为 2.5 , 宽为 1.6 , 问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页学习必备欢迎下载(4)将一根长 24 的筷子置于地面直径为5 ,高为 12 的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长为 h ,则 h 的取值范围。【培优提高】1. 如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC 6 cm、BC 8 cm,现将 ABC折叠,使点 B与点 A重合,折痕为 DE ,则 BE的长为(A)4 cm (
15、B)5 cm (C)6 cm (D)10 cm 2如图所示,在 RtABC 中, C90,A30,BD是ABC的平分线, CD 5 ,求 AB的长33. 如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形:使三角形的三边长分别为3、8 、5(在图甲中画一个即可) ;使三角形为钝角三角形且面积为4(在图乙中画一个即可) 甲乙4下列四组线段中,可以构成直角三角形的是()A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.4,5,6 5在ABC 中,AB=6 ,AC=8 ,BC=10 ,则该三角形为()A锐角三角形 B直角三角形C 钝角三角形 D等腰
16、直角三角形A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页学习必备欢迎下载6. 已知 ABC是边长为 1 的等腰直角三角形,以RtABC的斜边 AC为直角边,画第二个等腰RtACD ,再以 RtACD 的斜边 AD为直角边,画第三个等腰RtADE ,依此类推,第 n 个等腰直角三角形的斜边长是7. 如图,每个小正方形的边长为1,ABC的三边cba,的大小关系式:(A)bca(B)cba(C )bac(D )abc8 (本题满分 10 分) 问题情境 勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵
17、爽根据弦图,利用面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。 定理表述 请你根据图 1 中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述); (3 分) 尝试证明 以图 1 中的直角三角形为基础,可以构造出以a、b 为底,以ba为高的直角梯形(如图2) ,请你利用图 2,验证勾股定理;(4 分) 知识拓展 利用图 2 中的直角梯形,我们可以证明.2cba其证明步骤如下:ADbaBC,= 。又在直角梯形ABCD 中有 BC AD (填大小关系),即,.2cbaABCDEFG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页