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1、知识点精编直线与方程的知识点倾斜角与斜率1.当直线l与x轴相交时,我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角 .当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0 . 则直线l的倾斜角的范围是 0. 2. 倾斜角不是90 的直线的斜率,等于直线的倾斜角的正切值,即tank. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P xyP xy,则有斜率公式2121yykxx. 特别地是,当12xx ,12yy 时,直线与x轴垂直,斜率k不存在;当12xx ,12yy 时,直线与y轴垂直,斜率k=0. 注意: 直线的倾斜角 =90 时,斜率不存在,即直线与y轴平行或者重合. 当 =90
2、 时,斜率k=0 ;当 090 时,斜率0k,随着 的增大,斜率k也增大;当90180 时,斜率0k,随着 的增大,斜率k也增大 . 这样,可以求解倾斜角 的范围与斜率k取值范围的一些对应问题. 两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l、2l ,其斜率分别为1k 、2k ,有:(1)12/ll12kk ; (2)12ll121kk. 2. 特例: 两条直线中一条斜率不存在时,另一条斜率也不存在时,则它们平行,都垂直于x轴; . 直线的点斜式方程1. 点斜式:直线l 过点000(,)Pxy,且斜率为k,其方程为00()yyk xx. 2. 斜截式:直线l 的斜率为k,在y轴上截距为
3、b,其方程为ykxb. 3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线 . 若直线 l 过点000(,)P xy且与x轴垂直 ,此时它的倾斜角为90 ,斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,这时的直线方程为00xx,或0xx . 4. 注意:00yykxx与00()yyk xx是不同的方程,前者表示的直线上缺少一点000(,)P xy,后者才是整条直线 . 直线的两点式方程1. 两点式:直线l 经过两点111222(,),(,)P xyP xy,其方程为112121yyxxyyxx,2. 截距式:直线l 在x、y轴上的截距分别为a、b,其方程为1xyab. 3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线;截距
4、式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线. 4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22xxyy. 直线的一般式方程1. 一般式:0AxByC,注意A、B不同时为0. 直线一般式方程0 (0)AxByCB化为斜截式方程ACyxBB,表示斜率为AB,y轴上截距为CB的直线 . 2. 与直线:0lAxByC平行的直线,可设所求方程为10AxByC;与直线0AxByC垂直的直线,可设所求方程为10BxAyC. 3. 已知直线12,l l 的方程分别是:1111:0lA xB yC(11,A B 不同时为 0) ,2222:0lA xB yC(22,AB 不同时为 0) ,则两条直线的位置关系可以
5、如下判别:(1)1212120llA AB B;(2)1212211221/0,0llA BA BACA B;(3)1l 与2l 重合122112210,0A BA BACA B; (4)1l 与2l 相交12210A BA B. 如果2220A B C时,则11112222/ABCllABC;1l 与2l 重合111222ABCABC;1l 与2l 相交1122ABAB. 两条直线的交点坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页知识点精编1. 一般地,将两条直线的方程联立, 得到二元一次方程组11122200A xB
6、yCA xB yC. 若方程组有惟一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;若方程组有无数解,则两条直线有无数个公共点,此时两条直线重合. 2. 方程111222()()0A xB yCA xB yC为直线系,所有的直线恒过一个定点,其定点就是1110A xB yC与2220A xB yC的交点. 两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y,222(,)P xy,则两点间的距离为:22121212|()()PPxxyy. 特别地,当12,P P所在直线与 x 轴平行时,1212| |PPxx;当12,P P所在直线与 y 轴平行时,1
7、212| |PPyy;点到直线的距离及两平行线距离1. 点00(,)P xy到直线:0lAxByC的距离公式为0022|AxByCdAB. 2. 利用点到直线的距离公式, 可以推导出两条平行直线11:0lAxByC,22:0lAxByC之间的距离公式1222|CCdAB,推导过程为:在直线2l上任取一点00(,)P xy,则0020A xB yC,即002AxByC. 这时点00(,)P xy到直线11:0lAxByC的距离为001122222|AxByCCCdABAB一. 选择题1.( 安徽高考 ) 过点 (1,0) 且与直线x-2y=0 平行的直线方程是()A.x-2y-1=0 B. x-
8、2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0 2. 过点( 1,3)P且垂直于直线032yx的直线方程为()A. 012yx B. 052yxC. 052yx D. 072yx3. 已知过点( 2,)Am和(,4)B m的直线与直线012yx平行,则m的值为()A. 0 B. 8 C. 2 D. 104.( 安徽高考 ) 直线过点( -1, 2) ,且与直线2x-3y+4=0 垂直,则直线的方程是()A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0 5. 设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为,切sincos0则 a,b
9、满足()A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=0 6. 如果直线ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0平行,则系数a= A、 -3 B、-6 C、23 D、32精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页知识点精编7. 点 P(-1,2)到直线8x-6y+15=0 的距离为()A 2 B 21 C 1 D 278. 直线 mx-y+2m+1=0经过一定点,则该点的坐标是A( -2 ,1) B (2,1) C (1,-2 ) D ( 1,2)9. (上海文, 15)已知直线12:(3)(4)1
10、0,: 2(3)230,lkxk ylkxy与平行,则k得值是()A. 1或 3 B.1或 5 C.3或 5 D.1或 2 10、若图中的直线L1、L2、L3的斜率分别为K1、K2、K3则() A、K1K2K3B、K2K1K3 C、K3K2K1 D、K1K3K211. ( 05 北京卷)“m=21”是“直线 (m+2)x+3my+1=0 与直线 (m2)x+(m+2)y3=0 相互垂直”的( ) (A)充分必要条件(B)充分而不必要条件(C)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件12、与直线2x+3y-6=0 关于点 (1,-1)对称的直线是()A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=
11、0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 13. 若直线 ax + by + c = 0 在第一、二、三象限,则()A. ab 0,bc 0 B. ab0,bc0 C. ab 0,bc 0D. ab0,bc0 14. ( 2005 北京文) “ m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线 (m 2)x+(m+2)y 3=0 相互垂直”的( ) A. 充分必要条件 B.充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件15. 如果直线l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和 3x - y - 2 = 0的交点,且与直线y = x垂直,则原点到直线
12、l 的距离是 ( ) A. 2 B. 1 2 C. 2216. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( ) A. 52,54- B. 54,52-C. 52,54D. 54,52-二、填空题L1L2x o L3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页知识点精编1. 点(1, 1)P到直线10xy的距离是 _. 2. 已知 A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线,则a 的值为()3. 经过两直线11x+3y7=0 和 12x+y19=0 的交点,且与A(3, 2) ,B( 1,6)等距离的直
13、线的方程是。4.(全国文16) 若直线m被两平行线12:10:30lxylxy与所截得的线段的长为22, 则m的倾斜角可以是1530456075其中正确答案的序号是 .(写出所有正确答案的序号)三. 解答题1. 已知两条直线12:12,: 2416lxm ym lmxy. m为何值时 , 12:ll与(1)相交(2)平行(3)垂直2. 求经过直线0323:, 0532:21yxlyxl的交点且平行于直线032yx的直线方程 . 3. 求平行于直线20,xy且与它的距离为2 2的直线方程。4. 已知直线l1 : mx + 8y + n = 0 与 l2 : 2x + my - 1 = 0 互相平行,求l1, l2之间的距离为5 时的直线l1的方程 . 5. 已知三角形ABC的顶点坐标为A(-1 ,5) 、B(-2 ,-1 ) 、 C(4,3) ,M是 BC边上的中点。 (1)求 AB边所在的直线方程; (2)求中线AM的长( 3)求 AB边的高所在直线方程。6. 求与两坐标轴正向围成面积为2 平方单位的三角形,并且两截距之差为3 的直线的方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页知识点精编精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页