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1、 第九节第九节常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 一、一、二、二、二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构常见类型常见类型难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.自由项为自由项为一、一、 为实数为实数 ,设特解为设特解为其中其中 为待定多项式为待定多项式 , 代入原方程代入原方程 , 得得 (1) 若若 不是特征方程的根不是特征方程的根, 则取则取从而得到特解从而得到特解形式为形式为为为 m 次多项式次多项式 .Q (x) 为为 m 次待定系数多项次待定系数多项式式(2) 若若 是特征方程的单根是特征方程的
2、单根 , 为为m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为(3) 若若 是特征方程的重根是特征方程的重根 , 是是 m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为小结小结 对方程对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即即即当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,可设可设特解特解例例1 1解解特征方程特征方程特征根特征根对应齐次方程通解对应齐次方程通解代入方程代入方程, 得得原方程通解为原方程通解为例例2.的一个特解的一个特解.解解: 本题本题而特征方程为而特征方程为不是特征方程的根不是特征方程的根 .设所求特解为设所求特解为代入方程
3、代入方程 :比较系数比较系数, 得得于是所求特解为于是所求特解为求通解求通解特征方程特征方程特征根特征根齐通解齐通解即即代入（代入（*）式）式非齐通解为非齐通解为例例3. 解解例例4. 求解定解问题求解定解问题解解: 本题本题特征方程为特征方程为其其根为根为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为代入方程得代入方程得故故故对应齐次方程通解为故对应齐次方程通解为原方程通解为原方程通解为由初始条件得由初始条件得于是所求解为于是所求解为解得解得思考思考写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式. 解答解答设设 的特解为的特解为设设 的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为特征根特征根（重根
4、）（重根）二、二、第二步第二步 求出如下两个方程的特解求出如下两个方程的特解分析思路分析思路: :第一步第一步 将将 f (x) 转化为转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点分析原方程特解的特点第一步第一步 利用欧拉公式将利用欧拉公式将 f (x) 变形变形 第二步第二步 求如下两方程的特解求如下两方程的特解 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), 故故等式两边取共轭等式两边取共轭 :为方程为方程 的特解的特解 .设设则则 有有特解特解:第三步第三步 求原方程的特解求原方程的特解 利用第二步的结果
5、利用第二步的结果, 根据叠加原理根据叠加原理, 原方程有特解原方程有特解 :原方程原方程 均为均为 m 次多项式次多项式 .第四步第四步 分析分析因因均为均为 m 次实次实多项式多项式 .本质上为实函数本质上为实函数 ,待定待定待定待定解解例例5 5f (x)=e xPm1(x)cos x+Pm2(x)sin x 型型所求通解：所求通解：解解例例6 6原方程特解原方程特解解解例例7原方程通解原方程通解待定待定待定待定f (x)=e xPm1(x)cos x+Pm2(x)sin x 型型注注: :对非齐次方程对非齐次方程则可设特解则可设特解:其中其中 为特征方程的为特征方程的 k 重根重根 (
6、k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.练习练习时可设特解为时可设特解为 时可设特解为时可设特解为 1 . 设设2. 求微分方程求微分方程的通解的通解 (其中其中为为实数实数 ) .3. 已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程有特解有特解求微分方程的通解求微分方程的通解 .4. 求通解求通解练习练习时可设特解为时可设特解为 时可设特解为时可设特解为 提示提示:1 . (填空填空) 设设2. 求微分方程求微分方程的通解的通解 (其中其中为为实数实数 ) .解解: 特征方程特征方程特征根特征根:对应齐次方程通解对应齐次方程通解:时时,代入原方程得代入原
7、方程得故原故原方程通解为方程通解为时时,代入原方程得代入原方程得故原故原方程通解为方程通解为3. 已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程有特解有特解求微分方程的通解求微分方程的通解 .解解: 将特解代入方程得恒等式将特解代入方程得恒等式比较系数得比较系数得故原方程为故原方程为对应齐次方程通解对应齐次方程通解:原方程通解为原方程通解为4. 求通解求通解解解 相应齐方程相应齐方程特征方程特征方程齐通解齐通解先求先求 的特解的特解设设代入方程代入方程再求再求 的特解的特解原方程特解原方程特解原方程的特解原方程的特解所求通解为所求通解为P317 1 (1) , (5) , (6) , (10) ; 2 (2) , (4) ;3 ; 6
