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1、向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何12058120586.3.16.3.1 向量的数量积向量的数量积启示启示 两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.定义定义6.4一物体在常力一物体在常力作用下沿直线从点作用下沿直线从点M1 1移动到移动到点点M2 2 ，以，以表示位移，则力表示位移，则力所作的功为所作的功为两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为(6.11(6.11) )例例 4 4一质点在力一质点在力的作用下的作用下, ,从点从点A A(2, 1, 0)(2, 1, 0)移动到点
2、移动到点B B(5, 2, 6)(5, 2, 6) , , 求求所做所做的功及的功及与与间的夹角间的夹角. .解解 由数量积的定义知由数量积的定义知, ,所做的功是所做的功是其中其中是路程向量是路程向量, ,故故=18.=18.因此因此, ,与与 的夹角为的夹角为例例5 求向量求向量上的投影上的投影.解解由由6 6实例实例6.3.2 6.3.2 两向量的向量积两向量的向量积图图6-236-23设设O为一根杠杆为一根杠杆L的支点，有一力的支点，有一力作用作用于这杠杆上于这杠杆上P点处，力点处，力与与OP的夹角为的夹角为 对支点对支点O的力矩是一向量的力矩是一向量 它的模它的模 的方向垂直于的方向
3、垂直于OP与与 所决所决定的平面定的平面, 指向符合右手系指向符合右手系.定义定义6.5由向量积的定义可以推得：由向量积的定义可以推得：/向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.大小大小的方向既垂直于的方向既垂直于 又垂直于又垂直于 指向符合右指向符合右手系手系.向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：分配律：（3）若若 为数：为数：例例6且且求以求以为邻边平行四边形的面积为邻边平行四边形的面积.解解 以以为邻边平行四边形的面积为邻边平行四边形的面积, ,就是向量就是向量的模的模. .由向量积的运算律由向量积的运算律, , 有有=15=15，即所求的平行
4、四边形面积是即所求的平行四边形面积是15.15.设设向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式.向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示/由上式可推出由上式可推出(6.14)(6.14)例例7 解解都垂直的单位向量都垂直的单位向量.由向量积的定义可知，由向量积的定义可知，则有则有因此所求的单位向量为因此所求的单位向量为 例例8 8 求以求以A（1 1，2 2，-1-1），B（-2-2，3 3，1 1），C（1 1，1 1，2 2）为顶点的三角形的面积为顶点的三角形的面积解解 根据向量积的定义，可知三角形根据向量积的定义，可知三角形ABC的面积的面积于是于是例例9 9设设=(2, 3, 1
5、),=(2, 3, 1), =(0,1, 1),=(0,1, 1),=(1, 1, 4),=(1, 1, 4), 问这三个向量是否共面？问这三个向量是否共面？解解 所谓三个向量共面所谓三个向量共面, ,是指三个向量在一个平面上是指三个向量在一个平面上, ,或者经过平行移动后可以置于一个平面上或者经过平行移动后可以置于一个平面上. .因为因为与与所确定的平面垂直所确定的平面垂直, ,所以当所以当三个向量共面时三个向量共面时, ,应该有应该有即即计算如下计算如下: :=(4, 2, 2),=(4, 2, 2),所以有所以有因此所讨论的三个向量不共面因此所讨论的三个向量不共面. .设设混合积的坐标表
6、达式混合积的坐标表达式定义定义 设已知三个向量设已知三个向量 数量数量 称为这三个向量的称为这三个向量的混合积混合积，记为，记为 （1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：关于混合积的说明：例例1010 设向量设向量满足条件满足条件试证试证共面共面. .证证 等式两端都与等式两端都与做数量积做数量积, ,得得即即因为因为与与 垂直，垂直， 故故同样有同样有从而得到从而得到这就这就证明了三向量证明了三向量是共面的是共面的. .练习练习1 1已知已知，求，求(2)ar与与br的夹角；的夹角；（3）ar在在br上的投影上的投影.（1）练习练习2 已知已知，都都练习练习3
7、3求与求与kjiarrrr423+ +- -= =kjibrrrr2- -+ += =垂直的单位向量垂直的单位向量.练习练习4 4练习练习5 5 在顶点为在顶点为 和和 的三角形中，求的三角形中，求ACAC边上的高边上的高BDBD. 练习练习6 已知空间内不在一平面上的四点已知空间内不在一平面上的四点 体的体积体的体积. 求四面求四面解解练习练习1 1 已知已知，求，求（2）ar与与br的夹角；的夹角；（3）ar在在br上的投影上的投影.（1） 练习练习2 已知已知解解 作向量作向量则则由此得由此得解解，都都练习练习3 3 求与求与kjiarrrr423+ +- -= =kjibrrrr2- -+ += =垂直的单位向量垂直的单位向量.解解三角形三角形ABC的面积为的面积为 表表示角速度，它的大小等于角速度示角速度，它的大小等于角速度的大小，方向遵守右手规则的大小，方向遵守右手规则.如图如图练习练习5 5 解解刚体绕刚体绕 轴旋转时，我们轴旋转时，我们可以用在可以用在轴上的一个向量轴上的一个向量解解式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！33
