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1、二项式定理一、 求展开式中特定项1、在3031()xx的展开式中,x的幂指数是整数的共有()A4项 B5项 C6项 D7项【答案】 C 【解析】rrrrrrxCxxCT6515303303011,30.2, 1 ,0r,若要是幂指数是整数,所以r0,6,12,18,24,30,所以共 6 项,故选 C 3 、若2531()xx展开式中的常数项为 (用数字作答)【答案】 10 【解】 由题意得,令1x, 可得展示式中各项的系数的和为32, 所以232n, 解得5n,所以2531()xx展开式的通项为10 515rrrTC x,当2r时,常数项为2510C, 4 、二项式832()xx的展开式中的
2、常数项为【答案】 112 【解析】由二项式通项可得,3488838122rrrrrrrxCxxC)()()(T(r=0,1,8), 显然当2r时,1123T,故二项式展开式中的常数项为112. 5、41(2)(13 )xx的展开式中常数项等于_【答案】14【解析】因为41(2)(13 )xx中4(13 )x的展开式通项为4C ( 3 )rrx,当第一项取2时,04C1,此时的展开式中常数为2;当第一项取1x时,14C ( 3 )12x,此时的展开式中常数为12;所以原式的展开式中常数项等于14,故应填146、 设20sin12cos2xaxdx, 则6212axxx的 展 开 式 中 常 数
3、项是【答案】332332200sin12cossincos( cossin )202xaxdxxx dxxx,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页61()axx61(2)xx的展开式的通项为6631661(2)()( 1)2rrrrrrrrTCxCxx,所以所求常数项为36 3356 5566( 1)22( 1)2TCC332二、 求特定项系数或系数和7、8(2 )xy的展开式中62x y项的系数是()A56 B56 C28 D28【答案】 A 【解析】由通式rrryxC)2(88, 令2r, 则展开式中62x y项的
4、系数是56)2(228C8、在 x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数是【答案】 15 【解】61x的通项16rrrTC x,令2r可得2615C则61xx中3x的系数为 15. 9、在6(1)(2)xx的展开式中含3x的项的系数是【答案】 -55 【解析】6(1)(2)xx的展开式中3x项由336)(2xC和226)(x-xC)(两部分组成,所以3x的项的系数为552-2636CC10、已知dxxn16e1,那么nxx)(3展开式中含2x项的系数为【答案】 135 【解析】根据题意,66e111ln|6endxxx,则nxx)(3中,由二项式定理的通项公式1rn rrrnTC ab,可设含
5、2x项的项是616( 3)rrrrTC x,可知2r,所以系数为269135C11、已知10210012101111xaaxaxaxL,则8a等于()A 5 B5 C90 D180 【答案】 D 因为1010(1)( 21)xx,所以8a等于8210( 2)454180.C选12、 在二项式321()2nxx的展开式中,只有第 5项的二项式系数最大, 则n_;展开式中的第4 项_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页【答案】8,1937x【解析】由二项式定理展开通项公式21()(2)33111()()22n rn rrr
6、rrrrnnTCxxCx,由题意得,当且仅当4n时,rnC取最大值,8n,第 4 项为119(16 3)333381()72Cxx13、如果7270127(12 )xaa xa xa xL,那么017aaaL的值等于()(A)1 (B)2 (C )0 (D)2 【答案】 A 【 解 析 】 令1x, 代 入 二 项 式7270127(12 )xaa xa xa xL, 得70127(12)1aaaaL, 令0x, 代入二项式7270127(12 )xaa xa xa xL,得70(10)1a,所以12711aaaL,即1272aaaL,故选 A14、 (2)7展开式中所有项的系数的和为【答案】
7、 -1 解:把 x=1 代入二项式,可得(2)7 =1,15、 (x2) (x1)5的展开式中所有项的系数和等于【答案】 0 解:在( x2) (x1)5的展开式中,令x=1,即( 12) (11)5=0,所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、 在*1(3) ()nnNx的 展 开 式 中 ,所 有 项 的 系数和 为32, 则1x的 系 数等于【答案】270【 解 析 】 当1x时 ,322-n, 解 得5n, 那 么 含x1的 项 就 是xxC1270313225,所以系数是 -270. 17 、 设0(sincos )kxx dx, 若8822108)1 (xaxaxaakx, 则1
8、238aaaa【答案】 0. 【解析】由00(sincos )( cossin )kxx dxxx( cossin)(cos0sin 0)2,令1x得:80128(12 1)aaaaK,即01281aaaaK精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页再令0x得:80128(120)000aaaaK,即01a所以12380aaaa18、设( 5x)n的展开式的各项系数和为M ,二项式系数和为N,若 M N=240 ,则展开式中 x 的系数为 . 【答案】 150 解:由于( 5x)n的展开式的各项系数和M与变量 x 无关,故令
9、x=1,即可得到展开式的各项系数和M= (51)n=4n再由二项式系数和为N=2n,且 M N=240 ,可得 4n2n=240,即 22n2n240=0. 解得 2n=16,或 2n=15(舍去),n=4.(5x)n的展开式的通项公式为 Tr+1=? (5x)4r?( 1)r?= (1)r?54r?令 4=1,解得 r=2 ,展开式中x 的系数为( 1)r?54r=1625=150,19、设8877108)1(xaxaxaax,则178aaaL【答案】255【解析】178aaaL87654321aaaaaaaa,所以令1x,得到82876543210aaaaaaaaa,所以2551256-2
10、0887654321aaaaaaaaa三、 求参数问题20、若312nxx的展开式中第四项为常数项,则n()A4 B5 C6 D7【答案】 B 【解析】根据二项式展开公式有第四项为2533333342)21()(nnnnxCxxCT,第四项为常数,则必有025n,即5n,所以正确选项为B. 21、二项式)()1(*Nnxn的展开式中2x的系数为 15,则n()A、5 B、 6 C、8 D、10 【答案】 B 【解析】二项式)()1(*Nnxn的展开式中的通项为knknkxCT1,令2kn,得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共
11、 5 页2nk,所以2x的系数为152)1(22nnCCnnn,解得6n;故选 B22、(ax)4的展开式中x3的系数等于8,则实数 a_ 【答案】 2 【解析】4r+14T=Crrra x, 当43r,即1r时,133324T =C48,2axaxxa23、若411xax的展开式中2x的系数为 10,则实数a()A10或 1 B53或 1 C2 或53 D10【答案】 B【解析】由题意得4(1)ax的一次性与二次项系数之和为14,其二项展开通项公式14rrrrTC a x,22144101C aC aa或53,故选 B24 、 设23(1)(1)(1)(1)nxxxx2012nnaa xa
12、xa x,当012254naaaa时,n等于()A5 B6 C7 D8 【答案】 C【解析】令1x,则可得2312(21)22222225418721nnnnn,故选 C四、 其他相关问题25、20152015除以 8 的余数为 ( ) 【答案】 7 【解析】试题分析:先将幂利用二项式表示,使其底数用8 的倍数表示,利用二项式定理展开得到余数试题解析:解: 20152015=2015=?20162015?20162014+?20162013?20162012+?2016,故 20152015除以 8 的余数为=1,即 20152015除以 8 的余数为 7,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页