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1、优秀学习资料欢迎下载初二同步辅导材料北师版八上4.3 菱形同步辅导教学目标与要求：1理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好）2经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法；3了解菱形的现实应用和常用的判别条件；4体会特殊与一般的关系【重点难点解析】1菱形的性质(1) 菱形具有平行四边形的一切性质；(2) 菱形的四条边都相等；(3) 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；(4) 菱形是轴对称图形2菱形的面积=底高 =对角线乘积的一半考点指要菱形是特殊的平行四边形，
2、其性质和判别方法是中考的重要内容之一一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：菱形的四条边都相等；两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）每一条对角线都平分一组内角（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴（不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）菱形的判别方法： （学会利用轴对称的方法研究菱形）一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形三典型例题例 1 如图
3、，已知菱形ABCD 的周长为58cm，对角线AC 、BC的比为 1:2 ，求 AC 、BD的长。解 ：四边形ABCD 是菱形，设AC交 BD于点 O AC、BD互相垂直平分，且AB=5841 =52OA:OB=AC:BD=1:2 ，设 OA=x ，则 OB=2x ，Rt AOB中，222)52()2( xx解得2xAC=2x=4cm ，BD=4x=8cm 。说明： 由于菱形的一条对角线将菱形分为两个全等的等腰三角形；四条对角线将菱形分为四个全等的直角三角形，因此有关菱形的问题常转化为等腰三角形或直角三角形的问题来解决。ABDCO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
4、 - - - - - -第 1 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载例 2：如图 4-24 ，在 ABC中， BAC=90 ， AD BC于 D，CE平分 ACB ，交 AD于 G，交 AB于E，EF BC于 F求证：四边形AEFG是菱形思路分析由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组邻边相等证明： BAC=90 ， EFBC ， CE平分 ACB ， AE=EF ， CEA= CEF （这是略证，并不是完整的证明过程） AD BC ，EF BC ， EFAD ， （垂直于同一条直线的两条直线互相平行） CEF= AGE ， （两直线平
5、行，内错角相等） CEA= AGE ， AE=AG ， EFAG ，且 EF=AG ，四边形AEFG是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又 AE=EF ，平行四边形AEFG 是菱形例 3 如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，且 AB=19，AC=32，BD=8 ，请判断： ABCD是菱形吗？为什么？解：ABCD 是菱形。证明 ：ABCD中，321ACOA，421BDOB，AB=19且222)9 1(194)3(即 ABC中，222ABOBOA OA OB ABCD 是菱形说明 ：这里首先利用了平行四边形对角线互相平分的性质，再由勾股逆定理判别出AO 、BO互相垂直，最
6、后由对角线互相垂直的平行四边形判别出菱形。例 4：已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为5cm ，求菱形各个角的度数已知：菱形ABCD 中， AB+BC+CD+DA=20cm，对角线AC=5cm 求 ADC 、 ABC 、 BCD 、 DAB的度数思路分析利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25 ABDCO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载解： 在菱形 ABCD 中， AB=BC=CD=DA，又 AB+BC+CD+DA=20cm， AB=BC=CD=DA=5cm，又
7、 AC=5cm ， AB=BC=AC，CD=DA=AC， ABC和 DAC都是等边三角形，（本题将边之间的长度关系转化为角的关系） ADC= ABC=60 ， BCD= DAB=120 例 5：如图 4-26 ，在平行四边形ABCD中， BAE= FAE ， FBA=FBE 求证：四边形ABEF是菱形证法一： AF BE ， FAE= AEB （两直线平行，内错角相等）又 BAE= FAE ， BAE= AEB ， AB=BE （等角对等边）同理， AB=AF ，BE=EF ， AB=BE=EF=AF ，四边形ABEF是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）证法二： AF BE ， FAE= AE
8、B ，又 BAE= FAE ， BAE= AEB ， AB=BE 又 FBA= FBE ， AO=OE ，AE FB， （等腰三角形三线合一）同理， BO=OF ，四边形ABEF是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）（你还有其他的证明方法吗？不妨试一下）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载例 6 如图，ABCD 中， E、F 分别是 AB 、CD的中点， AF、 DE相交于点G ， CE 、BF相交于点H，（ 1）你能说明四边形EHFG 是平行四边形吗？（ 2）想一想，什么时候EHFG 会成为
9、菱形？证明： （ 1）ABCD 中， AB、CD平行且相等E、F分别是 AB 、CD的中点 AE 、CF平行且相等 AECF是平行四边形 AFCE 同理， BEDF是平行四边形 DE BF 四边形EHFG 是平行四边形（ 2）如图，当ABCD 是矩形时，可知四边形AEFD是矩形 GE=GF 此时，EHFG 会成为菱形说明： 要说明一个平行四边形是菱形，最简单的方法是说明它有一组邻边相等。例 7：菱形的两邻角之比为1：2，边长为 2，则菱形的面积为_思路分析本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：解法一：如图4-27， B： A=1 ：2，四边形ABCD 是菱形， AD BC ， A+B=180
10、， B=60， A=120，过 A作 AE BC于 E， BAE=30 ，1AB21BE， （直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半）312BEABAE2222， （勾股定理）32AEBCSABCD菱形 （平行四边形的面积计算方法是：底乘以高）解法二：如图4-28，ABCDEFGHABCDEFGH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载 B A=1 2，四边形ABCD 是菱形， AD BC ， A+B=180， B=60， A=120，连结 AC 、BD交于点 O ，30B21ABD，AC B
11、D （菱形的性质：对角线平分一组对角，对角线互相垂直）在 RtABO中，1AB21AO，312AOABBO2222， AC=2 ，32BD，3232221BDAC21SABCD菱形答：菱形的面积为32【巩固练习】一、选择题1、菱形具有而一般的平行四边形不一定具有的性质是（）（ A）对边平行且相等（B ）对角线互相平分（C）对角相等（D）四条边都相等2已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 ( ) (A)45 ， 135 (B)60， 120 (C)90 ， 90 (D)30， 150 3 若菱形的一条对角线长是另一条对角线的2 倍， 且此菱形的面积为S， 则它的边长为 ( )
12、(A)S (B)S21 (c)S321 (D)S5214. 若菱形 ABCD 的周长为40cm,两对角线长之比为3:4 ，则两对角线长分别为（）（ A）24cm，32cm （B）12cm ， 16cm （C）6cm ，8cm （D）3cm ，4cm 5在菱形ABCD中，若 ADC=120 ，则 BD ：AC等于 ( ) A2:3B3:3C1：2 D1:36已知菱形的周长为40cm ，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载A6cm，8cm B3c
13、m，4cm C 12cm，16cm D24cm ，32cm 二、填空题1已知：菱形ABCD 中， E、F 是 BC 、 CD上的点，且AE=EF=AF=AB ，则 B=_. 2已知：菱形的两条对角线长分别为a、 b，则此菱形周长为_，面积为 _. 3菱形具有而矩形不具有的性质是_. 4已知一个菱形的面积为38平方厘米，且两条对角线的比为1：3，则菱形的边长为_. 三、解答题1已知： O为对角线 BD的中点， MN过 O且垂直 BD ，分别交 CD 、AB于 M 、N求证：四边形 DNBM 是菱形2如图 4-17，已知菱形ABCD 的对角线交于点O，AC=16cm ，BD=12cm ，求菱形的高
14、3如图4-29 ，在 ABC中， BAC=90 ， BD平分 ABC ，AG BC ，且 BD 、AG相交于点E， DFBC于 F求证：四边形AEFD是菱形4如图 4-30 ，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD 、BC 、AC分别交于点E、F、O求证：四边形AFCE是菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载【典型热点考题】例 1 如图 4-13 ， 已知菱形ABCD中， E、 F 分别是 BC 、 CD上的点，且 B=EAF=60 ， BAE=18 ，求 CEF的度数点悟： 由 B=
15、60知，连接AC得等边 ABC与 ACD ，从而 ABE ADF ，有 AE=AF ，则 AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求CEF 解： 连接 AC四边形 ABCD 为菱形，B=D= 60， AB=BC=CD=DA，ABC与 CDA为等边三角形 AB=AC， B=ACD= BAC=60 ，EAF=60 ，BAE= CAF AE=AF又EAF=60 ，EAF为等边三角形AEF=60 ，AEC= B+BAE= AEF+ CEF ， 60 +18=60+ CEF ，CEF=18 例 2已知如图4-14，在 ABC中， BAC=90 ， AD BC于 D， CE平分 ACB ，交
16、 AD于 G ，交AB于 E，EFBC于 F，求证：四边形AEFG为菱形点悟： 可先证四边形AEFG为平行四边形，再证邻边相等( 或对角线垂直 ) 证明： BAC=90 ， EFBC ，CE平分 BCA ， AE=FE， AEC= FEC EF BC ，ADBC ， EF AD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载FEC= AGE ，AEC= AGE AE=AG，四边形 AEFG为平行四边形又 AE=AG四边形 AEFG为菱形点拨： 此题还可以用判定菱形的另两种方法来证例 3 已知如图4-15 ，
17、 E为菱形 ABCD 边 BC上一点，且 AB=AE ， AE交 BD于 O ， 且 DAE=2 BAE 求证： EB=OA 证明： 四边形 ABCD 为菱形，ABC=2 ABD ， AD BC ，DAE= AEB ， AB=AE，ABC= AEB DAE=2 ABD DAE=2 BAE ，ABD= BAE ， OA=OBBOE= ABD+ BAE ，BOE=2 BAE BEA= BOE ， OB=BE， AO=BE说明： 利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路例 4已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5：4，求菱形的各内角的度数点悟： 先作出菱形ABCD 和对角线
18、AC、BD(如图 4-16) 解：四边形 ABCD 是菱形， AC BD ，1+2=90，又1： 2=4：5，1=40， 2=50，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载DCB= DAB=2 2=100，故CBA= CDA=2 1=80【巩固练习参考答案】一 1.D; 2B； 3 D；4.B; 5 B；6C；二、 1 80； 2222ba，ab21；3对角线互相垂直，各边长相等44 厘米三、 1由已知MN为 BD的垂直平分线，有 DM=BM ，DN=BN ，又由 DOM BON ，得 DM=BN ，
19、 DM=BM=BN=DN四边形DNBM 是菱形 . 2过点 D作 DH AB于 H，则 DH为菱形的一条高又 AC 、BD互相垂直平分于O，821ABOA厘米，621BDOB厘米由勾股定理，得1022BOAOAB ( 厘米 ) 又OABDDHAB2121，812211021DH，DH=9.6 厘米3证法一：在RtABD和 RtFBD中， BD为 ABC的平分线，ABD= FBD ， DAB= DFB=90 ，又 BD=BD ， RtABD RtFBD AD=DF ， ADE= EDF 又 DFBC ，AG BC ， DF/AE， EDF= DEA ， ADE= DEA ， AD=AE ， AE
20、=DF ，四边形AEFD是平行四边形 AD=DF ，四边形AEFD为菱形证法二：同证法一得DF=DA=AE ， RtABD RtFBD ， AB=BF ， ABE FBE ， AE=EF ， DF=DA=AE=EF，四边形AEFD是菱形证法三：同证法一：RtABD RtFBD ， AB=BF ， ABE FBE ， GAB= EFB ，又 C+ABC=90 ， GAB+ ABC=90 ， C=GAB ， C= EFB ， EFAC ，又 DFAG ，四边形AEFD是平行四边形， AD=DF ，四边形AEFD是菱形4 ADBC ， OAE= OCF ，又 AOE= COF=90 ， AO=CO ， AOE COF ， AE=CF ，又 AE CF，四边形AFCE是平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载又 EF是 AC的垂直平分线，AE=CE （垂直平分线上的点到线段两端距离相等）四边形AFCE是菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
