2022年圆锥曲线焦点弦长公式

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1、精品资料欢迎下载圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标方程）圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第 22 题，理科和各省市一般为第21 题或者第20 题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！? 定理已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为 F，设倾斜角为的直线l经过 F，且与圆锥曲线交于A、B

3、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页精品资料欢迎下载典题妙解下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用. 例 1 （06 湖南文第21 题）已知椭圆134221yxC ：，抛物线pxmy22）（p0），且1C、2C的公共弦AB 过椭圆1C的右焦点 . （）当xAB轴时，求 p，m 的值，并判断抛物线2C的焦点是否在直线AB 上；（）若34p且抛物线2C的焦点在直线AB 上，求 m 的值及直线AB 的方程 . 2FO A B x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

4、 2 页，共 19 页精品资料欢迎下载例 2（ 07 全国文第22 题）已知椭圆12322yx的左、右焦点分别为1F、2F，过1F的直线交椭圆于B、D 两点，过2F的直线交椭圆于A、C 两点，且BDAC，垂足为P. （1）设 P 点的坐标为），（00yx，证明：232020yx1. （2）求四边形ABCD 的面积的最小值. 2FA B C D O x y 1FP 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页精品资料欢迎下载例 3（ 08 全国理第21 题文第 22 题）双曲线的中心为原点O，焦点在x 上，两条渐近线分别为1l

5、、2l，经过右焦点F 垂直于1l的直线分别交1l、2l于 A、B 两点 . 已知|OA、| AB、|OB成等差数列，且BF与FA同向 . （）求双曲线的离心率；（）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程. A B y O Fx 1l2lN M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页精品资料欢迎下载金指点睛1. 已知斜率为1 的直线l过椭圆1422xy的上焦点F 交椭圆于A 、 B 两点，则| AB=_. 2. 过双曲线1322yx的左焦点F 作倾斜角为6的直线l交双曲线于A、 B 两点，则| AB=_.

6、3. 已知椭圆02222yx，过左焦点F 作直线l交 A、 B 两点，O 为坐标原点，求 AOB的最大面积 . B O x y A F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页精品资料欢迎下载4. 已知抛物线pxy42（p0），弦 AB 过焦点 F，设mAB|， AOB 的面积为S，求证：mS2为定值 . y O F x A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页精品资料欢迎下载5.（05 全国文第22 题） P、Q、 M 、N 四点都

7、在椭圆1222yx上， F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点. 已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且0MFPF.求四边形PQMN 的面积的最大值和最小值. O x N P y M Q F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页精品资料欢迎下载6. (07 重庆文第22 题)如图，倾斜角为的直线经过抛物线xy82的焦点 F，且与抛物线交于 A、 B 两点 . （）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l的方程；（）若为锐角，作线段 AB 的垂直平分线m 交x轴于点 P，证明2cos|FPFP为定值，并求此定值. y O F x

8、 A B D E C lm P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页精品资料欢迎下载7. 点 M 与点)2,0(F的距离比它到直线03: yl的距离小1. （1）求点 M 的轨迹方程；（2）经过点F 且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A、B；C、D. 求四边形ACBD 的最小面积 . F O x A B D C y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页精品资料欢迎下载8. 已知双曲线的左右焦点1F、2F与椭圆1522yx的焦点相同，且以抛物

9、线xy22的准线为其中一条准线. （ 1）求双曲线的方程；（ 2）若经过焦点2F且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A、 B； C、 D. 求四边形 ACBD的面积的最小值. y 2FA O x 1l2lB C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页精品资料欢迎下载圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用参考答案证明：设双曲线方程为12222byax（a0，b0），通径abH22，离心率ace，弦 AB 所在的直线l的方程为）（cxky（其中tank，为直线l的倾斜角），其参数方程为为参数）（，ttytcx.s

10、incos. 代入双曲线方程并整理得：0cos2cossin4222222btcbtba）（. 由 t 的几何意义可得：|cos1|2|cos1|2|cossin|2cossin4cossincos24|22222222222222222222222122121eabeabbaabbabbacbttttttAB）（）（.|cos1|22eH例 1.解：（）当xAB轴时，点 A、B 关于 x 轴对称，0m，直线 AB 的方程为1x. 从而点 A 的坐标为），（231或），（231. 点 A 在抛物线2C上，.249p即.89p此时抛物线2C的焦点坐标为），（0169，该焦点不在直线AB 上.

11、（）设直线AB 的倾斜角为，由（）知2. 则直线 AB 的方程为）（1tanxy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页精品资料欢迎下载抛物线2C的对称轴my平行于x轴，焦点在 AB 上，通径382pH，离心率1e，于是有又AB 过椭圆1C的右焦点，通径322abH，离心率21e. .cos412|cos1|222eHAB）（2cos138.cos4122解之得：6tan71cos2，. 抛物线2C的焦点），（mF32在直线）（1tanxy上，tan31m，从而36m. 当36m时，直线AB 的方程为066yx；当

12、36m时，直线AB 的方程为066yx例 2.（1）证明：在12322yx中，123cba，. ，9021PFFO 是1F2F的中点，.1|21|21cFFOP得. 12020yx点 P 在圆122yx上 . 显然，圆122yx在椭圆12322yx的内部 . 故232020yx 1. （2）解：如图，设直线 BD 的倾斜角为，由BDAC可知，直线 AC 的倾斜角2. .cos138sin|22）（HAB2FO A B x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页精品资料欢迎下载通径33422abH，离心率33

14、B. 又设直线1l的倾斜角为，则2AOB. 1l的方程为xaby. .tanab而.34|tan2tanOAABAOB2FA B C D O x y 1FP 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页精品资料欢迎下载34)(12tan1tan222abab. 解之得：.21ab.25)(12abe（）设过焦点F 的直线 AB 的倾斜角为, 则2. sincos. 而.51)21(1)21(tan1tansin2222251cos2. 通径babbabH222. 又设直线 AB 与双曲线的交点为M 、N. 于是有：4cos

15、1|22eHMN.即451)25(12b. 解得3b，从而6a. 所求的椭圆方程为193622yx. 1. 解：3, 1, 2cba，离心率23ace，通径122abH，直线l的倾斜角4.58)22()23(11sin1|2222eHAB.2. 解：2,3, 1cba，离心率2ace，通径622abH，直线的倾斜角6.A B y O Fx 1l2lN M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页精品资料欢迎下载3|)23(21|6|cos1|2222eHAB.3. 解：1222yx，1, 1,2cba，左焦点)0, 1

18、424sinsin41sin4pppmpmS. 不论直线AB 在什么位置，均有32pmS（3p为定值） . 5. 解：在椭圆1222yx中，. 112cba，由已知条件， MN 和 PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点），（ 10F，且PQMN. 如图，设直线PQ 的倾斜角为，则直线MN 的倾斜角2. 通径222abH，离心率22e.于是有.sin222sin1|cos222)2(sin1|222222eHPQeHMN，四边形 PQMN 的面积O x N P y M Q F y O F x A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16

20、1(|2cos|22FPFPFP. 故2cos|FPFP为定值，此定值为8. 7. 解：（1）根据题意，点M 与点)2, 0(F的距离与它到直线2: yl的距离相等，点 M 的轨迹是抛物线，点)2,0(F是它的焦点，直线2: yl是它的准线 . 从而22p，4p. 所求的点M 的轨迹方程是yx82. （2）两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点，它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为，则直线 CD 的倾斜角为90. y O F x A B D E C lm P F O x A B D C y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

21、第 17 页，共 19 页精品资料欢迎下载抛物线的通径82 pH，于是有：2222sin8)90(cos| ,cos8cos|HCDHAB. 四边形 ACBD 的面积.2sin128sin8cos821|21222CDABS当且仅当2sin2取得最大值1 时，128minS，这时45,902. 四边形 ACBD 的最小面积为128. 8. 解：（1）在椭圆1522yx中，2, 1,522bacba，其焦点为)0, 2(1F、)0 ,2(2F. 在抛物线xy22中，1p，其准线方程为212px. 在双曲线中，21,22cac，3, 122acba. 所求的双曲线的方程为1322yx. （2）

22、两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点，它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为，则直线 CD 的倾斜角为90. 双曲线的通径622abH，离心率2ace. 于是有：222222sin416)90(cos1| ,cos416cos1|eHCDeHAB. 四边形 ACBD 的面积.2sin4318sin416cos41621|21222CDABS=18 y 2FA O x 1l2lB C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页精品资料欢迎下载当且仅当2sin2取得最大值1 时，18minS，这时45,902. 四边形 ACBD 的最小面积为18. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页

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