《2022年人教版九上数学第二十二章二次函数章节复习》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年人教版九上数学第二十二章二次函数章节复习(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载第二十二章二次函数章节复习考点管理:一、相关概念及定义1、二次函数的概念:一般地,形如2yaxbxc(abc, , 是常数,0a)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a,而 bc, 可以为零。二次函数的定义域是全体实数。2、二次函数2yaxbxc的结构特征: 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2。abc, , 是常数, a 是二次项系数,b是一次项系数,c 是常数项。二、二次函数各种形式之间的变换1、二次函数cbxaxy2用配方法可化成:khxay2的形式,其中abackabh4422,。2、二次函数由特殊到一般,可分为以
2、下几种形式:2axy;kaxy2;2hxay;khxay2;cbxaxy2。三、二次函数解析式的表示方法1、一般式:2yaxbxc ( a ,b, c 为常数,0a) ;2、顶点式:2()ya xhk ( a,h,k为常数,0a) ;3、两根式:12()()ya xxxx(0a,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标) 。注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240bac时,抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互化。四、二次函数2yaxbxc图象的画法1、五点绘图法:利用配方法将二
3、次函数2yaxbxc 化为顶点式2()ya xhk ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为:顶点、与y轴的交点0c,、以及0c,关于对称轴对称的点2hc,、与 x 轴的交点10x ,20x ,(若与 x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点)。2、画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y轴的交点。五、几种特殊二次函数1、二次函数2axy的性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页学习必备欢迎下载2、二次函数2yaxc的性质 3 、二次
4、函数2ya xh的性质4、二次函数2ya xhk 的性质六、抛物线2yaxbxc的三要素:开口方向、对称轴、顶点 1 、a的符号决定抛物线的开口方向:当0a时,开口向上;当0a时,开口向下;a相等,抛物线的开口大小、形状相同。 2 、对称轴:平行于y轴(或重合)的直线记作2bxa。特别地,y轴记作直线0x。 3 、顶点坐标:),(abacab4422 4 、顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00,y轴0x时,y随x的增大而增大;0x时,y随x的增大而减小;0x时,y有最小值00a向下00,y轴0x时,y随
5、x的增大而减小;0x时,y随x的增大而增大;0x时,y有最大值0a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c,y轴0x时,y随 x 的增大而增大;0x时,y随x的增大而减小;0x时,y有最小值 c 0a向下0c,y轴0x时,y随 x 的增大而减小;0x时,y随x的增大而增大;0x时,y有最大值 c a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h,X=h xh时,y随 x 的增大而增大;xh时,y随x 的增大而减小;xh时,y有最小值00a向下0h,X=h xh时,y随 x 的增大而减小;xh时,y随x 的增大而增大;xh时,y有最大值0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk,X=h
6、 xh时,y随 x 的增大而增大;xh时,y随x 的增大而减小;xh时,y有最小值k0a向下hk,X=h xh时,y随 x 的增大而减小;xh时,y随x 的增大而增大;xh时,y有最大值k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页学习必备欢迎下载方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同。七、抛物线cbxaxy2中,cba,与函数图像的关系1、二次项系数a二次函数2yaxbxc中, a 作为二次项系数,显然0a。 当0a时,抛物线开口向上,a越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; 当0a时,抛物线开口向下,a越小,开口
7、越小,反之a 的值越大,开口越大。总结起来, a决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小。 2 、一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴。 在0a的前提下,当0b时,02ba,即抛物线的对称轴在y轴左侧;当0b时,02ba,即抛物线的对称轴就是y轴;当0b时,02ba,即抛物线对称轴在y轴的右侧。 在0a的前提下,结论刚好与上述相反,当0b时,02ba,即抛物线的对称轴在y轴右侧;当0b时,02ba,即抛物线的对称轴就是y轴;当0b时,02ba,即抛物线对称轴在y轴的左侧。总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置。
8、3 、常数项 c 当0c时,抛物线与y轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正; 当0c时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0; 当0c时,抛物线与y轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负。总结起来,c 决定了抛物线与y轴交点的位置。总之,只要abc, , 都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的。八、求抛物线的顶点、对称轴的方法 1 、公式法:abacabxacbxaxy442222,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页学习必备欢迎下载顶点是),(abacab4422,
9、对称轴是直线abx2。 2 、配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为khxay2的形式,得到顶点为 (h,k) ,对称轴是直线hx。 3 、运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点。用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失。九、用待定系数法求二次函数的解析式1、一般式:cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式。2、顶点式:khxay2. 已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式。3、交点式:已知图像与x轴的交点坐标1x、2x,通常选用交点式:21xxxx
10、ay。十、直线与抛物线的交点 1 、y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c) 。2、与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2) 。3、抛物线与x轴的交点 : 二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x,是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根。 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:有两个交点0抛物线与x轴相交;有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;没有交点0抛物线与x轴相离。 4 、平行于x轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点。当有2 个交点时,两交点的纵坐标
11、相等,设纵坐标为k,则横坐标是kcbxax2的两个实数根。 5 、一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点,由方程组2ykxnyaxbxc的解的数目来确定:方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点; 方程组无解时l与G没有交点。 6 、 抛 物 线 与x轴 两 交 点 之 间 的 距 离 : 若 抛 物 线cbxaxy2与x轴 两 交 点 为0021,xBxA,由于1x、2x是方程02cbxax的两个根,故:acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121精选学习资料 - - -
12、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页学习必备欢迎下载十一、二次函数图象的对称: 二次函数图象的对称一般有五种情况1、关于 x 轴对称2yaxbxc关于 x 轴对称后,得到的解析式是2yaxbxc ;2ya xhk 关于 x 轴对称后,得到的解析式是2ya xhk ; 2 、关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后,得到的解析式是2yaxbxc;2ya xhk 关于y轴对称后,得到的解析式是2ya xhk ; 3 、关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后,得到的解析式是2yaxbxc ;2ya xhk 关于原点对称后,得到的解析式是2ya x
13、hk ; 4 、关于顶点对称2yaxbxc关于顶点对称后,得到的解析式是222byaxbxca;2ya xhk 关于顶点对称后,得到的解析式是2ya xhk 。 5 、关于点mn,对称2ya xhk 关于点mn,对称后,得到的解析式是222ya xhmnk总结:根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变。求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式。十二、二次函数图象的平移 1 、
14、平移步骤: 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ,确定其顶点坐标hk,; 保持抛物线2yax 的形状不变,将其顶点平移到hk,处,具体平移方法如下:向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2 、平移规律在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”。概括成八个字“左加右减,上加下减”。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页学习必备欢迎下载十三、根据条件确定二次函
15、数表达式的几种基本思路1、三点式。(1)已知抛物线y=ax2+bx+c 经过 A(3,0) ,B(32,0) , C(0,-3 )三点,求抛物线的解析式。(2)已知抛物线y=a(x-1)+4 , 经过点 A(2,3) ,求抛物线的解析式。2、顶点式。(1)已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为 A(2,1) ,求抛物线的解析式。(2)已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为( 3,1) ,求抛物线的解析式。3、交点式。(1)已知抛物线与 x 轴两个交点分别为(3,0),(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。(2)已知抛物线线与 x 轴两个交点( 4,0) , (1,
16、0)求抛物线y=21a(x-2a)(x-b)的解析式。4、定点式。(1)在直角坐标系中,不论a 取何值,抛物线2225212axaxy经过 x 轴上一定点 Q ,直线2)2(xay经过点 Q,求抛物线的解析式。(2)抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m与 x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4 ,求抛物线的解析式。(3)抛物线y=ax2+ax-2 过直线 y=mx-2m+2上的定点A,求抛物线的解析式。5、平移式。(1)把抛物线y= -2x2向左平移2 个单位长度,再向下平移1 个单位长度,得到抛物线 y=a( x-h)2 +k, 求此抛物线解析式。(2)抛物线32xxy向上平移 , 使
17、抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 6、距离式。(1)抛物线y=ax2+4ax+1(a 0) 与 x 轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析式。(2)已知抛物线y=m x2+3mx-4m(m 0)与 x 轴交于 A、B两点,与轴交于 C点,且 AB=BC, 求此抛物线的解析式。7、对称轴式。(1)抛物线 y=x2-2x+(m2-4m+4) 与 x 轴有两个交点,这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的 2 倍,求抛物线的解析式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页学习必备欢迎下载(2)已知抛物线y=-x2
18、+ax+4, 交 x 轴于 A,B(点 A在点 B左边)两点,交 y 轴于点 C,且 OB-OA=43OC ,求此抛物线的解析式。8、 对称式。(1)平行四边形ABCD 对角线 AC在 x 轴上,且 A (-10 ,0) ,AC=16 ,D (2,6) 。AD交 y 轴于 E,将三角形ABC沿 x 轴折叠,点B到 B1的位置,求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。(2)求与抛物线y=x2+4x+3 关于 y 轴(或 x 轴)对称的抛物线的解析式。9、切点式。(1)已知直线y=ax-a2(a 0) 与抛物线 y=mx2有唯一公共点,求抛物线的解析式。(2)直线 y=x+a 与抛物线y=ax2 +k 的唯一公共点A(2,1), 求抛物线的解析式。10、判别式式。(1)已知关于X的一元二次方程(m+1 )x2+2(m+1)x+2=0 有两个相等的实数根,求抛物线 y=-x2+(m+1)x+3 解析式。(2)已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x 轴上 , 求抛物线的解析式。(3)已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1 与 x 轴有唯一公共点,求抛物线的解析式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页