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1、学习必备欢迎下载二次函数压轴题1 (本题满分14 分)如图, 抛物线21:23Lyxx交x轴于 A、B 两点, 交y轴于 M 点.抛物线1L向右平移2 个单位后得到抛物线2L,2L交x轴于 C、D 两点 . (1)求抛物线2L对应的函数表达式;(2)抛物线1L或2L在x轴上方的部分是否存在点N,使以 A,C,M, N 为顶点的四边形是平行四边形 .若存在,求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点 P 是抛物线1L上的一个动点 (P 不与点 A、B 重合) ,那么点 P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L上,请说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
2、 - - - - - - -第 1 页,共 23 页学习必备欢迎下载2 (本题 12 分)如图1,抛物线yax25ax4 经过 ABC 的三个顶点,已知BC x轴,点 A在 x 轴上,点C在 y 轴上,且AC BC (1)求抛物线的解析式; (4 分)(2)若点 P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点,是否存在PAB 是等腰三角形,若存在,求出所有符合条件的点P坐标;不存在,请说明理由;(4 分)(3)如图2,将 AOC沿 x 轴对折得到 AOC1,再将 AOC1绕平面内某点旋转180后得A1O1C2(A,O,C1分别与点A1, O1, C2对应 ) 使点 A1, C2在抛物线上,求A1,C
3、2的坐标(4分)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 23 页学习必备欢迎下载3,(本题 12 分)在直角坐标系中,y=x2+ax+2a 与 x 轴交于 A,B 两点,点E(2, 0)绕点 O顺时针旋转90 后的对应点C 在此抛物线上,点P(4,2) 。(1)求抛物线解析式(2)如图 1,点 F 是线段AC 上一动点,作矩形FC1B1A1,使 C1在 CB 上, B1,A1在 AB上,设线段A1F的长为 a,求矩形FC1B1A1的面积 S与 a 的函数关系式,并求S的最大值。(3)如图 2,在( 1)的抛物线上是否存在两个点M
4、,N,使以 O,M,N,P 为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求出点M,N 的坐标;若不存在,请说明理由。图 1 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 23 页学习必备欢迎下载4、已知:抛物线y=ax24axt( a0)与x轴的一个交点为A( 1,0) 。求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标。点D是抛物线与y轴的交点, 点C是抛物线上的一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为 9,求此抛物线的解析式。点E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5:2 的点,如果点E在中的抛物线上,且它与点A在此抛物线对称轴的同侧,问:在
5、抛物线的对称轴上是否存在点P,使APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 23 页学习必备欢迎下载5. (11 分)已知抛物线mxxy42(m 为常数)经过点(0,4)求 m 的值;将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线。已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件:它的对称轴(设为直线l2)与平移前的抛物线的对称轴(设为l1)关于 y 轴对称;它所对应的函数的最小值为8. 试求平移后的抛物线所对应的函数关系式;试问在平移后的抛物线上是否存在着点P,使得以 3 为半径
6、的 P 既与 x 轴相切,又与直线 l2相交?若存在,请求出点P 的坐标,并求出直线l2被 P 所截得的弦AB 的长度;若不存在,请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 23 页学习必备欢迎下载6. (本题14 分)如图,直线3xy与 x 轴, y 轴分别交于B,C 两点,抛物线cbxxy2经过点 B 和点 C,点 A 是抛物线与x 轴的另一个交点. (1)求抛物线的解析式和顶点坐标;(2)若点 Q 在抛物线的对称轴上,能使QAC 的周长最小,请求出Q 点的坐标;(3)在直线BC 上是否存在一点P,且31:PABPA
7、CSS,若存在,求P 点的坐标,若不存在,请说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 23 页学习必备欢迎下载7.已知关于x的一元二次方程22410xxk有实数根,k为正整数 . (1)求k的值;(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于x的二次函数2241yxxk的图象向下平移 8 个单位,求平移后的图象的解析式;(3)在( 2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当直线12yxb bk与此图象有两个公共点时,b的取值范围
8、. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 23 页学习必备欢迎下载8.已知函数212yxyxbxc,为方程120yy的两个根,点1MT,在函数2y的图象上()若1132,求函数2y的解析式;()在()的条件下,若函数1y与2y的图象的两个交点为AB,当ABM的面积为112时,求t的值;()若01,当01t时,试确定T,三者间的大小关系,并说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 23 页学习必备欢迎下载9. 如图( 9) 1,抛物线23yaxaxb经过 A
9、(1, 0) ,C(3,2)两点,与y轴交于点 D,与x轴交于另一点B(1)求此抛物线的解析式;(2)若直线)0(1 kkxy将四边形ABCD 面积二等分,求k的值;(3)如图( 9) 2,过点 E(1,1)作 EFx轴于点 F,将AEF 绕平面内某点旋转180得 MNQ(点 M、N、Q 分别与点A、 E、F 对应) ,使点 M、N 在抛物线上,作MGx轴于点 G,若线段 MGAG12,求点 M,N 的坐标D O B A x y Cy=kx +1 图( 9)- 1 E F M N G O B A x y 图( 9)- 2 Q 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
10、- - - - - -第 9 页,共 23 页学习必备欢迎下载10. 已知一元二次方程210xpxq的一根为2(1)求q关于p的关系式;(2)求证:抛物线2yxpxq与x轴有两个交点;(3)设抛物线2yxpxq的顶点为 M,且与x轴相交于A(1x,0) 、B(2x,0)两点,求使AMB面积最小时的抛物线的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 23 页学习必备欢迎下载11. (20XX年重庆市江津区)如图,抛物线cbxxy2与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3, 0)两点, (1)求该抛物线的解析式;(2)设( 1)
11、中的抛物线交y 轴与 C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得 QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由. (3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使PBC的面积最大?, 若存在,求出点 P的坐标及PBC的面积最大值.若没有,请说明理由. 第 26 题图ABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 23 页学习必备欢迎下载12、 (20XX年株洲市) 已知ABC为直角三角形,90ACB,ACBC, 点A、C在x轴上,点B坐标为(3,m) (0m) ,线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0
12、)为顶点的抛物线过点B、D(1)求点A的坐标(用m表示);(2)求抛物线的解析式;(3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连结PQ并延长交BC于点E,连结BQ并延长交AC于点F,试证明:()FC ACEC为定值yxQPFEDCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 23 页学习必备欢迎下载13.(20XX年长春) 如图,直线364yx分别与x轴、y轴交于AB、两点,直线54yx与AB交于点C,与过点A且平行于y轴的直线交于点D点E从点A出发,以每秒1 个单位的速度沿x轴向左运动过点E作x轴的垂线,分别交直线ABOD
13、、于PQ、两点,以PQ为边向右作正方形PQMN,设正方形PQMN与ACD重叠部分(阴影部分)的面积为S(平方单位)点E的运动时间为t(秒)(1)求点C的坐标(1 分)(2)当05t时,求S与t之间的函数关系式 (4 分)(3)求( 2)中S的最大值(2 分)(4)当0t时,直接写出点942,在正方形PQMN内部时t的取值范围 (3 分)y x D N M Q B C O P E A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 23 页学习必备欢迎下载14. (20XX 年 常 德 市 )已知二次函数过点A(0,2) ,B(1,0)
14、 ,C(5 94 8,) (1)求此二次函数的解析式;(2)判断点M(1,12)是否在直线AC上?(3)过点M(1,12)作一条直线l与二次函数的图象交于E、F两点(不同于A,B,C三点) ,请自已给出E点的坐标,并证明BEF是直角三角形图 8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 23 页学习必备欢迎下载15. (20XX 年陕西省 ) 如图,在平面直角坐标系中,OB OA ,且 OB 2OA ,点 A的坐标是 ( 1,2) (1)求点 B的坐标;(2)求过点A、O 、 B的抛物线的表达式;(3)连接 AB ,在( 2)中
15、的抛物线上求出点P,使得SABPSABO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 23 页学习必备欢迎下载1. 2.(1)A( 3, 0) ,B( 5,4) , C(0,4) ,y16x256x4(2 分) (2)存在符合条件的点P,共有 3 个,以 AB为腰且顶角为 A, P1(52,1992) ;以 AB为腰且顶角为 B, P2(52,82952) ;以 AB为底,顶角为 P, P3(52, 1) (6 分) (3)对称轴与x 轴的交点为对称中心,得C2(5,4) ,A1(8, 0) (4 分) 3.(1)y= x2-x-2
16、 (2)S=-2)1(2a+21,即当 a=1 时, S最大=21(3)以 OP 为平行四边形的边长(不存在)以 OP 为平行四边形对角线:先求出OP 中点坐标为( 2,1)设 M(a,a2-a-2)则 N(4-a, -a2+a+4)将 M,N 两点坐标代入抛物线解析式可求出a=3 或 1,则 M,N 的坐标分别为(3,4) , ( 1,-2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 23 页学习必备欢迎下载4. (1) (-3,0 ) (2)y=x2+4x+3(3)P(-2,1/2) 5.(1)依题意得: 02+40+m=4
17、,解得 m=4 (2 分)(2)由(1)得: y=x2+4x+4=(x+2)2,对称轴为直线l1: x=-2 ( 3 分)依题意得平移后的抛物线的对称轴为直线直线l2:x=2 (4 分)故设平移后的抛物线所对应的函数关系式为y =(x-2)2+k (5 分) 此函数最小值为-8, k=-8 即平移后的抛物线所对应的函数关系式为y =(x-2)2-8= x2-4x-4 (7 分) 存在。理由如下:由知平移后的抛物线的对称轴为直线l2:x=2 当点 P在 x 轴上方时,P与 x 轴相切,故令y= x2-4x-4=3 ,解得 x=211(7 分)此时点 P1(2+11,3),P2(2-11,3) 与
18、直线 x=2 之距均为11,故点 P1、P2不合题意,应舍去。(9 分)当点 P在 x 轴下方时,P与 x 轴相切,故令y= x2-4x-4=-3 ,解得 x=5(9 分)此时点 P3(2+5,-3),P4(2-5 ,-3) 与直线 x=2 之距均为5 ,5 3, P3、 P4均与直线 l2:x=2 相间,故点 P3、P4符合题意。(10 分)此时弦 AB=2 45322综上,点P的坐标为 (2+5 ,-3) 或 (2-5 ,-3) ,直线 l2被 P所截得的弦AB的长为 4。(11 分)6、 ( 1)322xxy,顶点( 1,4) ;4 分(2)Q(1,2) ;5 分(3)设 P(3, aa
19、).当a0 时, P(5.45.1 ,);当 0a3时, P(4943,); 当a3 时, P 点不存在 . 由得点P的坐标为(5.45.1,)或(4943,)14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 23 页学习必备欢迎下载7. 8. ()212120yxyxbxcyy,210xbxc.将1132,分别代入210xbxc,得22111110103322bcbc,解得1166bc,.函数2y的解析式为2y25166xx()由已知, 得26AB, 设ABM的高为h,312121212ABMSAB hh,即12144h.根据
20、题意,2tTh,由21166Ttt,得251166144tt.当251166144tt时,解得12512tt;当2511661 4 4tt时,解得3452521212tt,.t的值为552 52121212,. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 23 页学习必备欢迎下载D O B A x y C y=kx +1 图(9) - 1 H T E F M N G O B A x y 图(9) - 2 Q()222bcbcTtbtc,.TttbTttb,22bcbc,化简得10b. 01,得0,10b.有1010bb,. 又01
21、t,0tb,0tb,当0ta时,T ;当t 时,T ;当1t时,T9. (1)解:把A(1,0) ,C(3,2)代入抛物线23yaxaxb得2990)1(3) 1(2baabaa整理得204bba解得221ba抛物线的解析式为223212xxy( 2)令0223212xx解得1214xx, B 点坐标为( 4,0)又 D 点坐标为( 0,2)ABCD 四边形ABCD 是梯形 S梯形ABCD82)35(21设直线)0(1 kkxy与 x 轴的交点为H,与 CD 的交点为T,则 H(k1,0) ,T(k3,2)直线)0(1 kkxy将四边形ABCD 面积二等分S梯形AHTD21S梯形ABCD42)
22、311(21kk34k(3) MGx轴于点 G,线段 MGAG12 设 M(m,21m) ,点 M 在抛物线上22321212mmm解得1231mm,(舍去)M 点坐标为( 3,2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 23 页学习必备欢迎下载根据中心对称图形性质知,MQAF,MQAF,NQEF,N 点坐标为( 1,3)10. (1)解:由题意,得22210pq,即(25)qp(2)证明:一元二次方程20xpxq的判别式24pq,由( 1)得2224(25)820(4)40ppppp,一元二次方程20xpxq有两个不相等的实
23、根抛物线2yxpxq与x轴有两个交点(3)解:抛物线顶点的坐标为2424pqpM,12xx,是方程20xpxq的两个根,1212.xxpx xq,22121212| |()44ABxxxxx xpq222141|(4 )4248AMBqpSABpqpq,要使AMBS最小,只须使24pq最小而由( 2)得224(4)4pqp,所以当4p时,有最小值4,此时AMBS13q,故抛物线的解析式为243yxx11. 解: (1)将 A (1,0)B (-3 ,0)代入2yxbxc中得10930bcbc,23bc抛物线解析式为:223yxx(2)存在理由如下:由题意知A、B 两点关于抛物线的对称轴1x对称
24、,直线BC与1x的交点即为 Q点,此时 AQC周长最小,223yxx, C的坐标为:(0, 3) ,直线 BC解析式为3yxQ点坐标即为13xyx的解,12xy, Q (-1 ,2)12.(1) 由( 3 , )Bm可知3OC,BCm, 又ABC为等腰直角三角形,ACBCm,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 23 页学习必备欢迎下载3OAm,所以点A的坐标是(3,0m). (2)45ODAOAD3ODOAm,则点D的坐标是(0,3m). 又抛物线顶点为(1,0)P,且过点B、D,所以可设抛物线的解析式为:2(1)ya x
25、,得:22(31)(01)3amam解得14am抛物线的解析式为221yxx,( 3)过点Q作QMAC于点M,过点Q作QNBC于点N,设点Q的坐标是2( ,21)x xx,则2(1)QMCNx,3MCQNx. /QMCEPQMPECQMPMECPC即2(1)12xxEC,得2 (1 )E Cx/QNFCBQNBFCQNBNFCBC即234(1)4xxFC,得41FCx又4AC444()42(1)(22)2(1)8111FC ACECxxxxxx即()FC ACEC为定值 8. 13. 解: (1)由题意,得.45,643xyxy解得.415, 3yxC(3,415). (2)根据题意,得AE=
26、t,OE=8-t. 点 Q的纵坐标为45(8-t),点 P的纵坐标为43t ,PQ=45 (8-t)-43t=10-2t. 当 MN 在 AD上时, 10-2t=t , t=310. 当 0t310时, S=t(10-2t),即 S=-2t2+10t. 当310t5 时, S=(10-2t)2,即 S=4t2-40t+100. (3)当 0t 310时, S=-2(t-25)2+225, t=25时, S最大值 =225. 当310t5 时, S=4(t-5)2, t9100, S的最大值为225. (4)4t6. 14. (1)设二次函数的解析式为cbxaxy2(0a) ,把 A (0,2)
27、 ,B(1,0) ,C(5 94 8,)代入得2092558164cabcabc解得a=2 ,b=0 ,c=2,222yx(2)设直线AC的解析式为(0)ykxb k,把A (0, 2) ,C(5 94 8,)代入得29584bkb,解得522kb,522yx当x=1时,511222yM(1,12)在直线AC上(3)设E点坐标为(1322,) ,则直线EM的解析式为4536yx由2453622yxyx化简得2472036xx,即17()(2)023xx,F点的坐标为(7 136 18,) 过E点作EHx轴于H,则H的坐标为(102,) 3122EHBH,2223110()()224BE,类似地
28、可得22213131690845()()186324162BF,图 8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 23 页学习必备欢迎下载222401025001250()()186324162EF,2221084512504162162BEBFEF,BEF是直角三角形15. 解:( 1)过点 A作 AF x 轴,垂足为点F,过点 B作 BE x 轴,垂足为点E,则 AF 2,OF 1OA OB , AOF+ BOE 90又 BOE+ OBE 90, AOF OBE Rt AFO RtOEB 2OAOBAFOEOFBEBE2,O
29、E 4B(4,2) (2)设过点A(1,2) ,B(4,2),O(0,0)的抛物线为y=ax2+bx+c. 0, 2416,2ccbacba解之,得. 0,23,21cba所求抛物线的表达式为xxy23212(3)由题意,知AB x轴设抛物线上符合条件的点P到 AB的距离为d,则 SABPAFABdAB2121d2点 P的纵坐标只能是0 或 4令y0,得023212xx,解之,得x 0,或x 3符合条件的点P1(0 ,0) ,P2(3 ,0) 令y4,得423212xx,解之,得2413x符合条件的点P3(2413,4) ,P4(2413,4) 综上,符合题意的点有四个:P1(0 ,0) ,P2(3 ,0),P3(2413,4) ,P4(2413,4) (评卷时,无P1(0, 0) 不扣分)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 23 页