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1、二次函数基础知识盘点二次函数20yaxbxc a是中考必考的内容，填空题、选择题常考查其基础知识，解答题一般与其他知识组合形成综合题，并常作为压轴题，以考查学生分析问题和解决问题的能力，因此盘点一下二次函数的基础知识很有必要。一、二次函数的系数与抛物线的特征1. a的符号确定抛物线的开口，0a时开口向上；0a时开口向下。2. ab的整体符号确定抛物线对称轴的位置，当0ab（即02ba）时，对称轴在y轴的左方；当0ab（即02ba）时，对称轴在y轴的右方，特殊地，当0b时，02ba，y轴为抛物线的对称轴。当a的符号与对称轴的位置确定时，可以确定b的符号，例如，对称轴在y轴的右方时，0ab，若0a
2、，则0b；若0a，则0b。3. c的符号确定抛物线与y轴的交点位置。0c时，交点在y轴的正半轴上；0c时，交点在y轴的负半轴上。特殊地0c时，抛物线过原点。又若0b时，抛物线的顶点在原点。4. 24bac的符号确定抛物线与x轴的交点个数。0时，有两个交点；0时，只有一个交点，抛物线的顶点在x轴上；0时，没有交点。例如，二次函数20yaxbxc a的图象如图所示，则0a，0b（0ab） ，0c，0。二、二次函数与二次方程之间的关系二 次 函 数20ya xb xca中 ， 当0y时 ， 转 化 为 方 程20a xb xc，当抛物线与x轴有交点时 （0） ，可以解二次方程20axbxc，求得抛物
3、线与x轴的交点坐标，并且由图象可以确定当x取何值时0y或0y。例如，二次函数223yxx中，令2230xx，得3x或1x，抛物线与x轴交于A1,0，B3,0两点（如图2） 。当3x或1x时，0y；当13x时，0y。三、二次函数的恒等变形图 （1）0xy图（ 2）0321-4-3-2-1-1-1xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页222424bacbyaxbxca xaa。这是一种非常重要的恒等变形，应该熟练掌握，这种变形至少有以下几个方面的作用：1. 可知抛物线的顶点坐标为24,24bacbaa；2. 可知抛物线的
4、对称轴为2bxa；3. 可知二次函数的最大值或最小值，当0a时， 有最小值244acba； 当0a时， 有最大值244acba；4. 可以确定x为何值时，y随x的增大而增大，或y随x的增大而减小；5. 便于取点作出二次函数的图象（通常找出五点：顶点，与x轴的两个交点，与y轴的交点及该点关于对称轴的对称点） ；6. 有利于按照要求平移抛物线。例如，二次函数223yxx，可通过配方变形为214yx。由此可知抛物线的顶点坐标为1, 4；对称轴为1x；当1x时，函数有最小值4；当1x时，y随x的增大而减小，当1x时，y随x的增大而增大；取五点：1,0，0, 3，1, 4，2, 3，3,0可以作出此二次
5、函数的图象（如上图） ；将抛物线向左平移1 个单位，再向上平移4 个单位，就可以得到二次函数2yx的图象。四、二次函数解析式的确定二次函数一般有三种形式：1. 一般式：2yaxbxc；2. 顶点式：2ya xmn，,m n为抛物线的顶点；3. 交点式：12ya xxxx，12,x x为抛物线与x轴交点的横坐标。解题时，要根据所给的条件，灵活选择其中的一种表达形式。例 1 如图，二次函数2yaxbxc的图象过点1,0A和点1, 2B，且与y轴交于正半轴，给出下列四个结论：0abc20ab1ac1a其中正确结论的序号是_。解：由图象可知0a，0b（0ab） ，0c，0abc。1-2-10-1xy精
6、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页又由图象可知，对称轴12bxa，即12ba。0a，2ba，即20ab。图象过点1,0和1, 2，0,2,abcabc二式相加得，1ac。1ac，1ac，0c，1a。正确结论的序号是。例 2 已知抛物线2112yxmxn经过1,2A、4, 3B两点。求此抛物线的解析式；求抛物线与x轴的交点坐标；求抛物线的顶点坐标和对称轴方程；画出此抛物线的图象；当x取何值时，0y？当x取何值时，y随x的增大而增大？将此抛物线沿x轴方向向右平移32个单位， 再沿y轴方向向下平移98个单位， 求平移后的抛物
7、线的解析式。解：抛物线过1,2和4, 3，112,28413,mnmn即51,2415.mnmn解得3,23.mn211322yxx。解2113022xx，即260xx，得2x或3x。抛物线与x轴交于2,0和3,0。22111125322228yxxx。抛物线的顶点坐标是1 25,28，对称轴是12x。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页图 1y=ax2xyOy= a（xab2）2y= a（xab2）2+abac442抛物线过2,0、1,2、0,3、1 25,28、1,3、3,0、4, 3诸点，图象如图。当2x和4x时
8、，0y。当12x时，y随x的增大而增大。平移后的解析式为211325922288yx，即21222yx。二次函数的图象知识总结【知识梳理】一、图象平移示意图一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a（x- h）2+k 的图象二、图象的平移方法1、用配方法将二次函数y=ax2+bx+c 转化成 y=a（x- h）2+k 的形式即y=ax2bx c= a（x2abxac）= a x22ab2x（ab2）2（ab2）2ac = a（xab2）2abac4422、图象的平移的方向和大小根据ab2的正（负）将其图象向左（右）平移|ab2|个单位；再根据abac442的正（负）将其图象向上
9、xy321-34301-1-12-2-2y=ax2上、下移y=ax2+k左、右移y=a（x- h）2y=a（x- h）2+k左、右移上、下移上、下移且左、 右移精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页（下）平移 |abac442|个单位，即可得到二次函数y=ax2+bx+c 的图象，如图1 所示三、图象的性质1、二次函数y=ax2+bx+c的图象是以x =ab2为对称轴，以（ab2，abac442）为顶点的抛物线2、二次函数y=ax2+bx+c 的图象，如图2，当 a 0 时，其图象的开口向上，这时当x ab2时 y 的值
10、随 x 的增大而增大；当x =ab2时， y 有最小值abac442如图3，当 a 0 时，其图象的开口向下，这时当x ab2时 y 的值随 x 的增大而减小；当 x =ab2时， y 有最大值abac4423、二次函数y=ax2+bx+c的图象的二次项系数a 定形；顶点（ab2，abac442） 定位【链接中考】例 1 二次函数y=x22x3 的对称轴和顶点坐标分别是（）Ax = 1， （1， 4）B x = 1， （1， 4）C x = 1， （ 1，4）D x = 1， （ 1， 4）解析：将y=x22x3 配方，y= x22x3= x22x113=（x1）24对称轴是x = 1，顶点坐
11、标是（1， 4） 故应选 A注：还可以直接利用顶点坐标公式求得（读者自己完成）例 2 在距离地面2 米高的某处把一物体以初速度0（米 /秒）竖直向上抛出 ,在不计空气阻力的情况下,其上升高度s （米） 与抛出时间t（秒） 满足： s=0t21gt2 (其中g是常数 ,通常取 10 米/秒2),若0=10 米/秒,则该物体在运动过程中最高点距离地面米解析：由题意，得s=10t5t2则s=10t5t2 =5（t2 2t）=5（t22t11）x=ab2yxOx=ab2xyO图 2图 33.05 米O x y 图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
12、- -第 5 页，共 8 页=5（t 1）25所以，该函数的最大值为5故该物体在运动过程中最高点距离地面52 = 7（米）例 3 如图 4，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=51x23.5 运行， 然后准确落入篮框内。已知篮框的中心离地面的距离为3.05 米（1）球在空中运行的最大高度为多少米？（2） 如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25 米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？解析：（1）由抛物线y=51x23.5 知，其顶点为（0， 3.5） 所以，球在空中运行的最大高度为3.5 米（2）在 y=51x23.5 中，当 y =3.05 时， 3.05=51x2 3.5， x
13、 = 1.5又 x 0，x =1.5当 y =2.25 时， 2.25=51x2 3.5， x = 2.5又 x 0，x =2.5故运动员距离篮框中心的水平距离是|1.5|2.5| = 4（米） 求二次函数解析式的三种方法一、已知任意三点求解析式用一般式，即2(0 )ya xb xc a。方法 是：把三点坐标分别代入一般式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，即可得到二次函数的解析式。例 1、如图，抛物线经过A、B、C 三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E，求抛物线的解析式yx-1321321EDC(2,3)BA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
14、总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页分析：观察图像，点A、B、C、E 的坐标已知，在其中任选三点，将它们的坐标代入一般式，即可求出抛物线的解析式解：设抛物线的解析式为2yaxbxc，由图像可知，抛物线经过点A（1，0） 、 B（0，3） 、 C（2， 3）三点，所以03423abccabc，解得123abc，所以抛物线的解析式为23yxx二、已知顶点或最大（小）值求解析式用顶点式，即2()(0)ya xhk a方法 是：先将顶点坐标（h，k）或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入求出a，即可得抛物线的解析式例 2、已知二次函数2yaxbxc的顶点为（2，1） ，且过点
15、（ 2， 7） ，求二次函数的解析式分析：本题提供的是一般式，若用一般式求解比较繁琐，若设顶点式，则只需求一个待定系数即可。解：设二次函数为2(2)1ya x，把点（ 2，7）代入解析式，得27(22)1a，解得12a，所以二次函数的解析式为21(2)12yx，即21212yxx三、已知与x轴两交点坐标求解析式用交点式，即12()()(0)ya xxxxa方法 是：将抛物线与x轴两个交点的横坐标1x、2x代入交点式， 然后将抛物线上另一点的坐标代入求出a，即可得抛物线的解析式例 3、已知变量y是x的二次函数，且函数图像如图，在x轴上截得的线段AB 长为 4 个单位，又知函数图像顶点坐标为P（3
16、，2） ，求这个函数的解析式分析：因为函数图像在x轴上截得的线段AB 长为 4 个单位，且函数图像顶点坐标为P（3，2） ，根据图像可知，图像与x轴的两个交点的坐标分别为A（1，0） 、B（5，0） ，然后利用交点式即可求出二次函数的解析式解：因为函数图像顶点坐标为P（3，2） ，在x轴上截得的线段AB 长为 4 个单位，所以抛物线与x轴的交点分别为A（1，0） 、B（5， 0） ，设所求二次函数解析式为(1)(5)ya xx。因为函数图像经过P（3，2） ，所以2(31)(35)a，解得12a，所以二次函数的解析式为1(1)(5)2yxx，即215222yxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页yxPOBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
