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1、二次函数基础知识盘点二次函数20yaxbxc a是中考必考的内容,填空题、选择题常考查其基础知识,解答题一般与其他知识组合形成综合题,并常作为压轴题,以考查学生分析问题和解决问题的能力,因此盘点一下二次函数的基础知识很有必要。一、二次函数的系数与抛物线的特征1. a的符号确定抛物线的开口,0a时开口向上;0a时开口向下。2. ab的整体符号确定抛物线对称轴的位置,当0ab(即02ba)时,对称轴在y轴的左方;当0ab(即02ba)时,对称轴在y轴的右方,特殊地,当0b时,02ba,y轴为抛物线的对称轴。当a的符号与对称轴的位置确定时,可以确定b的符号,例如,对称轴在y轴的右方时,0ab,若0a
2、,则0b;若0a,则0b。3. c的符号确定抛物线与y轴的交点位置。0c时,交点在y轴的正半轴上;0c时,交点在y轴的负半轴上。特殊地0c时,抛物线过原点。又若0b时,抛物线的顶点在原点。4. 24bac的符号确定抛物线与x轴的交点个数。0时,有两个交点;0时,只有一个交点,抛物线的顶点在x轴上;0时,没有交点。例如,二次函数20yaxbxc a的图象如图所示,则0a,0b(0ab) ,0c,0。二、二次函数与二次方程之间的关系二 次 函 数20ya xb xca中 , 当0y时 , 转 化 为 方 程20a xb xc,当抛物线与x轴有交点时 (0) ,可以解二次方程20axbxc,求得抛物
3、线与x轴的交点坐标,并且由图象可以确定当x取何值时0y或0y。例如,二次函数223yxx中,令2230xx,得3x或1x,抛物线与x轴交于A1,0,B3,0两点(如图2) 。当3x或1x时,0y;当13x时,0y。三、二次函数的恒等变形图 (1)0xy图( 2)0321-4-3-2-1-1-1xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页222424bacbyaxbxca xaa。这是一种非常重要的恒等变形,应该熟练掌握,这种变形至少有以下几个方面的作用:1. 可知抛物线的顶点坐标为24,24bacbaa;2. 可知抛物线的
4、对称轴为2bxa;3. 可知二次函数的最大值或最小值,当0a时, 有最小值244acba; 当0a时, 有最大值244acba;4. 可以确定x为何值时,y随x的增大而增大,或y随x的增大而减小;5. 便于取点作出二次函数的图象(通常找出五点:顶点,与x轴的两个交点,与y轴的交点及该点关于对称轴的对称点) ;6. 有利于按照要求平移抛物线。例如,二次函数223yxx,可通过配方变形为214yx。由此可知抛物线的顶点坐标为1, 4;对称轴为1x;当1x时,函数有最小值4;当1x时,y随x的增大而减小,当1x时,y随x的增大而增大;取五点:1,0,0, 3,1, 4,2, 3,3,0可以作出此二次
5、函数的图象(如上图) ;将抛物线向左平移1 个单位,再向上平移4 个单位,就可以得到二次函数2yx的图象。四、二次函数解析式的确定二次函数一般有三种形式:1. 一般式:2yaxbxc;2. 顶点式:2ya xmn,,m n为抛物线的顶点;3. 交点式:12ya xxxx,12,x x为抛物线与x轴交点的横坐标。解题时,要根据所给的条件,灵活选择其中的一种表达形式。例 1 如图,二次函数2yaxbxc的图象过点1,0A和点1, 2B,且与y轴交于正半轴,给出下列四个结论:0abc20ab1ac1a其中正确结论的序号是_。解:由图象可知0a,0b(0ab) ,0c,0abc。1-2-10-1xy精
6、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页又由图象可知,对称轴12bxa,即12ba。0a,2ba,即20ab。图象过点1,0和1, 2,0,2,abcabc二式相加得,1ac。1ac,1ac,0c,1a。正确结论的序号是。例 2 已知抛物线2112yxmxn经过1,2A、4, 3B两点。求此抛物线的解析式;求抛物线与x轴的交点坐标;求抛物线的顶点坐标和对称轴方程;画出此抛物线的图象;当x取何值时,0y?当x取何值时,y随x的增大而增大?将此抛物线沿x轴方向向右平移32个单位, 再沿y轴方向向下平移98个单位, 求平移后的抛物
7、线的解析式。解:抛物线过1,2和4, 3,112,28413,mnmn即51,2415.mnmn解得3,23.mn211322yxx。解2113022xx,即260xx,得2x或3x。抛物线与x轴交于2,0和3,0。22111125322228yxxx。抛物线的顶点坐标是1 25,28,对称轴是12x。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页图 1y=ax2xyOy= a(xab2)2y= a(xab2)2+abac442抛物线过2,0、1,2、0,3、1 25,28、1,3、3,0、4, 3诸点,图象如图。当2x和4x时
8、,0y。当12x时,y随x的增大而增大。平移后的解析式为211325922288yx,即21222yx。二次函数的图象知识总结【知识梳理】一、图象平移示意图一般地,平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x- h)2+k 的图象二、图象的平移方法1、用配方法将二次函数y=ax2+bx+c 转化成 y=a(x- h)2+k 的形式即y=ax2bx c= a(x2abxac)= a x22ab2x(ab2)2(ab2)2ac = a(xab2)2abac4422、图象的平移的方向和大小根据ab2的正(负)将其图象向左(右)平移|ab2|个单位;再根据abac442的正(负)将其图象向上
9、xy321-34301-1-12-2-2y=ax2上、下移y=ax2+k左、右移y=a(x- h)2y=a(x- h)2+k左、右移上、下移上、下移且左、 右移精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页(下)平移 |abac442|个单位,即可得到二次函数y=ax2+bx+c 的图象,如图1 所示三、图象的性质1、二次函数y=ax2+bx+c的图象是以x =ab2为对称轴,以(ab2,abac442)为顶点的抛物线2、二次函数y=ax2+bx+c 的图象,如图2,当 a 0 时,其图象的开口向上,这时当x ab2时 y 的值
10、随 x 的增大而增大;当x =ab2时, y 有最小值abac442如图3,当 a 0 时,其图象的开口向下,这时当x ab2时 y 的值随 x 的增大而减小;当 x =ab2时, y 有最大值abac4423、二次函数y=ax2+bx+c的图象的二次项系数a 定形;顶点(ab2,abac442) 定位【链接中考】例 1 二次函数y=x22x3 的对称轴和顶点坐标分别是()Ax = 1, (1, 4)B x = 1, (1, 4)C x = 1, ( 1,4)D x = 1, ( 1, 4)解析:将y=x22x3 配方,y= x22x3= x22x113=(x1)24对称轴是x = 1,顶点坐
11、标是(1, 4) 故应选 A注:还可以直接利用顶点坐标公式求得(读者自己完成)例 2 在距离地面2 米高的某处把一物体以初速度0(米 /秒)竖直向上抛出 ,在不计空气阻力的情况下,其上升高度s (米) 与抛出时间t(秒) 满足: s=0t21gt2 (其中g是常数 ,通常取 10 米/秒2),若0=10 米/秒,则该物体在运动过程中最高点距离地面米解析:由题意,得s=10t5t2则s=10t5t2 =5(t2 2t)=5(t22t11)x=ab2yxOx=ab2xyO图 2图 33.05 米O x y 图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
12、- -第 5 页,共 8 页=5(t 1)25所以,该函数的最大值为5故该物体在运动过程中最高点距离地面52 = 7(米)例 3 如图 4,一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线y=51x23.5 运行, 然后准确落入篮框内。已知篮框的中心离地面的距离为3.05 米(1)球在空中运行的最大高度为多少米?(2) 如果该运动员跳投时,球出手离地面的高度为2.25 米,请问他距离篮框中心的水平距离是多少?解析:(1)由抛物线y=51x23.5 知,其顶点为(0, 3.5) 所以,球在空中运行的最大高度为3.5 米(2)在 y=51x23.5 中,当 y =3.05 时, 3.05=51x2 3.5, x
13、 = 1.5又 x 0,x =1.5当 y =2.25 时, 2.25=51x2 3.5, x = 2.5又 x 0,x =2.5故运动员距离篮框中心的水平距离是|1.5|2.5| = 4(米) 求二次函数解析式的三种方法一、已知任意三点求解析式用一般式,即2(0 )ya xb xc a。方法 是:把三点坐标分别代入一般式,得到关于a、b、c的三元一次方程组,求出a、b、c的值,即可得到二次函数的解析式。例 1、如图,抛物线经过A、B、C 三点,顶点为D,且与x轴的另一个交点为E,求抛物线的解析式yx-1321321EDC(2,3)BA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
14、总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页分析:观察图像,点A、B、C、E 的坐标已知,在其中任选三点,将它们的坐标代入一般式,即可求出抛物线的解析式解:设抛物线的解析式为2yaxbxc,由图像可知,抛物线经过点A(1,0) 、 B(0,3) 、 C(2, 3)三点,所以03423abccabc,解得123abc,所以抛物线的解析式为23yxx二、已知顶点或最大(小)值求解析式用顶点式,即2()(0)ya xhk a方法 是:先将顶点坐标(h,k)或最大(小)值代入顶点式,再把另一点的坐标代入求出a,即可得抛物线的解析式例 2、已知二次函数2yaxbxc的顶点为(2,1) ,且过点
15、( 2, 7) ,求二次函数的解析式分析:本题提供的是一般式,若用一般式求解比较繁琐,若设顶点式,则只需求一个待定系数即可。解:设二次函数为2(2)1ya x,把点( 2,7)代入解析式,得27(22)1a,解得12a,所以二次函数的解析式为21(2)12yx,即21212yxx三、已知与x轴两交点坐标求解析式用交点式,即12()()(0)ya xxxxa方法 是:将抛物线与x轴两个交点的横坐标1x、2x代入交点式, 然后将抛物线上另一点的坐标代入求出a,即可得抛物线的解析式例 3、已知变量y是x的二次函数,且函数图像如图,在x轴上截得的线段AB 长为 4 个单位,又知函数图像顶点坐标为P(3
16、,2) ,求这个函数的解析式分析:因为函数图像在x轴上截得的线段AB 长为 4 个单位,且函数图像顶点坐标为P(3,2) ,根据图像可知,图像与x轴的两个交点的坐标分别为A(1,0) 、B(5,0) ,然后利用交点式即可求出二次函数的解析式解:因为函数图像顶点坐标为P(3,2) ,在x轴上截得的线段AB 长为 4 个单位,所以抛物线与x轴的交点分别为A(1,0) 、B(5, 0) ,设所求二次函数解析式为(1)(5)ya xx。因为函数图像经过P(3,2) ,所以2(31)(35)a,解得12a,所以二次函数的解析式为1(1)(5)2yxx,即215222yxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页yxPOBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页