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1、学习必备欢迎下载二次函数中的存在性问题(讲义)一、知识点睛解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤:_ 研究确定图形,先画图解决其中一种情形_.先验证的结果是否合理, 再找其他分类, 类比第一种情形求解_.结合点的运动范围,画图或推理,对结果取舍二、精讲精练1.如图,已知点 P 是二次函数 y=-x2+3x 图象在 y 轴右侧部分上的一个动点, 将直线 y=- 2x 沿 y 轴向上平移,分别交x 轴、y 轴于 A、B 两点. 若以 AB 为直角边的 PAB 与OAB 相似,请求出所有符合条件的点P 的坐标yxOOxyyxOOxyBAyxOOxyAB2.抛物线21134yx与 y 轴交于点 A,顶
2、点为 B,对称轴 BC 与 x 轴交于点 C点 P 在抛物线上,直线PQ/BC 交 x 轴于点 Q,连接 BQ(1)若含 45 角的直角三角板如图所示放置,其中一个顶点与点C 重合,直角顶点 D 在 BQ 上,另一个顶点E 在 PQ 上,求直线 BQ 的函数解析式;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 35 页学习必备欢迎下载(2) 若含 30 角的直角三角板的一个顶点与点C 重合,直角顶点 D 在直线 BQ上(点 D 不与点 Q 重合) ,另一个顶点 E 在 PQ 上,求点 P 的坐标COyBAxxAByOCQPEDCOyB
3、Ax3.如图,矩形 OBCD 的边 OD、OB 分别在 x 轴正半轴和 y 轴负半轴上,且 OD10,OB8将矩形的边 BC 绕点 B 逆时针旋转,使点C 恰好与 x 轴上的点 A 重合(1)若抛物线cbxxy231经过A、B 两点,则该抛物线的解析式为_ ;(2)若点 M 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点,作MNx 轴于点 N是否存在点 M,使AMN 与ACD 相似?若存在, 求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 35 页学习必备欢迎下载yxADCBOyxADCBO4.已知抛物线2=
4、23y xx经过 A、B、C 三点,点 P (1,k)在直线 BC:y=x3上,若点 M 在 x 轴上,点 N 在抛物线上,是否存在以A、M、N、P 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点 M 的坐标;若不存在, 请说明理由BOPxyCA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 35 页学习必备欢迎下载5.抛物线2212xxy与 y 轴交于点 C,与直线 y=x 交于 A(- 2,- 2) 、B( 2,2) 两点如图,线段MN 在直线 AB 上移动,且2MN,若点 M 的横坐标为 m,过点 M 作 x 轴的垂线与 x 轴交于
5、点 P,过点 N 作 x 轴的垂线与抛物线交于点 Q以 P、M、Q、N 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,请求出 m的值;若不能,请说明理由BOPxyCA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 35 页学习必备欢迎下载ACyxOBNMBOxyCA三、回顾与思考_ _ 【参考答案】一、 知识点睛 画图分析分类讨论验证取舍二、 精讲精练1.解:由题意,设 OA=m,则 OB=2m;当BAP=90时, BAPAOB或BAPBOA; 若BAPAOB,如图 1,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
6、 - - - -第 5 页,共 35 页学习必备欢迎下载图1OABPMxy可知 PMAAOB,相似比为 2:1;则 P1(5m,2m) ,代入xxy32,可知2513m,)2526,513(1P 若BAPBOA,如图 2,图2OABPMxy可知 PMAAOB,相似比为 1:2;则 P2(2m,2m) ,代入xxy32,可知811m,)1611,411(2P当ABP=90时, ABPAOB或ABPBOA; 若ABPAOB,如图 3,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 35 页学习必备欢迎下载图3OABPMxy可知 PMBBOA
7、,相似比为 2:1;则 P3(4m,4m) ,代入xxy32,可知21m,)2,2(3P 若ABPBOA,如图 4,图4OABPMxy可知 PMBBOA,相似比为 1:2;则 P4(m,m25) ,代入xxy32,可知21m,41 5(,)2 4P2.解: (1)由抛物线解析式21134yx可得 B 点坐标( 1,3). 要求直线 BQ 的函数解析式,只需求得点Q 坐标即可,即求 CQ 长度. 过点 D 作 DGx 轴于点 G,过点 D 作 DFQP 于点 F. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 35 页学习必备欢迎下载G
8、FEBADCPQOxy则可证 DCGDEF.则 DG=DF,矩形 DGQF 为正方形 . 则DQG=45 ,则 BCQ 为等腰直角三角形 . CQ=BC=3,此时, Q 点坐标为( 4,0)可得 BQ 解析式为 y=x+4. (2)要求 P 点坐标,只需求得点 Q 坐标,然后根据横坐标相同来求点P 坐标即可. 而题目当中没有说明 DCE=30 还是 DCE=60 ,所以分两种情况来讨论 . 当DCE=30 时,a)过点 D 作 DHx 轴于点 H,过点 D 作 DKQP 于点 K. HKEBADCPQOxy则可证 DCHDEK.则3DHDCDKDE,在矩形 DHQK 中,DK=HQ,则3DHH
9、Q. 在 RtDHQ 中, DQC=60 . 则在 Rt BCQ 中,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 35 页学习必备欢迎下载3BCCQCQ=3,此时, Q 点坐标为( 1+3,0)则 P 点横坐标为 1+3.代入21134yx可得纵坐标 . P(1+3,94). b)又 P、Q 为动点,可能PQ 在对称轴左侧,与上一种情形关于对称轴对称. yxOQPCDABEKH由对称性可得此时点P 坐标为( 13,94) 当DCE=60 时,a) 过点 D 作 DMx 轴于点 M,过点 D 作 DNQP 于点 N. NMEBADCP
10、QOxy则可证 DCMDEN.则13DMDCDNDE,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 35 页学习必备欢迎下载在矩形 DMQN 中,DN=MQ,则13DMMQ. 在 RtDMQ 中, DQM=30 . 则在 RtBCQ 中,13BCCQCQ=3BC=3 3,此时, Q 点坐标为( 1+3 3,0)则 P 点横坐标为 1+3 3.代入21134yx可得纵坐标 . P(1+3 3,154). b)又 P、Q 为动点,可能PQ 在对称轴左侧,与上一种情形关于对称轴对称. yxOQPCDABEMN由对称性可得此时点P 坐标为(
11、13 3,154)综上所述, P 点坐标为( 1+3,94) , (13,94) , (1+3 3,154)或( 13 3,154). 3解: (1)AB=BC=10,OB=8 在 RtOAB 中,OA=6 A(6,0)将 A(6,0) ,B(0,-8)代入抛物线表达式,得,8310312xxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 35 页学习必备欢迎下载(2)存在:如果 AMN 与ACD 相似,则21ANMN或2ANMN设 M),(8310312mmm(0m6)1) 假设点 M 在 x 轴下方的抛物线上,如图1 所示:图1
12、OBCDAxyMN当21ANMN时,2168310312mmm,即2164631mmm)(25m),(4725M如图 2 验证一下:图2OBCDAxyMN当2ANMN时,268310312mmm,即264631mmm)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 35 页学习必备欢迎下载2m(舍)2)如果点 M 在 x轴上方的抛物线上:当21ANMN时,2168310312mmm,即2164631mmm)(211mM),(41211此时41MN,21AN21ANMNAMNACDM),(41211满足要求当2ANMN时,268310
13、312mmm,即264631mmm)(m=10(舍)综上 M1),(4725,M2),(412114.解:满足条件坐标为:1(36,0)M2(36,0)M3( 12,0)M4( 12,0)M思路分析: A、M、N、P 四点中点 A、点 P 为顶点,则 AP 可为平行四边形边、对角线;(1)如图,当 AP 为平行四边形边时,平移AP;点 A、P 纵坐标差为 2 点 M、N 纵坐标差为 2;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 35 页学习必备欢迎下载点 M 的纵坐标为 0 点 N 的纵坐标为 2 或- 2 当点 N 的纵坐标为
14、 2 时解:2232xx得16x又点 A、P 横坐标差为 2 点 M 的坐标为:1(36,0)M、2(36,0)M当点 N 的纵坐标为 -2 时解:2232xx得12x又点 A、P 横坐标差为 2 点 M 的坐标为:3( 12,0)M、4( 12,0)M(2)当 AP 为平行四边形边对角线时;设 M5(m,0)MN 一定过 AP的中点( 0,-1)则 N5(-m,- 2)N5在抛物线上2232mm12m(负值不符合题意,舍去)12m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 35 页学习必备欢迎下载5( 12,0)M综上所述 :
15、符合条件点 P 的坐标为:1(36,0)M2(36,0)M3( 12,0)M4( 12,0)M5解:分析题意,可得: MPNQ,若以 P、M、N、Q 为顶点的四边形为平行四边形,只需 MP=NQ 即可由题知:(,)M m m,(,0)P m,(1,1)N mm,21(1,(1) +(1)2)2Q mmm故只需表达 MP、NQ 即可.表达分下列四种情况:OPQNMBA图1yxOPQNMBA图2yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 35 页学习必备欢迎下载OPQNMBA图3yxOPQNMBA图4yx如图 1,PMm,21(1
16、)22QNm,令 PM=QN,解得:1=2+7m(舍去) ,2=27m;如图 2,PMm,21(1) +22QNm,令 PM=QN,解得:1=3m(舍去) ,1=3m;如图 3,PMm,21(1) +22QNm,令 PM=QN,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 35 页学习必备欢迎下载解得:1=2+7m,2=27m(舍去) ;如图 4,PMm,21(1)22QNm,令 PM=QN,解得:1=3m,1=3m(舍去) ;综上, m的值为1=27m、2=3m、3=2+7m、4=3m二次函数中的存在性问题(每日一题)1.如图,在
17、矩形 OABC 中,AO=10,AB=8,沿直线 CD 折叠矩形 OABC 的一边 BC,使点B 落在 OA 边上的点 E 处分别以 OC,OA 所在的直线为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,抛物线2yaxbxc经过 O,D,C 三点(1)求 AD 的长及抛物线的解析式;(2)点 N 在抛物线对称轴上,点M 在抛物线上,是否存在这样的点M与点 N,使以 M,N,C,E 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点 M 与点 N 的坐标;若不存在,请说明理由CyxEADBO2.在平面直角坐标系中, 二次函数22yaxbx的图象与 x 轴交于 A (-3,0) ,B(1,0)两点,与 y 轴交于
18、点 C(1)求这个二次函数的解析式;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 35 页学习必备欢迎下载(2)点 M 为抛物线上一动点,在x 轴上是否存在点 Q,使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由yxCBOA3.如图,抛物线与 x 轴交于 A(-1,0) ,B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,- 3) ,设抛物线的顶点为 D(1)求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标;(2)以 B、C、D 为顶点的三角形是直角三角形吗?请证明你的结论(3)探究坐标轴上是否存在点P
19、,使得以 P、A、C 为顶点的三角形与BCD 相似?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由yxCDBOA4.如图,已知抛物线经过A(- 2,0) ,B(-3,3)及原点 O,顶点为 C(1)求抛物线的解析式;(2)若点 D 在抛物线上,点 E 在抛物线的对称轴上,且以A、O、D、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 35 页学习必备欢迎下载E 为顶点的四边形是平行四边形,求出点D 的坐标;(3)P 是 y 轴左侧抛物线上的动点,过P 作 PMx 轴,垂足为 M,是否存在点 P,使得以 P、M、A 为顶点的三角形与
20、BOC 相似?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由yxBPOCA【参考答案】【1】解: (1)在矩形 ABCD 中,BC=AO=10,OC=AB=8, 由折叠可知: CE=BC=10,DE=BD在 RtEOC 中,由勾股定理可得EO=6,AE=4,设 AD=x,则 DE=8- x在 RtADE 中由勾股定理得 42+x2=(8- x)2,x=3,则 D(3,10) ,AD=3将 O(0,0) ,D(3,10) ,C(8,0)代入2yaxbxc,得221633yxx(2)存在;理由:当 EC 为平行四边形的边时,则 MNEC,MN=EC由 E(0,6) ,C(8,6)可知 E、C
21、之间的水平距离为8,M、N 之间的水平距离也是8 点 N 在抛物线对称轴直线x=4 上,若 M 在对称轴左侧,则M 的横坐标为 - 4,代入抛物线可得 M1(- 4,- 32)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 35 页学习必备欢迎下载N1(4,- 38)若 M 在对称轴右侧,则M 的横坐标为 12,代入抛物线可得M2(12,- 32)N2(4,- 26)当 EC 为平行四边形对角线时,MN 过 EC 的中点( 4,3)N 在直线 x=4上,直线 MN 与直线 x=4 重合, M3(4,323)N3(4,143)综上所述:
22、 M、N 的坐标为:M1(- 4,- 32) ,N1(4,- 38) ;M2(12,- 32) ,N2(4,- 26) ;M3(4,323) ,N3(4,143)【2】 解: (1) 将 A (- 3, 0) , B (1, 0) 代入22yaxbx, 可得:224233yxx(2)存在;理由:当 AC 为平行四边形的边时:MQAC若 M 在 x 轴上方,则 MCQA,MC=QA由 C(0,2)可知点 M 的纵坐标为 2,代入抛物线解析式得M1(- 2,2)QA=MC=2 由 A(- 3,0)知 Q1(- 5,0)若 M 在 x 轴下方,则四边形 MACQ 为平行四边形,则 C 与 M 到 x
23、 轴的距离相等,由 C(0,2)知 M 的纵坐标为 - 2,代入抛物线解析式得M2(17 ,- 2) ,M3(1+ 7 ,- 2)Q2(27 ,0) ,Q3(2+ 7 ,0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 35 页学习必备欢迎下载M3Q3Q2Q1M2M1yxCBOA当 AC 为平行四边形的对角线时,MQ 过 AC 的中点(32,1)M 在 x 轴上方, MCAQM(- 2,2)由 MQ 中点(32,1)可得 Q4(- 1,0)AOBCxyM4Q4综上所述: Q1(- 5,0) ;Q2( 27 ,0) ;Q3(2+7 ,
24、0) ;Q4(- 1,0)【3】 (1)由 A(1,0) ,B(3,0) ,C(0,3)可得解析式:223yxx顶点 D(1,- 4)(2)以 B、C、D 为顶点的三角形是直角三角形,理由如下:过点 D 分别作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为E、F在 RtBOC 中,OB=3,OC=3,BC=3 2,在 RtCDF 中,DF=1,CF=OF- OC=4- 3=1,CD=2,在 RtBDE 中,DE=4,BE=OB- OE=3- 1=2,BD=2 5 ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 35 页学习必备欢迎下载BC2+C
25、D2=BD2,故 BCD 为直角三角形FEyxCDBOA(3)存在;理由:连接 AC,则易证 RtAOCRtDCB,CDB=OAC,DBC=ACO 当 P 在 x 轴上时,若APC=90 ,则 PCx 轴, P 与 O 重合,此时 RtAPCRtDCB,符合题意, P1(0,0)若ACP=90 , CDB=OAC,易证 RtAPCRtDCB,符合题意,RtAOCRtACP,AOOCOCOP,OP=9,P2(9,0) 当 P 在 y 轴上时,若APC=90 ,P 与 O 重合,若PAC=90 , DBC=ACO,易证 RtDCBRtP AC,符合题意易证 RtPOARtAOC,AOOPOCAO,
26、OP=13,P3(0,13)综上所述符合条件的P 点有三个: P1(0,0) ,P2(9,0) ,P3(0,13)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 35 页学习必备欢迎下载P3P2AOBDCxy【4】 (1)由 A(2,0) ,B(- 3,3) ,O(0,0)可得解析式:2+2yxx(2)当 AO 为平行四边形的边时, DEAO,DE=AO,由 A(- 2,0)知 DE=AO=2,若 D 在对称轴直线 x=- 1 左侧,则 D 横坐标为 - 3,代入抛物线解析式得D1(- 3,3)若 D 在对称轴直线 x=- 1 右侧,
27、则 D 横坐标为 1,代入抛物线解析式得D2(1,3)当 AO 为平行四边形对角线时,DE 过 AO 中点( - 1,0) ,E 在直线 x=- 1 上,直线 DE 与对称轴重合,D3(- 1,- 1)综上所述:符合条件的D 有三个:D1(- 3,3)D2(1,3)D3(- 1,- 1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 35 页学习必备欢迎下载C(D3)E D2D1AOBxy(3)存在,如图: B(- 3,3),C(- 1,- 1),根据勾股定理得:BO2=18,CO2=2,BC2=20,BO2+CO2=BC2BOC 是
28、直角三角形且3BOCO. 设 P(m,2+2mm)当 P 在 x 轴下方,则 - 2m0,MyxBPOCA若3PMAM,则2232mmm,m=- 2(舍)或者 m=- 3(舍)若13PMAM,则22123mmm,m=- 2(舍)或者 m=13,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 35 页学习必备欢迎下载P1(13,59)当 p 在 x轴上方,则 m- 2, ACOPBxyM若3PMAM,则2+232mmm,m=- 2(舍)或者 m=- 3,P2 (- 3,3)若13PMAM,则2+2123mmm,m=- 2(舍)或者 m=
29、13(舍)综上所述:符合条件的P 有两个点: P1(13,59) ,P2(- 3,3)二次函数中的存在性问题(随堂测试)1如图,抛物线21yaxbx与x轴交于 A(-1,0) 、B(1,0)两点,与y轴交于点 C(1)求抛物线的解析式;(2)过点 B作BDCA与抛物线交于点 D,求四边形 ACBD的面积;(3)M是x轴下方抛物线上的一个动点,过M作MNx轴于点 N,是否存在点M,使以 A、M、N为顶点的三角形与 BCD相似?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 35 页学习必备欢
30、迎下载ACDyxOB【参考答案】1. (1)y=- x2+1 (2)4 (3)M(- 2,- 3),(4,- 15),47(,)39二次函数中的存在性问题(作业)5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=- x2+2x+3 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y轴交于点 C,点 D 是该抛物线的顶点(1)求直线 AC 的解析式及 B,D 两点的坐标;(2)点 P 是 x 轴上一个动点,过P 作直线 lAC 交抛物线于点 Q,试探究:随着 P 点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点 A,P,Q,C 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出符合条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由精选学习资料
31、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 35 页学习必备欢迎下载BDxOyCABDxOyCA6.如图,已知二次函数1(2)(1320)48yxx的图象过点A(- 4,3) ,B( 4,4) ,交 x 轴于 C、D 两点(1)求证: ACB 是直角三角形;(2)若点 P 是 x 轴上方抛物线上的一个动点,设点P 的横坐标为 m,过点 P作 PHx 轴于点 H,是否存在以 P、H、D 为顶点的三角形与 ABC 相似?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由HCODxByPAAyBxDOC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
32、归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 35 页学习必备欢迎下载7.如图,在平面直角坐标系中,直线3342yx与抛物线2543412xxy交于 A、B 两点,点 A 在 x 轴上若点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一动点 (不与点 A、B 重合) ,设点 P 的横坐标为 m,连接 PA,以 PA 为边作图示一侧的正方形 APFG随着点 P 的运动,正方形的大小、位置也随之改变当顶点F 或 G 恰好落在 y 轴上时,请写出对应的点P 的坐标GFPBAyxOOxyAB8.在平面直角坐标系中,抛 物 线23ya xb x与 x 轴的 两 个交点分别为 A(- 3,0) ,B( 1,0
33、) ,过顶点 C 作 CHx 轴于点 H(1)直接填写: a= ,b= ,顶点 C 的坐标为;(2)若点 P 是 x 轴上方抛物线上的一动点 (点 P 与顶点 C 不重合) ,PQACOxyAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 35 页学习必备欢迎下载于点 Q,当 PCQ 与ACH 相似时,求点 P 的坐标HBxOyCAHBxOyCA【参考答案】1解: (1)由抛物线解析式 y=- x2+2x+3 可得:A(-1,0),B(3,0),C(0,3),D(1,4),再由 A、C 两点坐标,可得直线 AC的解析式为:y=3x+
34、3 (2)由题意可得: PQAC且 PQ=AC,HBxOyCA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 35 页学习必备欢迎下载E图1PQBDxOyCAPQE图2QPBDxOyCA如图 1,当点 Q 在点 P 上方时,过点 Q 作 QEx 轴于点 E,可证 PEQAOC QE=OC=3 故令 y=- x2+2x+3=3,解得:x1=0(舍去),x2=2 故 Q1 (2,3) 如图 2,当点 Q 在点 P 下方时,同过点Q 作 QEx 轴于点 E,可证 PEQAOC QE=OC=3 故令 y=- x2+2x+3=- 3,解得:1=
35、1+ 7x,2=17x故2(1+ 73)Q,3(173)Q,综上, Q点的坐标为 Q1 (2,3)、2(1+ 73)Q,3(173)Q,2(1)证明:由抛物线的表达式1(2)(1320)48yxx,可得: C(- 2,0),D20(0)13,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页,共 35 页学习必备欢迎下载如图 1,图1FE HPBDxOyCA过点 A、B 分别作 x 轴的垂线,垂足为E、F,则 AE=3,EC=2,CF=6,BF=4 12AEECCFBF且AEC=BFC=90AECCFBACE=CBFACE+BCF=CBF+B
36、CF=90ACB=90即ACB是直角三角形(2)由题意得:1(,(2)(1320) )48P mmm,(, 0)H m在 RtACB中,由( 1)可知:12ACCB,故 PHD 也是直角边的比为1:2 的直角三角形,图2HPBDxOyCA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页,共 35 页学习必备欢迎下载图3HPBDxOyCA如图 2,当点 P在第二象限抛物线上,即m-2 时,1(2)(1320)48PHmm,201=(2013)1313DHmmi)12PHDH解得:150=13mii)2PHDH解得:2122=13m如图 3,当
37、点 P在第一象限抛物线上,即m2013时,1(2)(1320)48PHmm,201=(1320)1313DHmmi)12PHDH解得:32=13m(舍去)ii)2PHDH解得:470=13m综上,50=13m,122=13m或70=13m时满足条件 . 3.解:由23342135442yxyxx可得, A(-8,152),B(2,0). 则8m2. 当 G 点在 y 轴上时,此时,如图1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页,共 35 页学习必备欢迎下载yx图1DCOFGPBA过点 A 作 CDy 轴,过点 P,G 分别作 x
38、轴的平行线交 CD 于 D、C 两点PAAGPADAGCDCPADAGCAD=CG=2,则点 P 在 y=2 这条直线上由2135=2442xx可求得,1231731722xx ,. P1(3172,2),P2(3172 ,2) 当 F 点在 y 轴上时,此时,如图2 图2yxOFEPHAG过点 A 作 AHy 轴,过点 P 作 x 轴的平行线,交AH 于 H 点,交 y 轴于点 E. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页,共 35 页学习必备欢迎下载此时 PAHFPEEP=AH=m,即 P(m,m)P 在抛物线上,将P(m,m
39、)代入抛物线解析式可得由2135442mmm可求得,1278978922mm ,. 又- 8m2,只取17892mP3(789789,22) 综上所述: P1(3172,2),P2(3172 ,2),P3(789789,22). 备注:图 1 对应 P2对应 P1yxOGFPBA对应 P3yxOGFPBA4.解: (1)由 A(- 3,0) 、B(1,0)可知,a=- 1,b=- 2,顶点 C 的坐标为( -1,4) ;抛物线解析式:223yxx(2) 若点 P 在对称轴右侧,如图 1.此时 QCPACH,所以只可能是 QCP=HAC,即PCQCAH. 精选学习资料 - - - - - - -
40、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页,共 35 页学习必备欢迎下载图1yxODEQPCBHA过点 Q 作 DEy 轴,分别过点 C、点 P 作 x 轴的平行线交 DE 于 D 点,E 点. 则CDQQEP,又 DQC=HCA,D=AHC=90 ,CDQQEP AHC.12CDAHDQHC.设 CD=m,则 DQ=2m,又 AHCCQP,12CQAHQPHC. 又 CDQQEP,12CDDQCQQEEPQP则 QE=2m,EP=4m. 由 C(- 1,4)可得 P(-1+3m,4- 4m)代入抛物线解析式可得,2441+321+33mmm(-)(-)解得 m1=0(舍去
41、) ,m2=49代入 P 点坐标可得 P(1 203 9,) 若点 P 在对称轴左侧 ,如图 2. 此时 QCPHAC,所以只可能是 QCP=HCA,即PCQACH. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页,共 35 页学习必备欢迎下载图2yxBOHCAGFPQ过点 P 作 PFy 轴,过点 Q 作 x 轴的平行线交 PF 于点 F,交 CH 于点 G. 则PFQQGC AHCPQC. 12PFQGPQAHFQGCQCHC.设 PF=n,则 FQ=QG=2n,GC=4n. 由 C 点坐标可知, P(14n,43n) ,代入抛物线解析式可得,243142143nnn( ) ( )解得 n1=0(舍去) ,n2=316代入 P 点坐标可得 P(7 554 16,) 综上所述,满足条件的点P 坐标为 (1 2039,)或(7 554 16,)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页,共 35 页