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1、第一讲函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像,尤其是图像包含了函数的所有信息。2、函数的性质,奇偶性、有界性奇函数:)()(xfxf,图像关于原点对称。偶函数:)()(xfxf,图像关于y 轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设 ,是自变量同一变化过程中的两个无穷小量,则(1)若0lim,则是比高阶的无穷小量。(2)若clim(不为 0) ,则与是同阶无穷小量特别地,若1lim,则与是等价无穷小量(3)若lim,则与是低阶无穷小量记忆方法:看谁趋向于0 的速度快,谁就趋向于0 的本领高。4、两个重要极限(1)100xxxxxxsinlimsinlim使用方法:拼凑000sinl
2、imsinlim,一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致(2)exxxxxx10111)(limlime101)(lim使用方法1 后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数,不满足条件得拼凑。5、mnmnmnbaXQxPmnx,lim000xPn的最高次幂是n,xQm的最高次幂是m.,只比较最高次幂, 谁的次幂高, 谁的头大, 趋向于无穷大的速度快。mn,以相同的比例趋向于无穷大;mn,分母以更快的速度趋向于无穷大;mn,分子以更快的速度趋向于无穷大。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页7、左右极限左极限:Axfxx
3、)(lim0右极限:Axfxx)(lim0AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000充分必要条件是注:此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。8、连续、间断连续的定义:0)()(limlim0000xfxxfyxx或)()(lim00xfxfxx间断:使得连续定义)()(lim00xfxfxx无法成立的三种情况)()(lim)(lim)()(00000xfxfxfxfxfxxxx不存在无意义不存在,记忆方法: 1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在,但不相等9、间断点类型(1) 、第二类间断点:)(lim0xfxx、)(lim0xfxx至少有一个不存在(2) 、第
4、一类间断点:)(lim0xfxx、)(lim0xfxx都存在)(lim)(lim)(lim)(lim0000xfxfxfxfxxxxxxxx跳跃间断点:可去间断点:注:在应用时,先判断是不是“第二类间断点”,左右只要有一个不存在,就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点;左右相等是“可去”,左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质(1)最值定理:如果)(xf在ba,上连续,则)(xf在ba,上必有最大值最小值。(2)零点定理:如果)(xf在ba,上连续,且0)()(bfaf,则)(xf在ba,内至少存在一点,使得0)(f第三讲中值定理及导数的应用1、 罗尔定理精选学习资料 - - -
5、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 20 页如果函数)(xfy满足:(1)在闭区间ba,上连续;( 2)在开区间(a,b)内可导; (3))()(bfaf,则在 (a,b)内至少存在一点,使得0)(f记忆方法:脑海里记着一幅图:2、 拉格朗日定理如果)(xfy满足( 1)在闭区间ba,上连续(2)在开区间(a,b)内可导;则在 (a,b)内至少存在一点,使得abafbff)()()(脑海里记着一幅图:ab( *)推论1 :如果函数)(xfy在闭区间ba,上连续,在开区间(a,b)内可导,且0)(xf,那么在),(ba内)(xf=C 恒为常数。记忆方法
6、:只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。(*)推论 2:如果)(),(xgxf在ba,上连续,在开区间),(ba内可导,且),(),()(baxxgxf,那么cxgxf)()(记忆方法:两条曲线在每一点切线斜率都相等3、 驻点满足0)(xf的点,称为函数)(xf的驻点。几何意义:切线斜率为0 的点,过此点切线为水平线4、极值的概念设)(xf在点0x的某邻域内有定义,如果对于该邻域内的任一点x,有)()(0xfxf,则称)(0xf为函数)(xf的极大值,0x称为极大值点。设)(xf在点0x的某邻域内有定义,如果对于该邻域内的任一点x,有)()(0xfxf,则称)(0xf为函数ab 精选学习资料
7、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页)(xf的极小值,0x称为极小值点。记忆方法:在图像上,波峰的顶点为极大值,波谷的谷底为极小值。5、 拐点的概念连续曲线上,凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点,称为曲线的拐点。注3xy在原点即是拐点6、 单调性的判定定理设)(xf在),(ba内可导,如果0)(xf,则)(xf在),(ba内单调增加;如果0)(xf,则)(xf在),(ba内单调减少。记忆方法:在图像上凡是和右手向上趋势吻合的,是单调增加,0)(xf;在图像上凡是和左手向上趋势吻合的,是单调减少,0)(xf;7、 取得极值的必要条件可导
8、函数)(xf在点0x处取得极值的必要条件是0)(0xf8、 取得极值的充分条件第一充分条件:设)(xf在点0x的某空心邻域内可导,且)(xf在0x处连续,则(1)如果0xx时,0)(xf; 0)(0xfxx时,,那么)(xf在0x处取得极大值)(0xf;(2)如果0xx时,0)(xf;0)(0xfxx时,那么)(xf在0x处取得极小值)(0xf;(3)如果在点0x的两侧,)(xf同号,那么)(xf在0x处没有取得极值;记忆方法:在脑海里只需记三副图,波峰的顶点为极大值,波谷的谷底为极小值。第二充分条件:设函数)(xf在点0x的某邻域内具有一阶、二阶导数,且0)(0xf,0)(0xf则(1)如果
9、0)(0xf,那么)(xf在0x处取得极大值)(0xf;(2)如果0)(0xf,那么)(xf在0x处取得极小值)(0xf9、 凹凸性的判定设函数)(xf在),(ba内具有二阶导数, (1)如果),(,0)(baxxf,那么曲线)(xf在),(ba内凹的;(2)如果),(, 0)(baxxf,那么)(xf在),(ba内凸的。图像表现:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 20 页凹的表现凸的表现10、渐近线的概念曲线)(xf在伸向无穷远处时,能够逐步逼近的直线,称为曲线的渐近线。(1)水平渐近线:若Axfx)(lim,则)(xf
10、y有水平渐近线Ay(2) 垂直渐近线:若存在点0x,)(limxfx,则)(xfy有垂直渐近线0xx(2)求斜渐近线:若baxxfaxxfxx)(lim,)(lim,则baxy为其斜渐近线。11、罗比达法则遇到“00”、 “” ,就分子分母分别求导,直至求出极限。如果遇到幂指函数,需用)(ln)(xfexf把函数变成“00”、 “” 。第二讲导数与微分1、 导数的定义( 1) 、0)()(limlim)(00000xfxxfyxfxx( 2) 、hxfhxfxfh)()(lim)(0000精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共
11、20 页(3) 、000)()(l i m)(0xxxfxfxfxx注:使用时务必保证0x后面和分母保持一致,不一致就拼凑。2、 导数几何意义:)(0xf在0xx处切线斜率法线表示垂直于切线,法线斜率与)(0xf乘积为 1 3、 导数的公式,记忆的时候不仅要从左到右记忆,还要从右到左记忆。4、 求导方法总结(1) 、导数的四则运算法则vuvuuvvuvu)(2vuvvuvu(2) 、复合函数求导:xfy是由)(ufy与)(xu复合而成,则dxdududydxdy(3) 、隐函数求导对于0),(yxF,遇到 y,把 y 当成中间变量u,然后利用复合函数求导方法。( 4) 、参数方程求导设)()(
12、tytx确定一可导函数)(xfy,则)()(ttdtdxdtdydxdydtdxdtdxdyddxdxdyddxyd)()(22(5) 、对数求导法先对等号两边取对数,再对等号两边分别求导(6) 、幂指函数求导幂指函数)()(xvxuy,利用公式aealn)(ln)()(ln)(xuxvxueeyxv然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。第二种方法可使用对数求导法,先对等号两边取对数,再对等号两边分别求导精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页注:优选选择第二种方法。5、 高阶导数对函数)(xf多次求导,直至求出。
13、6、 微分dxydy记忆方法:微分公式本质上就是求导公式,后面加dx,不需要单独记忆。7、 可微、可导、连续之间的关系可微可导可导连续,但连续不一定可导8、 可导与连续的区别。脑海里记忆两幅图(1)(2)2xy在 x=0 既连续又可导。xy在 x=0 只连续但不可导。所以可导比连续的要求更高。第四讲不定积分一、原函数与不定积分1、 原函数:若)()(xfxF,则)(xF为)(xf的一个原函数;2、 不定积分:)(xf的所有原函数)(xF+C 叫做)(xf的不定积分,记作CxFdxxf)()(二、不定积分公式记忆方法:求导公式反着记就是不定积分公式三、不定积分的重要性质1、dxxfdxxfdxf
14、dxxf)()()()(或2、cxfdxxf)()(注:求导与求不定积分互为逆运算。四、积分方法1、 基本积分公式2、 第一换元积分法(凑微分法)把求导公式反着看就是凑微分的方法,所以不需要单独记忆。3、 第二换元积分法baxtbax令,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页三角代换taxaxtaxaxtaxxatansecsin222222令令令三角代换主要使用两个三角公式:tttt2222sectan1, 1cossin4、 分部积分法vduuvudv第五讲定积分1、定积分定义niiixbaxfdxxf10)(li
15、m)(如果)(xf在ba,上连续,则)(xf在ba,上一定可积。理解:既然在闭区间上连续,那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形,面积存在所以一定可积,因为面积是常数,所以定积分如果可积也是常数。2、定积分的几何意义(1)如果)(xf在ba,上连续,且0)(xf,则badxxf)(表示由)(xf,,bxaxx 轴所围成的曲边梯形的面积。S=badxxf)(。(2)如果)(xf在ba,上连续,且0)(xf, S=badxxf)(。3、定积分的性质:(1)badxxkf)(badxxfk)((2)badxxgxf)()(=badxxf)(badxxg)((3)cabcbadxxgdxxfdxx
16、f)()()((4)abaabadxxfdxxfabdx)(0)(1badxxf)((5)如果)()(xgxf,则babadxxgdxxf)()((6)设 m,M 分别是)(xf在ba,的 min, max,则)()()(abMdxxfabmbaM m 记忆:小长方形面积曲边梯形面积大长方形面积(7)积分中值定理如果)(xf在ba,上连续,则至少存在一点ba,,使得)()(abfdxxfba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页记忆:总可以找到一个适当的位置,把凸出来的部分切下,剁成粉末,填平在凹下去的部分使曲边梯形变
17、成一个长方形。称badxxfab)(1为)(xf在ba,上的平均值。4、 积分的计算(1) 、变上限的定积分xaxfdttf)()(注:由此可看出来xadttfx)()(是)(xf的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有一个是x而不是 t (2) 、牛顿莱布尼兹公式设)(xf在ba,上连续,)(xF是)(xf的一个原函数, 则)()()()(aFbFxFdxxfbaba由牛顿公式可以看出,求定积分,本质上就是求不定积分,只不过又多出一步代入积分上下限,所以求定积分也有四种方法。分部积分法第二换元积分法分法)第一换元积分法(凑微基本积分公式5、 奇函数、偶函数在对称区间上的定积分(1) 、若
18、)(xf在aa,上为奇函数,则0)(xfaa(2) 、若)(xf在aa,上为偶函数,则aaadxxfxf0)(2)(注:此方法只适用于对称区间上的定积分。6、 广义积分(1)无穷积分cacadxxfdxxf)(lim)(bccbdxxfdxxf)(lim)(ccdxxfdxxfdxxf)()()(7、 定积分关于面积计算)(xf)(xg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 20 页面积dxxgxfSba)()(,记忆:面积等于上函数减去下函数在边界ba,上的定积分。d )(yx)(yxc 面积 S=dyyydc)()(记忆方法
19、:把头向右旋转90就是第一副图。8、 旋转体体积(1)y )(xfa b x 曲线)(xf绕x轴旋转一周所得旋转体体积:dxxfVbax2)((2) 、)(xf)(xga b 阴影部分绕绕x轴旋转一周所得旋转体体积:dxxgxfVbax)(22(3) 、y d )(yxc x )(yx绕y轴旋转一周所得旋转体体积:dyyVdcy2)(4)、y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 20 页d )(yx)(yxc x 阴影部分绕绕y轴旋转一周所得旋转体体积:dyyyVdcy)()(22第六讲向量、空间解析几何(一)向量的相关考
20、试内容一、向量的基本概念1、 定义:与起点无关,既有方向又有大小的量称为向量。(生活来源:力、速度、加速度,位移)2、 向量的表示:321,aaa或记为kajaia321,其中321,aaa为向量在x轴,y轴,z轴上的投影。其中,kji,为向量在x轴,y轴,z轴上的单位向量1 ,0 ,0,0, 1 ,0,0,0 , 1kji3、 向量的模:232221aaa,模为 1 的向量叫做单位向量,模为0 的向量叫做0 向量。4、 向量的方向余弦:2322211cosaaaa2322212cosaaaa2322213cosaaaa并且:1coscoscos222为向量与x轴,y轴,z轴的正方向的夹角,叫
21、做的方向角。5、),(, ),(1110000zyxMzyxM,则),(01010110zzyyxxMM二、向量的三种不同运算设向量321,aaa,321,bbb(1)线性运算332211,bababa,321,aaa(2)两向量的数量积,cos332211bababa向量,的夹角:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 20 页232221232221332211,cosbbbaaabababa0注:因为02cos,cos(3)两向量的向量积定义:c,满足下述规则1、,sinc2、c,c3、c,成右手系称c为,的向量积,记作
22、:c向量积的坐标表示:321321bbbaaakjic的充要条件为:0或332211bababa注:因为00sin,sin(二) 、直线与平面的相关考试内容一、空间平面方程在空间直角坐标系下,一次方程0DCzByAx表示空间一张平面,这里 A,B,C 不同时为零。由A,B,C 为向量坐标构成得向量CBAn,叫做平面得法向量。即n。(1)平面的位置若 A=0, 即0DCzBy该平面平行x轴。同理B=0,平面平行于y 轴。 C=0,平面平行于z 轴。 D=0,过原点。记忆方法:“谁”的系数为0,平面平行于“谁”轴。二、空间直线方程一般式:0022221111DzCyBxADzCyBxAl :, (
23、一次项系数不成比例) 注:两个平面相交标准式:czzbyyaxxl000:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 20 页注: (000zyx,)为直线上一已知点,向量cba,为直线的方向向量参数式:ctzzbtyyatxxl000:三、总结:专升本考试中重点考察两平面的位置关系,两直线的位置关系,直线与平面的位置关系,记忆的重点在于:(1)平面0DCzByAx的法向量为CBA, (2)直线czzbyyaxxl000:的方向向量为cba,(3)向量平行需满足:0或或332211bababa(4)向量垂直需满足0332211ba
24、baba四、两直线的位置关系:设有两直线1111111czzbxxaxxl :2222222czzbyyaxxl :(1)21ll的充要条件为0021212121ssccbbaa即,( 2)1l2l得充要条件为021212121ssccbbaa即,(3)直线21ll ,得夹角可由212121ssssss ,cos来确定。五、直线和平面的位置关系:设直线方程为czzbyyaxxl000:平面方程为:0DCzByAx(1)l的充要条件为0nsCcBbAa即,(2)l的充要条件为00nscCbBaA即,(3)直线l与平面的夹角可由222222CBAcbacCbBaAsin来确定。六、两平面的位置关系
25、:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 20 页设有两平面011111DzCyBxA :022222DzCyBxA:21的充要条件是0021212121nnCCBBAA即,12的充要条件是021212121nnCCBBAA,即1,2的夹角可由212121nnnnnn ,cos确定。(三) 、曲面的相关考试内容一、简单的二次曲面(1)柱面方程222ayx (2)球面方程2222Rczbyax)()()(3) 椭球面方程1222222czbyax(4)旋转面方程以曲线00xzyfl),(:为母线,z轴为旋转轴的旋转曲面方程为02
26、2),(zyxf第七讲多元函数微分学一、二元函数的概念定义:设有变量zyx,,如果当相互独立的变量yx,在一定范围D内取定任意一对值时,z按照一定法则有唯一确定的数值与之对应,那么,z称为yx,的二元函数,记作),(yxfz。注:二元函数的定义域为yx,坐标平面上的一个区域,二元函数是悬浮在空间的一个曲面。二、二元函数的极限定义: 设函数),(yxfz在点),(00yx某邻域有定义 (但),(00yx点可以除外) ,如果当点),(yx无论沿着任何途径趋向于),(00yx时,),(yxfz都无限接近于唯一确定的常数A, 则称当点),(yx趋向于),(00yx时,),(yxfz以 A 为极限,记为
27、Ayxfyxyx),(lim),(),(00三、二元函数的连续性若),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx,则称),(yxfz在点),(00yx连续。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 20 页注:),(yxfz的不连续点叫函数的间断点,二元函数的间断点可能是一些离散点,也可能是一条或多条曲线。四、二元函数的偏导数xyxfyxxfyxfxzxx),(),(lim),(0yyxfyyxfyxfyzyy),(),(lim),(0五、偏导数求法由偏导数定义可看出,对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量,其它的
28、变量都当成常数看待。六、全微分:dyyzdxxzdz七、二元函数的连续、偏导、可微之间的关系二元函数可微,则必连续,可偏导,但反之不一定成立。若偏导存在且连续,则一定可微。函数),(yxfz的偏导存在与否,与函数是否连续毫无关系。八、二元复合函数求偏导设),(),(),(yxvyxuvufz,则xvvzxuuzxz,yvvzyuuzyz注:有几个中间变量就处理几次,按照复合函数求导处理。九、隐函数求偏导方程0),(zyxF确定的隐函数为),(yxfz,则对等号两边同时对x求导,遇到z的函数,把z当成中间变量。十、二元函数的极值1、 二元函数极值存在的必要条件如果),(yxfz在点),(00yx
29、处取得极值, 且两个偏导数存在, 则有0),(,0),(0000yxfyxfyx。若0),(, 0),(0000yxfyxfyx,则称),(00yx是),(yxfz的驻点。2、 极值存在的充分条件如 果),(yxfz在 点),(00yx的 某 邻 域 内 有 连 续 的 二 阶 偏 导 数 , 且),(00yx是 驻 点 , 设),(),(),(),(2yxfyxfyxfyxPyyxxxy则( 1)如果,0),(00yxP且0),(00yxfxx,则),(00yxf是极大值(2)如果,0),(00yxP且0),(00yxfxx,则),(00yxf是极小值(3)如果,0),(00yxP,则),(
30、00yxf不是极值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 20 页(4)如果,0),(00yxP则此方法失效。十一、条件极值的拉格朗日乘数法。方法一:(1)从条件0),(yx中求出)(xy(2)将)(xy代入),(yxfz化为一元函数(3)利用一元函数求极值的方法求最值方法二:拉格朗日乘数法(1)作拉格朗日函数),(),(),(yxyxfyxF(2)0xF,0yF,0F(3)解上述方程组得驻点),(00yx,则),(00yx点就是函数的极值点,依题意,判定它是极大值或是极小值。第八讲多元函数积分学知识点一、二重积分的概念、性质
31、1、niiiidDfdxdyyxf10),(lim),(,几何意义:代表由),(yxf,D 围成的曲顶柱体体积。2、性质:(1)Ddxdyyxkf),(Ddxdyyxfk),((2)Ddxdyyxgyxf),(),(=Ddxdyyxf),(+Ddxdyyxg),((3) 、Dd x d yD(4)21DDD,Ddxdyyxf),(=1),(Ddxdyyxf+2),(Ddxdyyxf(5)若),(),(yxgyxf,则Ddxdyyxf),(Ddxdyyxg),((6)若,),(Myxfm则MDdxdyyxfmDD),(7)设),(yxf在区域 D 上连续,则至少存在一点D),(,使Ddxdyyx
32、f),(Df),(二、计算(1)D:)()(,21xyxbxa)()(21),(),(xxbaDdyyxfdxdxdyyxf(2)D:)()(,21yxydyc,)()(21),(),(xxdcDdyyxfdydxdyyxf技巧: “谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围,然后通过划水平线和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 20 页垂直线的方法确定另一个变量的范围(3)极坐标下:rdrddxdyryrx,sin,cos)(0)sin,cos(),(rDrdrrrfddxdyyxf三、曲线积分1、第一型曲线积分的计算(1
33、)若积分路径为L:bxaxy),(,则Ldsyxf),(=dxxxxfba2)(1)(,((2)若积分路径为L:dycyx),(,则Ldsyxf),(=dyyyyfdc2)(1),((3)若积分路为L:)()(tytx,t,则Ldsyxf),(=dtttttf22)()()(),(2、第二型曲线积分的计算(1)若积分路径为L:)(xy,起点ax,终点by,则LdyyxQdxyxP),(),(dxxxxQxxPba)()(,()(,((2)若积分路径为L:)(yx,起点cy,终点dy,则LdyyxQdxyxP),(),(dyyyQyyyPdc),()(),((3)若积分路为L:)()(tytx,
34、起点t,终点t,则LdyyxQdxyxP),(),(dttttQtttP)()(),()()(),(第九讲常微分方程一、基本概念(1)微分方程:包含自变量、未知量及其导数或微分的方程叫做微分方程。其中未知函数是一元函数的叫常微分方程。(2)微分方程的阶:微分方程中未知函数导数的最高阶数。(3)微分方程的解:满足微分方程)(xfy或0),(yxf。前者为显示解,后者称为隐式解(4)微分方程的通解:含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解(5)初始条件:用来确定通解中任意常数的附加条件。(6)微分方程的特解:通解中的任意常数确定之后的解。二、一阶微分方程1、可分离变量的微分方程精
35、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 20 页(1)形如)()(ygxfdxdy的微分方程。解法:变形为dxxfdyyg)()(1,两边作不定积分求出通解。(2)形如xyfdxdy的微分方程。解法:令uxy,则uxy,两边对x 求导,然后代入原方程,则变量分离2、一阶线性微分方程一阶线性齐次微分方程形如0)(yxPdxdy。解法:变量分离一阶线性非齐次微分方程形如)()(xQyxPdxdy解法:常数变易法或公式法注:一阶线性非齐次微分方程的通解公式为:CdxexQeydxxPdxxP)()()(在通常使用中建议选择常数变易法三
36、、可降阶微分方程形如)(xfyn的微分方程解法:作 n 次不等式形如),(yxfy的微分方程解法:令uy四、二阶常系数线性微分方程形如0qyypy的微分方程,称二阶常系数线性齐次微分方程形如)(xfqyypy的微分方程,称二阶常系数线性非齐次微分方程。(其中, p,q 均为常数)。有关解的结构定理(1) 定理 1 若21, yy是二阶线性齐次方程0qyypy的解,则其任意一个线性组合2211ycyc也是该方程的解函数21, yy若满足kkyy,21为常数,称21, yy线性相关,若kkyy,21为常数,称21,yy线性无关(2) 定理 2 若21, yy是二阶线性齐次方程0qyypy的两个线性
37、无关的解,则2211ycyc就是该方程的通解。(3) 定理3 设1y是二阶线性非齐次方程)(1xfqyypy的解,2y是)(2xfqyypy的解,则21yy是方程)()(21xfxfqyypy的解。(4) 定理4 设*y是二阶线性非齐次微分方程)(xfqyypy的特解,xcxcy21是与其对应的齐精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 20 页次方程0qyypy的通解,则*2211yycycy为方程)(xfqyypy的通解。1、 常系数二阶线性齐次方程0qyypy(1)求通解的步骤如下:(1)、写出( 1)的特征方程02qpr
38、r(2)写出特征方程的两个根21,rr(3)按照下列规律写出(1)的通解实根xrxrececyrr212121实根rxexccyrrr)(2121)sincos(212, 1xcxceyirax2、 常系数二阶线性非齐次方程)(xfqyypy(1)写出对应的齐次方程02qprr(2)写出齐次方程0qyypy的通解y(3)写出)(xfqyypy的一个特解*y(4)*yyy即为)(xfqyypy的通解。3、xnexPqyypy)(其中,qp为实常数,)(xPn为 x 的 n 次多项式特解可设为*y=xnkexQx)(其中)(xQn为 x 的 n 次多项式, k 按是否为特征方程02qprr的根来确
39、定:是特征方程的重根是特征方程的根不是特征方程的根210k4、)sincos(xBxAeqyypyx特解可设为)sincos(*xDxCexyxk其中 C,D 是待定的常数,k 可按i是否为特征方程02qprr的根来确定。是特征方程的根不是特征方程的根iik10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 20 页5、得到特解*y后,通解即为*yyy=*2211yycyc, (其中,y2211ycyc为其齐次方程的解)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 20 页