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1、第三章第三章 函数逼近与计算函数逼近与计算1 1 引言与预备知识引言与预备知识 1.1.问题的提出问题的提出 用用插插值值的的方方法法对对这这一一函函数数进进行行近近似似,要要求求所所得得到到的的插插值值多多项项式式经经过过已已知知的的这这n1个个插插值值节节点点;在在n比比较较大大的的情情况况下下,插插值值多多项项式式往往往往是是高高次次多多项项式式,这这也也就就容容易易出出现现振振荡荡现现象象（龙龙格格现现象象），即即虽虽然然在在插插值值节节点点上上没没有有误误差差,但但在在插插值值节节点点之之外外插插值值误误差差变变得得很很大大,从从“整整体体”上上看看,插插值值逼逼近近效效果果将将变变
2、得得“很很差差”。于于是是,我我们们采采用用函函数数逼近的方法。逼近的方法。 所谓函数逼近是求一个简单的函数所谓函数逼近是求一个简单的函数 ,例如例如 是一个低次多项式是一个低次多项式,不要求不要求 通过已知的这通过已知的这n1个点个点,而是要求在整体上而是要求在整体上“尽量尽量好好”的逼近原函数。这时的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有在每个已知点上就会有误差误差 ,函数逼近就是从整函数逼近就是从整体上使误差体上使误差 尽量的小尽量的小一些。一些。2.数学描述数学描述 “对函数类对函数类A中给定的函数中给定的函数 ，要求在另，要求在另一类较简单的便于计算的函数类一类较简单的便于计算的函数
3、类B中，求函数中，求函数 ，使，使 与与 之差在某种度量之差在某种度量意义下最小。意义下最小。” 函数类函数类 A A通常是区间上的实连续函数，记作通常是区间上的实连续函数，记作 ；函数类；函数类B B通常是代数多项式，分式有通常是代数多项式，分式有理函数或三角多项式。理函数或三角多项式。 中函数中函数 的的 -范数定义为范数定义为: - -范数，它满足范数的三个性质：范数，它满足范数的三个性质： I I） ，当且仅当，当且仅当 时才有时才有 ；IIII） 对任意对任意 成立，成立，a a为为任意实数；任意实数； III）对任意）对任意 ，有，有 度量标准最常用的有两种，一种是度量标准最常用的
4、有两种，一种是 在这种度量意义下的函数逼近称为在这种度量意义下的函数逼近称为一致逼近一致逼近或或均匀逼近；均匀逼近； 另一种度量标准是另一种度量标准是 用这种度量的函数逼近称为均方逼近或用这种度量的函数逼近称为均方逼近或平平方逼近方逼近。这里符号。这里符号 及及 是范数。本章主要是范数。本章主要研究在这两种度量标准下用代数多项式研究在这两种度量标准下用代数多项式 逼近逼近 。3.维尔斯特拉斯定理维尔斯特拉斯定理 用用 一致逼近一致逼近 ,首先要解决存在性首先要解决存在性问题，即对问题，即对 上的连续函数上的连续函数 ,是否存在是否存在多项式多项式 一致收敛于一致收敛于 ？维尔斯特拉斯？维尔斯特
5、拉斯（Weierstrass）给出了下面定理：）给出了下面定理： 定理定理1 设设 ，则对任何，则对任何 ,总总存在一个代数多项式存在一个代数多项式 ，使，使在在 上一致成立。上一致成立。 证明：略。（伯恩斯坦构造性证明）证明：略。（伯恩斯坦构造性证明） 假定函数的定义区间是假定函数的定义区间是0,1,可通过线性代换可通过线性代换: 把把 映射到映射到 。 对给定的对给定的 ，构造伯恩斯坦多项式，构造伯恩斯坦多项式,此为此为n次多项式次多项式:其中其中 ，且，且 这不但证明了定理这不但证明了定理1，而且给出了，而且给出了 的一个逼近的一个逼近多项式多项式 。多项式。多项式 有良好的逼近有良好的
6、逼近性质，但它收敛太慢，比三次样条逼近效果差得性质，但它收敛太慢，比三次样条逼近效果差得多，实际中很少被使用。多，实际中很少被使用。 22 函数平方逼近函数平方逼近 用均方误差最小作为度量标准，研究函数用均方误差最小作为度量标准，研究函数 的逼近多项式，就是最佳平方逼近的逼近多项式，就是最佳平方逼近问题。问题。 若存在若存在 ，使，使 就是就是 在在 上的最佳平方逼近多项式上的最佳平方逼近多项式.由于由于 是关于是关于 的二次函的二次函数，利用多元函数求极值的必要条件数，利用多元函数求极值的必要条件于是有于是有 (内积定义内积定义 ) 这是关于这是关于 的线性方程组，称为法的线性方程组，称为法
7、方程，由于方程，由于 线性无关，故系数行列线性无关，故系数行列式式 ，于是此方程组有唯一，于是此方程组有唯一解解 ，从而得到，从而得到定理定理5. 在在 上线性无关上线性无关的充分必要条件是它的克来姆（的充分必要条件是它的克来姆（Gramer）行列）行列式式 ，其中，其中若令若令 ，则平方误差为，则平方误差为 若取若取 ，则要在，则要在 中求中求n次最佳平方逼近多项式次最佳平方逼近多项式 若用若用H表示表示 对应的矩阵，对应的矩阵，即即 此为希尔伯特（此为希尔伯特（Hilbert）矩阵，）矩阵，记记 ，则，则 的解的解 即为所求。即为所求。 例例:设设 ，求，求0,10,1上的一次最佳平方上的
8、一次最佳平方逼近多项式。逼近多项式。解解: : 利用公式利用公式得得 方程组为方程组为解出解出 平方误差平方误差最大误差最大误差 用用 做基，求最佳平方逼近多项做基，求最佳平方逼近多项式，当式，当n较大时，系数矩阵是高度病态的，求法较大时，系数矩阵是高度病态的，求法方程的解，舍入误差很大，这时要用正交多项方程的解，舍入误差很大，这时要用正交多项式做基，才能求得最小平方逼近多项式。式做基，才能求得最小平方逼近多项式。33正交多项式正交多项式 若首项系数若首项系数 的的n次多项式次多项式 ,满足满足就称多项式序列就称多项式序列 ，在，在a,ba,b上带上带权权 正交，并称正交，并称 是是 a,b
9、a,b上带权的上带权的n次次正交多项式。正交多项式。 构造正交多项式的格拉姆施密特（构造正交多项式的格拉姆施密特（Gram-Schmidt）方法方法定理：按以下方式定义的多项式集合定理：按以下方式定义的多项式集合 是区是区间间a,ba,b上关于权函数上关于权函数 的正交函数族。的正交函数族。 例：求例：求 在在0，1上的二次最佳平上的二次最佳平方逼近多项式。方逼近多项式。解：解： 构造正交多项式构造正交多项式 3-1勒让德多项式勒让德多项式 当区间为当区间为-1,1，权函数，权函数 时，由时，由 正交化得到的多项式就称为勒让正交化得到的多项式就称为勒让德德(Legendre)多项式，并用多项式
10、，并用 表示。表示。 是是n次多项式，对其次多项式，对其n次求导后得次求导后得首项首项 的系数的系数 显然最高项系数为显然最高项系数为1的勒让德多项式为的勒让德多项式为 勒让德勒让德(Legendre)多项式具体表达式为多项式具体表达式为性质性质1 正交性正交性证明：反复用分部积分公式，略。证明：反复用分部积分公式，略。 性质性质2 2 奇偶性奇偶性n为偶数时为偶数时 为偶函数，为偶函数，n为奇数时为奇数时 为奇函数。为奇函数。 性质性质3 3 递推关系递推关系证明略。证明略。 性质性质4 在所有最高项系数为在所有最高项系数为1 的的n次多项式中，次多项式中，勒让德多项式勒让德多项式 在在1，
11、1上与零的平上与零的平方误差最小。方误差最小。性性质质5 在在区区间间1，1内内有有n个个不不同同的的实零点。实零点。 3-2第一类切比雪夫（第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式）多项式 当区间为当区间为-1,1，权函数，权函数 时，时，由序列由序列 正交化得到的正交多项式正交化得到的正交多项式就是第一类切比雪夫（就是第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式。它）多项式。它可表示为可表示为 若令若令 当当 在在-1,1上变化时，对应上变化时，对应的的 在在0，上变化，其可改写成上变化，其可改写成具体表达式为具体表达式为 是首项系数为是首项系数为 的的n n次多项式。次多项式。性质性质1
12、 递推关系递推关系这只要由三角恒等式这只要由三角恒等式 性质性质2 最高项系数为最高项系数为1的的 对零的偏差最小。对零的偏差最小。即在区间即在区间-1,1-1,1上所有最高项系数为上所有最高项系数为1的一切的一切n次多项式中，次多项式中， 与零的偏差最小，与零的偏差最小，偏差为其偏差为其 性质性质3 切比雪夫多项式切比雪夫多项式 在区间在区间-1,1上带上带权权 正交，且正交，且 性质性质4 只含只含 的偶次幂，的偶次幂， 只只含含 的奇次幂的奇次幂. 性质性质5 在区间在区间-1，1上有个上有个n零点零点 可可用用 的的线线性性组组合合表表示示，其其公式为公式为具体表达式为具体表达式为 31
