2022年二次函数的实际应用 4

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1、第 3 课时二次函数的实际应用最大(小)值问题知识要点：二次函数的一般式cbxaxy2(0a)化成顶点式abacabxay44)2(22，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）即当0a时，函数有最小值，并且当abx2，abacy442最小值；当0a时，函数有最大值，并且当abx2，abacy442最大值如果自变量的取值范围是21xxx，如果顶点在自变量的取值范围21xxx内，则当abx2，abacy442最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y随x的增大而增大，则当2xx时，cbxaxy222最大，当1xx时，cbx

2、axy121最小；如果在此范围内y随x的增大而减小，则当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，cbxaxy222最小例 1：求下列二次函数的最值：（1）求函数322xxy的最值解：4)1(2xy当1x时，y有最小值4，无最大值（2）求函数322xxy的最值)30(x解：4)1(2xy30x，对称轴为1x当12330有最大值时；当有最小值时yxyx例 2：某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1 元，每星期可多卖出20 件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x元，利润为y元

3、，1y为涨价时的利润，2y为降价时的利润则：)10300)(4060(1xxy)60010(102xx6250)5(102x当5x，即：定价为65 元时，6250maxy（元）)20300)(4060(2xxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页)15)(20(20xx6125)5.2(202x当5. 2x，即：定价为57.5 元时，6125maxy（元）综合两种情况，应定价为65 元时，利润最大练习 ：1某商店购进一批单价为20 元的日用品，如果以单价30 元销售，那么半个月内可以售出400 件根据销售经验， 提高单

4、价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1 元，销售量相应减少20 件如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？解：设每件价格提高x元，利润为y元，则：)20400)(2030(xxy)20)(10(20xx4500)5(202x当5x，4500maxy（元）答：价格提高5 元，才能在半个月内获得最大利润2某旅行社组团去外地旅游，30 人起组团，每人单价800 元旅行社对超过30 人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10 元你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？解：设旅行团有x人)30(x，营业额为y元，则：)30(10800xxy)110(10xx

5、30250)55(102x当55x，30250maxy（元）答：当旅行团的人数是55 人时，旅行社可以获得最大营业额例 3： 某产品每件成本10 元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：若日销售量y是销售价x的一次函数求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：设一次函数表达式为bkxy则1525,220kbkb解得401bk，?即一次函数表达式为40xy 设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元yxw)1 0()40)(10(xx400502xxx（元）15

6、 20 30 y（件）25 20 10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页225)25(2x当25x，225maxy（元）答：产品的销售价应定为25 元时，每日获得最大销售利润为225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：在 “ 当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)” 的设问中， ?“ 某某 ” 要设为自变量，“ 什么” 要设为函数；求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程3 （2006 十堰市） 市“ 健益 ” 超市购进一批20 元/千克的绿色食品，如果以 30?元/千

7、克销售，那么每天可售出400 千克由销售经验知，每天销售量y(千克 )?与销售单价x(元 ) (30x）存在如下图所示的一次函数关系式试求出y与x的函数关系式；设 “ 健益 ” 超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元， ?现该超市经理要求每天利润不得低于4180 元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围 (?直接写出答案)解：设y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000kbkkbb解之得，即一次函数表达式为100020xy)5030(xyxP)20()10002

8、0)(20(xx2 0 0 0 01 4 0 0202xx020a P有最大值当35)20(21400x时，4500maxP（元）（或通过配方，4500)35(202xP，也可求得最大值）答：当销售单价为35 元/千克时，每天可获得最大利润4500 元44804500)35(2041802x16)35(12x31x?34或 36x39 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页作业布置：1二次函数1212xxy，当 x=_-1，_时， y 有最 _小_值，这个值是232某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛

9、物线的表达式可能为12xy(只写一个 )，此类函数都有_大_值(填 “ 最大 ”“最小 ”)3不论自变量x 取什么实数，二次函数y=2x26x+m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是29m，此时关于一元二次方程2x26x+m=0 的解的情况是_有解 _(填“ 有解 ”或“ 无解 ”)解：29)23(22mxy0)23(22x，要使0y，只有029m29m4小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55yx的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是4.5 米 解：当05.3y时，213.55yx05. 345.052x，5. 1x或5.1x（不合题意，舍去）5在距离地面

10、2m 高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向上抛出，?在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足： S=V0t-12gt2（其中 g 是常数，通常取 10m/s2） ，若 V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面_7_m解：tts10525)1(52t当1t时，5maxs，所以，最高点距离地面725(米 )6影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为 V（km/h ）的汽车的刹车距离S （ m）可由公式S=1100V2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V2如果车行驶的速度是60km/h，?那么在

11、雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_36_米7将进货单价为70 元的某种商品按零售价100 元售出时，每天能卖出20 个若这种商品的零售价在一定范围内每降价1 元，其日销售量就增加了1 个，为了获得最大利润，则应降价 _5_元，最大利润为_625_元解：设每件价格降价x元，利润为y元，则：)20)(70100(xxy600102xx625)5(2x当5x，625maxy（元）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页答：价格提高5 元，才能在半个月内获得最大利润8如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二

12、次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为 1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为_，小孩将球抛出了约_米(精确到 0.1 m) x yA B O解：设9)8(2xay，将点 A)1 ,0(代入，得81a12819)8(8122xxxy令0y，得09)8(812xy98)8(2x268x，)0,268(C，5.242688OC(米) 9 （20XX 年青岛市）在20XX 年青岛崂山北宅樱桃节前夕，?某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价 x（元 /千克）25 24 23 22 销售量 y（千克）2000

13、2500 3000 3500 （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点连接各点并观察所得的图形，判断y 与 x 之间的函数关系，并求出y 与 x 之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13 元 /千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元 /千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时， P的值最大？解： （1）由图象可知，y 是 x 的一次函数，设 y=kx+b ，?点（ ?25，2000） ， （24，2500）在图象上，200025500,:25002414500kbkkbb解得，y=-500x+14500 （ 2）P=(x-13) y=(x-13) (-500x+1

14、4500) )37744144142(500)37742(500)29)(13(50022xxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页=-500(x-21)2+32000 P 与 x 的函数关系式为P=-500x2+21000x-188500 ，当销售价为21 元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000 元10有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商， 按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养

15、在塘内， 此时市场价为每千克30 元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1 元，但是，放养一天需支出各种费用为400 元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克 20 元(1)设 x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出 p 关于 x 的函数关系式；(2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记 1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出 Q 关于 x 的函数关系式(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润 =Q收购总额 )？解： (1)由题意知： p=30+x, (2)由题意知：活蟹的销售额为(100010x)(30+x) 元, 死蟹

16、的销售额为200x 元. Q=(100010x)(30+x)+200x= 10x2+900x+30000. (3)设总利润为W 元则： W=Q 100030400x=10x2+500x =10(x250x) =10(x25)2+6250. 当 x=25 时，总利润最大，最大利润为6250 元答：这批蟹放养25 天后出售，可获最大利润11(2008 湖北恩施 )为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“ 三农 ” 优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20 元/千克市场调查发现，该产品每天的销售量 (千克 )与

17、销售价 (元/千克 )有如下关系：=2 80设这种产品每天的销售利润为(元) (1)求与之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28 元/千克， 该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元? 解：)802)(20()20(xxwxy)40)(20(2xx)80060(22xx200)30(22x160012022xx当30x，200maxy（元）(1)y与x之间的的函数关系式为；160012022xxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

18、第 6 页，共 9 页(2)当销售价定为30 元时，每天的销售利润最大，最大利润是200 元(3) 150200)30(22x，25)30(2x28351x（不合题意，舍去）252x答：该农户想要每天获得150 元的销售利润，销售价应定为25 元 12(2008 河北 )研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x(吨 )时，所需的全部费用y(万元）与x满足关系式9051012xxy，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系 （注：年利润年销售额全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售

19、吨时，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35 万元试确定的值；（ 3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18 吨，根据（ 1） ， （2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？解： （1）甲地当年的年销售额为万元；（2）在乙地区生产并销售时，年利润由，解得或经检验，不合题意，舍去，（3）在乙地区生产并销售时，年利润，将代入上式，得（万元）；将代入，得（万元），应选乙地实用工具 :常用数学公式公式分类公式表

20、达式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b| |a|+|b| |a-b| |a|+|b| |a| b -bab |a-b| |a| -|b| -|a| a|a| 一元二次方程的解-b+(b2-4ac)/2a -b- (b2 -4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根b2-4ac0

21、注：方程有两个不等的实根b2-4ac0 抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c*h 正棱锥侧面积S=1/2c*h 正棱台侧面积S=1/2(c+c)h 圆台侧面积S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2 圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式l=a*r a 是圆心角的弧度数r0 扇形公式s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积V=SL 注：其中 ,S是直截面面积，L 是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页