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1、学习必备欢迎下载教学时间第二课时课题7.1.2 直线的倾斜角和斜率( 二) 教学目标( 一) 教学知识点1.2. 斜率的简单应用. ( 二) 能力训练要求1.2.3.4. 进一步了解向量作为数学工具在学习数学中的特殊作用. ( 三) 德育渗透目标1.2. 学会用联系的观点看问题. 教学重点斜率公式教学难点斜率公式的应用教学方法启发式本节课首先通过适当的课堂练习，使学生熟悉斜率公式的直接应用，把握斜率公式的形式特点， 启发学生能根据斜率公式的形式特点构造斜率公式，并注意数形结合解题思想的应用，并利用斜率证明有关三点共线的证明问题. 教具准备投影片两张第一张：斜率公式的形式特点及适用范围( 记作
2、7.1.2 A) 第二张：本节例题( 记作 7.1.2 B) 教学过程. 课题导入师上一节课，我们学习了直线的倾斜角和斜率，并推导了过已知两点的斜率公式，这一节，我们将进一步熟悉斜率公式并掌握其应用. 下面，请大家尝试给出斜率公式的形式特点. 生 (1) 斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；(2) 斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需要求出直线的倾斜角；(3) 斜率公式中， 当x1x2时不适用， 此时直线和x轴垂直， 直线的倾斜角 等于 90. 师这位同学回答得很好，大家要明确，斜率公式是研究直线方程各种形式的基
3、础，必须熟记，并且要能够达到灵活运用的程度. 这节课，我们将以例题讲评和课堂训练为主展开本节的学习活动. . 讲授新课例 3求经过A( 2，0)，B（ 5， 3）两点的直线的斜率和倾斜角. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载分析：此题为斜率公式的直接应用，意在使学生逐步熟悉斜率公式. 解：k)2(503 1 即a 1 0 10 135因此，这条直线的斜率为1，倾斜角是135. 评述：此题在强调表达方面应向学生指出说理的充分性，比如在指出倾斜角的变化范围后，才能得到相应的倾斜角. 例 4直线l过点A(m
4、，2） ，B（3，），求l的斜率与倾斜角. 分析：此题在例3 的基础上将点A坐标中的横坐标换为字母m，意在训练学生的分类讨论的意识，同时进一步熟悉斜率公式的应用. 解： (1) 先考虑此直线斜率不存在的情形，此时m3，l的倾斜角为2；(2) 若斜率存在， 设此直线斜率为k， 倾斜角为 . 此时，m3，ktan mm32324当m3 时，k0，倾斜角 arctanm32当m3 时，k0，倾斜角 arctanm32评述：在分类讨论时，应要求学生注意分类的合理性与全面性，特别地，对于tan 0 的情形，应注意反三角形式的正确表示. 例 5如果三点A（5，1） ，B（a，3） ，C（， 2）在同一直线
5、上，确定常数a的值 . 分析： 此题属于斜率的应用，根据在同一直线上，任意两点的斜率相等，可以先表示出过A、B的直线斜率，然后表示出过A、C两点的直线斜率，最后根据两斜率相等建立方程，达到求解a的目的 . 解：直线AB的斜率kABaa52513直线AC的斜率kAC915412A、B、C三点在同一直线上，kABkAC9152a， 5a1，a 13 评述：此题的解答方法可启示学生，根据斜率相等，可以证明有关三点共线的问题. 让学生注意加以总结. 课本P37练习3. 求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角：(1)C（10，） ，D（，） ；(2)P（0，0） ,Q（ 1，3） ；(3)M（3，2）
6、，N（2，3）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载解： (1)k612410)4(82, arctan2 6326; (2)k30103，120；(3)k)3(2231， 5. 4. 已知a、b、c是两两不等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角：(1)A（a，c） ，B（b，c） ；(2)C（a，b） ，D（a，c） ；(3)P（b，bc） ，Q（a，ca）. 解： (1)A、B两点的纵坐标相同，故直线AB与x轴平行，倾斜角为0；(2)C、D两点的横坐标相同，故直线CD与x轴垂直，倾斜角为90；
7、(3) kabaccb)(1， 5. 5. 已知三点A、B、C，且直线AB、AC的斜率相同，求证这三点在同一条直线上. 证明：由kABkAC，可知AB的倾斜角与AC的倾斜角相等，而两个角有共同的始边和顶点，所以终边AB与AC重合 . 因此A、B、C三点共线 . . 课时小结通过本节学习， 要求大家掌握已知两点坐标求斜率的斜率公式，并能根据斜率求直线的倾斜角，由斜率相同怎样判定三点共线. . 课后作业（一）课本P37习题 7.1 3. 已知直线斜率的绝对值等于1，求此直线的倾斜角. 解：由题意，可得tan 1 tan 1 或 1. 0 10， 5或 135. 4. 四边形ABCD的四个顶点是A（
8、2，3） ，B（1，1） ，C（ 1，2） ，D（ 2，2） ，求四条边所在的直线的斜率和倾斜角. 解：kAB12) 1(3， arctan 755直线AB的斜率为4，倾斜角为75 5 . kBC21)1(1)2(1arctan21263直线BC的斜率为21，倾斜角为263 . kCD)1(2)2(2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载arctan （） 10 2直线CD的斜率为，倾斜角为10 2. kDA41)2(223，arctan411 2直线DA的斜率为41，倾斜角为1 2. 5.(1) 当且
9、仅当m为何值时，经过两点A( m，6） ，B（1， 3m）的直线的斜率是12? (2) 当且仅当m为何值时， 经过两点A(m，2) ，B（m，2m1） 的直线的倾斜角是60？解： (1) kmmmm163)(163当k12 时，mm116312 3m61212m9m 1，m 2. （2）kmmmmm223)()12(2tan60 3. 3223mm， 32m23mm43332323. （二） 1. 预习内容：P3 392. 预习提纲：（1）试总结点斜式与斜截式直线方程的特点. （2）直线方程的点斜式与斜截式有何联系? （3）试说出直线方程的点斜式与斜截式的适用范围. 板书设计7.1.2 直线的
10、倾斜角和斜率1. 斜率公式的 2.例 3 3.学生练习形式特点及适例 4练习 1 用范围例 5练习 2 练习 3 备课资料一、参考例题例 1(1993 年全国文 )若直线axbyc0，在第一、二、三象限，则( ) A.ab0，bc0 B.ab0，bc0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载C.ab0，bc0 D.ab0，bc0 分析：此题考查学生对于直线中含有参数的情形的处理能力，应注意数形结合思想的应用. 解：由题意， 直线的斜率一定大于0，所以kba0，即ab 0；并且根据直线的纵截距大于0，可得：
11、bc0 即bc0. 故选 D. 例 2(1995 年全国 ) 在图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 ( ) A.k1k2k3 B.k3k1k2C.k3k2k1 D.k1k3k2分析：此题属于图象信息题，要求学生根据倾斜角的大小与斜率的正负来比较k1，k2，k3的大小关系 . 解：由图可知直线l1的倾斜角为钝角，故k10，直线l2，l3的倾斜角为锐角，故k2，k30，又直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角，故k2k3. 故选 D. 例 3(1996 年上海高考试题) 过点 ( ， 0) 和点 (0 ，3) 的直线的倾斜角为( ) A.arctan43 B. arctan43C
12、.arctan （43） D. arctan （43）分析： 此题中直线的斜率可由斜率公式直接求得，由于所得结果不是特殊值，故在用反正切函数表示时，应注意倾斜角的取值范围. 若 tan a（a0） ，则 arctan ；若 tana（a0） ，则 arca. 解：过点 (4 ， 0)和点 (0 ，3) 的直线的斜率k434003，即 tan 430. 故是钝角 . arctan43. 故选 B. 例 4(1997 年高考应用题) 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地，匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米小时， 已知汽车每小时的运输成本(以元为单位 ) 由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米
13、小时 ) 的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元. (1) 把全部运输成本y( 元) 表示为速度v( 千米小时 ) 的函数，并指出这个函数的定义域. (2) 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶? 解： (1)ys（vabv） ，v（ 0，c(2) 据 1998 年高考试题分析知：很多考生在求函数ys（vabv）取得最小值时，利用基本不等式，由于忽略了函数的定义域，根据s（vabv）2sab，得出当且仅当va精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载bv，即vba时，全程运输成本最小的结论，结果漏
14、掉了另外一种情况. 如果运用斜率求解，可避免漏解.请看：记ky0)(22vasbsvvasbsv故求此函数的最值可转化为求一定点A（0，as）与动点B（v，bsv2）构成的直线的斜率的最值 . 动点B在抛物线ybx2，x（ 0，c）上运动，其中点B（c，bsc2）. 如图所示：当动点B在抛物线弧OB ( 不包括B点 ) 上时，过定点A且与抛物线弧相切的切线斜率即所求函数的最小值. 设直线AB的方程为：yakx联立2bsxyaskxy消去y得bx2kxas0(*) 由k2abs20 得k2sab或k 2sab ( 舍去 ) ，将k 2sab代入 (*) 式得xba. 换句话说，当速度vba时，运
15、输成本y的最小值为2sab. 当点B 在点B时，kAB的值只有一个，显然就是所求函数的最小值. 此时，kABcascasbsc(0)(2bc）.也就是说，当vc时，运输成本y的最小值为s（cabc）. 二、直线的斜率在解题中的应用1. 证明不等式例 1已知a、b、m*，且ab，求证：bambma. 分 析 ： 观 察 所 证 不 等 式 的 左 边 ， 结 构 与 斜 率 公 式k1212xxyy完 全 相 似 ，)()(mbmambma，故此式可看作点(b，a) 与点 ( m，m) 的连线的斜率. 解：如图， 0ab，点P（b，a）在第一象限且必位于直线yx的下方 . 又m 0 精选学习资料
16、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载点M( m，m）在第三象限且必在yx上，连接OP、PM，则：kOPba，kMPmbma. 直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角，kMPkOP即有mbmaba. 2. 用斜率确定某些参数的取值范围例 2已知两点P（ 2， 3） ，Q（3，2） ，直线axy20 与线段PQ相交，求a的取值范围 . 分析：已知直线axy2 0是一条过定点(0 ， 2）的动直线，若与线段PQ相交，则如图所示直线PM、QM是其变化的边界直线，所以只须求出直线PM、QM的斜率即可确定已知直线的斜率a的变化范
17、围，从而得到a的变化范围 . 解：如图所示,直线l：axy20 恒过定点M（ 0， 2） ，l与线段PQ相交，故kMPklkMQ. kla，kMP21，kMQ3421a34，34a21. 例 3若20，则斜率为cot 直线的倾斜角为( ) A. B. 2C. D. 2分析： 由直线的倾斜角的定义，题中的 角，不能作为直线的倾斜角；也不能错误地认为 在直线的倾斜角范围内，就是直线的倾斜角，必须进行准确的三角变形. 解：设直线的倾斜角为，ktan cot tan （ 2）k2（k ） 0，） ，2 0 22， 022故选 B. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
