2022年特征值与特征向量考研复习

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1、个人资料整理仅限学习使用1 / 20 特征值与特征向量考研复习一、特征值和特征向量1、有关定义：(1 定义 1：设A为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零的n维向量，使得：A，则称是矩阵A的一个特征值，非零向量为矩阵A的属于 定义 2：称矩阵AI称为A的特征矩阵，它的行列式AI称为A的特征多项式，AI0 称为A的特征方程，其根为矩阵A的特征值。p1EanqFDPw 2、特征值、特征向量的求法：设A是 n阶矩阵，则0是A的特征值，是A的属于0的特征向量的充分必要条件是0是AI00 的根，是齐次线性方程组0)(0XAI的非零解。DXDiTa9E3d 3、特征值、特征向量的基本性质(1 如果是A的属

2、于特征值0的特征向量，则一定是非零向量，且对于任意非零常数k，k也是A的属于特征值0的特征向量。RTCrpUDGiT (2 如 果21,是A的 属于 特征 值0的 特 征 向 量 , 则 当02211kk时 ，2211kk也是A的属于特征值0的特征向量。(3 n阶矩阵A与它的转置矩阵TA有相同的特征值。(4 121122( )nnntr Aaaa(5 An21(6 设是A的特征值，且是A属于的特征向量，则(a kc是kcA的特征值，kkcAc；(b 若A可逆，则,0且1是1A的特征值，1A1。上述结果在某种意义上可以说：()f A的特征值是( )f，其中是A的特征精选学习资料 - - - -

3、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用2 / 20 值。(7 设m,21为 n 阶矩阵A 的不同特征值。m,21分别是属于m,21的特征向量，则m,21线性无关。4、典型例题例 1 (四/93 设 2是可逆矩阵A的一个特征值，则1231A有一特征值为 ( 。A、34B、43C、21D、41解：1212133()34AA，选 B练习： 1、(一/98设是n阶矩阵A的一个特征值，则EA2*)(必有特征值。解：因为*1AA A，所以*A的特征值为1A，从而221A是EA2*)(的一个特征值。2、(三/08设三阶矩阵A的特征值分别为

4、1,2,2，则14AE。解：14AE的三个特征值为3,1,1，所以143AE3、 (四/96 设有四阶方阵A满足：02AE，EAAT2，0A。求*A的一个特征值。解：由02AE知：2 是A的一个特征值由EAAT2，0A知：4A所以*A的一个特征值为42 22例 2 (一/95设A是 n阶矩阵，满足EAAT，0A，求EA。解：法一：由EAAT，0A知：1A而TTAEAAAAEAAE ，所以0AE法二：设是A的任意一个特征值，是对应的特征向量，则A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用3 / 20

5、由EAAT得TA AE，TTTA ATTAA2TT211，即A的特征值是 1 或1，而0A，所以A的特征值至少有一个是1，因此0AE同类型： (四/90 设方阵 A 满足EAAT，试证明 A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1。例3 ( 一 、 二 /08设A为 二 阶 矩 阵 ，12,是 二 个 线 性 无 关 的 列向 量 ，12120,2AA，则A的非零特征值为。解：由于121212(2)22AAA，所以A的一个非零特征值为1。例 4 (三/02 设A为n 阶实对称矩阵，P是可逆矩阵。已知是A的属于特征值的特征向量，则TAPP1属于特征值的特征向量是 ( 。5PCzVD7HxA A

6、、1PB、TPC、PD、TP1解：11TTTPAPP A P11TTA PPA，因此1TP，得TP选 B 例 5 (四/08 设三阶矩阵A的特征值互不相同，且| 0A，则( )r A。解：由| 0A知：A至少有一个特征值为0 又A的特征值互不相同，所以A只有一个特征值为0。因此()2r A例 6 (一、二、三 /05 设21,是矩阵A的二个不同特征值，对应的特征向量分别为21,，则)(,211A线性无关的充要条件是 ( 。jLBHrnAILg A、01B、02C、01D、02解：)(,211A线性无关的充要条件是11212()0xx A只有零解112121121222()0()0xx Axxx

7、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用4 / 20 由21,线性无关得：112220,0xxx只有零解的充要条件是02选 B例 7 (三/90 设A为 n阶矩阵，21,是A的二个不同特征值，21, XX分别是属于21,的特征向量，试证明21XX不是A的特征向量。证明：若21XX是A的特征向量，则存在一个数，使得：1212()()A XXXX又12121122()A XXAXAXXX所以12()XX1122XX即1122()()0XX，又21, XX线性无关，所以120,0与21,是A的二个不同特

8、征值矛盾，所以21XX不是A的特征向量。例 8 (三/04 设 n阶矩阵111bbbbAbb，(1求A的特征值和特征向量； (2求可逆阵P，使得APP1为对角矩阵。解：(1111bbbbEAbb1(1)1(1)11(1)1nbbbnbbnbb1(1)010001nbbbbb1(1)1(1)nbnb所以1,(1),1(1)b nnb个1 若0b，则 n 个特征值均为 1，此时0EA，所以1(1,0,0) ,(0,0,1)TTn是 n个线性无关的特征向量2 若0b，则当1b时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页个人资料

9、整理仅限学习使用5 / 20 bbbbbbEAbbb000000bbb所以11( 1,0,1) ,(0, 1,1)TTn是1n个线性无关的特征向量当1(1)nb时，(1)(1)(1)nbbbbnbbEAbbnb111111111nnn00111nnnnn101011111 n1001010100110000得(1 ,1,1)Tn是它的一个基础解系。(2 当0b时，100010001P，且1(1 ,1,1)PAPdiag当0b时，1001010100111111P，且1(1,1,1(1) )P APdiagbbnb例 9 (三、四 /98 设TnTnbbaa),(,),(11都是非零 n 维向量

10、，且满足条件0T。记TA。求： (12A；(2A的特征值和特征向量。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用6 / 20 解：(1 20TTA(2 设是A的任意一个特征值，是对应的特征向量，则A所以22A20，又0，所以0，即A的n个特征值均为 0。由于,都是非零向量，所以不妨设110,0ab。当0时1 11212 122212nnTnnnnaba baba ba ba bEAa ba ba b1 1121000000naba ba b12000000nbbb所以基础解系为：1211(/,1,0,

11、0),TTnnbbbb。从而0对应的所有特征向量为：1111nncc，其中11,ncc不全为零。例 10 (四/03 设21112111Aa可逆，11b是*A的一个特征向量，是对应的特征值，求,ba的值。解：由是*A的属于的一个特征向量，且A可逆知：0，且*A即1A A，从而 AA代入得：3| 4(1)22|1|bAabA babA得：2,1,1ab或2,2,4ab。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用7 / 20 练习： (一、三 /99 设矩阵acbcaA01351，且1A。又设 A 的伴

12、随矩阵*A有特征值0，属于0的特征向量为T) 1 , 1, 1(，求0,cba的值。解：由0AA得：000(1)1( 53)1( 1)1acbca，解得：01,3,bac又13Aa，所以2ac。例 11 (一/92 设三阶矩阵 A 的特征值为 1,2,3，对应的特征向量分别为：931,421,111321，又113(1将用321,线性表示； (2求nA( n为自然数 。解：(1解112233xxx则111112311493A111101200262111101200022得：12322(2 1231122332222AAAA11223322nnnnA1123223nn(也可以用相似矩阵先求nA

13、，再求nA做，但是比较麻烦 例 12 ( 二、三、四 /08 设A为三阶矩阵，12,是A的分别属于1,1的特征向 量 ， 向 量3满 足323A， (1 证 明123,线 性 无 关 ； (2 令123(,)P，求1PAP。xHAQX74J0X 解：(1 设1122330xxx (1 所以1122330x Ax Ax A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用8 / 20 代入得：1123233()0xxxx (2 (1(2得：113220xx由于12,是A的分别属于1,1的特征向量，所以12,线

14、性无关，因此130,0xx，再代入 (1式得：220x，因20，所以20x从而123,线性无关 (2 123(,)APAAA1223(,)123100(,)011001100011001P所以1PAP100011001。例设A是一个 n 阶正交矩阵，证明：1）如果A有特征值，则A的特征值只能是 1 或1；2）如果1A，则1是A的一个特征值； 设是矩阵A的一个特征值，是对应的特征向量，则A。从而2()TTTTAAA A(* 由于A是正交矩阵，所以TA AE。从而由 (*式得：2TT。因为0，所以0T。因此21，即1。(2 TEAA AA()TEAAEA所以0EA，即1是A的一个特征值。(3 ()

15、TTEAA AAEAA( 1)nEAEA由此得0EA。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用9 / 20 例设,A B分别是,mn nm阶矩阵，如果是矩阵AB的属于非零特征值的一个特征向量，证明B是BA的属于特征值的一个特征向量。证明：因为是矩阵AB的属于特征值的一个特征向量，所以AB。两边乘B得：()()BA BB(* 如果0B，则0AB与0，0矛盾。所以0B。因此由 (*式知：B是BA的属于特征值的一个特征向量。例设1(,)Tnaa，其中1,naa 不全为零，求TA的特征值和特征向量。解：因

16、为1,naa 不全为零，所以不妨设10a。设是矩阵A的任意一个特征值，是对应的特征向量，则A。注意到221nTiiTAaA，易得：210niia或。又因为()TTTTAA，所以A是对称矩阵。从而A一定可以对角化。因此A的秩等于对应对角矩阵的秩。而()1r A，所以A只有一个非零特征值：21niia，其余的1n个均为 0。当0时，2112121222212nnnnnaa aa aa aaa aEAa aa aa121212nnnaaaaaaaaa12000000naaa所以基础解系为：12111(/,1,0) ,(/,1)TTnnaaaa从而对应的所有特征向量为111111,nnnkkkk其中不

17、全零。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用10 / 20 当21niia时，2211211221222122121nininininnniniaaa aa aa aaaa aEAa aa aaa22112112221112211100nininniiiinnniiiiaaa aa aaaaaaaaa22112112111001nininaaa aa aaaaa2110001001naaaa2111001000naaaa所 以 基 础 解 系 为 ：2111,Tnnaaaa。 从 而 对 应 的

18、 所 有 特 征 向 量 为(0)nnnkk。二、矩阵的相似1、相似的定义：设 A、B 为 n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P，使得BAPP1成立，则称矩阵 A与 B相似，记作BA 。2、相似的性质(1 若二个矩阵相似，则它们具有相同的特征值；(2若二个矩阵相似，则它们具有相同的行列式；(3 若二个矩阵相似，则它们具有相同的迹(4 若二个矩阵相似，则它们具有相同的秩(5 若 n阶矩阵,A B相似，即BAPP1。则kAkB(k为任意非负整数，当精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用11 / 2

19、0 A可逆时，k还可以为任意负整数 且kkBPAP1。3、可对角化的定义及条件(1 定义：若方阵 A可以和某个对角矩阵相似，则称矩阵A可对角化。(2 可对角化的条件：(a n 阶矩阵 A相似于对角阵的充分必要条件是A有 n 个线性无关的特征向量。(b 若 n 阶矩阵 A有 n 个相异的特征值n,21，则矩阵 A一定可对角化。4、实对称矩阵的对角化(1 实对称矩阵的特征值都是实数；(2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的；(3 设 A为 n 阶实对称矩阵，则存在n 阶正交矩阵 Q ，使AQQ1为对角阵；(4 史密特正交化方法。5、典型例题例 1 (三/00 若四阶矩阵,A B相似，A的

20、特征值为51,41,31,21，则EB1。解：因为,A B相似，A的特征值为51,41,31,21，所以1B的特征值为2,3,4,5从而1BE的特征值为1,2,3, 4，故124BE例 2 (三/99 设A与B为 n阶矩阵，且A与B相似，则 ( 。A、BEAEB、A与B有相同的特征值与特征向量C、A与B都相似于一个对角矩阵D、对任意常数 t ，AtE与BtE相似解：D例3 (四/03 设001010100B，已知A与B相似，则)()2(EArEAr( 。A、2 B、3 C、4 D、5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 2

21、0 页个人资料整理仅限学习使用12 / 20 解：由A与B相似得：AkEBkE，而相似矩阵的秩相等，所以)()2(EArEAr(2)()314r BEr BE例 4 (三/92 设11322002xA与yB00020001相似， (1求yx,；(2求可逆阵P，使得BAPP1。解：(11是A的特征值，所以0EA，得0x又()()tr Atr B，所以2y(2 略例 5 (四/95 设TTT)2, 1,2(,) 1 , 2,2(,)2, 2, 1(321，且三阶矩阵A满足)3, 2, 1(iiAii，试求A。解：因为A有三个不同的特征值，所以A可以对角化，且122221212P，使得1(1,2,3

22、)PAPdiag，下略例 6 (四/99设3241223kkA，问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得APP1为对角矩阵？并求出P和相应的对角矩阵。解：2(1)(1)0EA，所以1, 1,1由于A可对角化，所以()1rEA而42221100422000EAkkkk，所以0k。其余略。例 7 (四/00 设5334111yxA，已知A有三个线性无关的特征向量，2 是A的二重特征值。试求可逆矩阵P，使得APP1为对角形矩阵。Zzz6ZB2Ltk 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用13 / 20

23、解：由A有三个线性无关的特征向量，2 是A的二重特征值知： 2 有二个线性无关的特征向量，所以(2)1rEA11122333EAxy11102000xxy所以2,2xyx。 下略。练习： (三、四 /94 设0011100yxA有三个线性无关的特征向量，求yx,应满足的条件。解：01101111010EAxyxy21001(1)(1)0101xxy所以1,1,1当1时，101101000101000EAxyxy由于1是二重根，且A有三个线性无关的特征向量，所以()1rEA因此0xy当1时，101101202101000EAxyyx，此时()2rEA，符合要求。故yx,应满足的条件是：0xy。例

24、 8 (一、二 /04 设矩阵51341321aA特征值有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可以对角化。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用14 / 20 解：2(2)(8183 )EAa因为有重根，所以(12是281830a的解，得：2a特征值为2,2,6当2时，123123123EA123000000得基础解系为1(2,1,0)T，2( 3,0,1)T当6时，523123121EA123011000101011000得基础解系：3( 1, 1,1)T因为有三个线性无关的特征向量，所以此时

25、矩阵能对角化。(2228183(4)a，得：23a。当2时，2312312313EA123010000得基础解系为1( 3,0,1)T当4时，2332310311EA103013000得基础解系为2( 3, 3,1)T因为只有二个线性无关的特征向量，所以矩阵不能对角化。例 9 (一/03 设矩阵PAPBBA*1,100101010,322232223，求EB2的特征值和特征向量。解：A的特征值与对应的特征向量分别为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用15 / 20 1,1,7和123( 1

26、,1,0) ,( 1,0,1) ,(1,1,1)TTT所以*A特征值与对应的特征向量分别为：7,7,1和123( 1,1,0) ,( 1,0,1) ,(1,1,1)TTT而*A与B相似，所以二者的特征值相同。所以EB2的特征值为9,9,3由于11*11*1()()B PP A PPP AP，所以1P是B的特征向量。 (注意到1*BP A P和A知：B的特征向量可选1P，由此得：EB2的特征值为9,9,3对应的特征向量分别为：111123(1 , 1,0) ,( 1, 1,1) ,(0,1,1)TTTPPP例 10 (四/05设A为三阶矩阵，321,是线性无关的三维列向量，且满足3211A，32

27、22A，32332A(1 求矩阵B，使得BA),(),(321321；(2 求矩阵A的特征值； (3 求可逆阵P，使得APP1为对角阵。解：(11231232323(,)(,2,23)A123100(,) 122113所以100122113B。 (2 记123(,)C，则1CACB，因此求A的特征值转化为求B的特征值。B的特征值和对应的特征向量分别为：1,1,4和123( 1,1,0) ,( 2,0,1) ,(0,1,1)TTT记120101011D，则1(1,1,4)DBDdiag精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20

28、 页个人资料整理仅限学习使用16 / 20 所以111(1,1,4)D C ACDD BDdiag，故PCD例 11 (一/01 已知三阶矩阵A与三维列向量X，使得向量组XAAXX2,线性无关 ， 且 满 足XAAXXA2323。 (1 记),(2XAAXXP， 求B使 得1P B PA；(2EA。dvzfvkwMI1 解：(1 2(,)APA X AX A X2322(,)(,32)AX A X A XAX A XAXA X2000(,) 103012X AX A X000103012P故1000103012APP，即000103012B。(2 1()AEP BE P1PBEPBE10011

29、34011。例 12 (三/96 设矩阵210010000010010yA。(1已知A的一个特征值为3，试求y；(2求矩阵P，使得)()(APAPT为对角矩阵。解：(1 由 30EA得：2y。(2 由于A是对称矩阵，所以2A也对称。可以求出正交矩阵P，使得1PAP是对角矩阵，则P即为所求。具体的计算略。例 13 (一/95 设三阶实对称矩阵A的特征值为1, 1321，对应于1的特征向量为T) 1 , 1 ,0(1，求A。解：设123(,)TXx xx是A的属于231的特征向量，则X与1正交。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，

30、共 20 页个人资料整理仅限学习使用17 / 20 所以230xx，得基础解系为23(1,0,0) ,(0, 1,1)TT。记0101102211022Q(正交矩阵，一般可以通过史密特正交化的方法得到，则1( 1,1,1)Q AQdiag所以1( 1,1,1)( 1,1,1)TAQdiagQQdiagQ。练习： 1、 (三/97 设三阶实对称矩阵A的特征值是3, 2, 1；矩阵A的属于特征值1、2的特征向量分别为TT) 1,2, 1(,)1 , 1, 1(21。(1 求A的属于特征值 3的特征向量； (2 求矩阵A。rqyn14ZNXI 解：设3123(,)Tx xx是A的属于 3的特征向量，

31、则3与12,正交。故123123020xxxxxx，下略。2、(四/04 设三阶实对称矩阵A的秩为 2，621是 A 的二重特征值，若TTT)3,2, 1(,) 1 , 1 , 2(,)0, 1 , 1(321都是 A 的属于特征值6 的特征向量，(1求A的另一特征值和对应的特征向量；(2求矩阵A。EmxvxOtOco 解：因为A的秩为 2，所以0A，因此至少有一个特征值为0，故另一特征值为 0。其余同上，略。例 14(三、四 /07 设三阶对称矩阵A三个特征值分别为1,2,2，1(1 , 1,1)T是A的属于1的特征向量，记534BAAE，(1 验证1是B的特征向量，并求B的特征值及特征向量

32、； (2 求B。SixE2yXPq5 解：(1 由A三个特征值分别为1,2,2得：B的特征值为2,1,1(比较完整的写法是：设是A的特征值，则5341是B的特征值，所以B的特征值为2,1,1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用18 / 20 53531111114(14 11)2BAA设123(,)Tx xx是B的对应特征值1的特征向量，且B是对称矩阵，所以与1正交，即1230xxx，由此解得：23(1,1,0) ,( 1,0,1)TT (2 记111110101P，211，则1PBP由此

33、得：011101110B。例 15 (一/02 设,A B为同阶矩阵， (1 如果,A B相似，试证它们的特征多项式相同；(2 举一个二阶方阵的例子说明(1的逆命题不成立； (3当,A B均为实对称矩阵时，试证 (1的逆命题成立。6ewMyirQFL 解：(1 因为,A B相似，所以存在P，使得1PAPB因此11()EBEPAPPEA PEA 。 (2 反例：1010,0111AB它们有相同的特征值，但是它们不相似。 (3 若,A B均为实对称矩阵，且它们的特征多项式相同，则,A B与同一对角矩阵相似，即存在,C D，使得1CAC，1DBD因此11CACDBD，得11DCACDB取1PCD，则

34、1PAPB，所以,A B相似。例16 ( 三 、 四 /06 设 三 阶 实 对 称 矩 阵A的 各 行 元 素 之 和 均 为3 ，12( 1,2, 1) ,(0, 1,1)TT是0AX的二个解， (1 求A的特征值和特征向量；(2 求正交矩阵Q和对角矩阵，使得TQ AQ；(3 求A及632AE。kavU42VRUs 解：记3(1,1,1)T，则由A的各行元素之和均为3 得：333A，所以 3 是A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用19 / 20 的特征值，3是其对应的特征向量。又由于1

35、23,相互正交，所以12,是A的另外二个特征值对应的特征向量，记i对应的特征向量是i(1,2i，由于0iA(1,2i，所以120。记123(,)Q(标准 正交化后，则1(0,0,3)Q AQdiag。余下略。例设A是n阶可逆矩阵，证明：如果A可以对角化，则1*,AA 都可对角化。证明：若A可以对角化，则存在可逆阵P，使得112(,)nP APdiag。又因为A可逆，所以0i。从而111112()(1/,1/,1/)nPA PP APdiag即1A可对角化。注意到*1|AA A，所以*11112|(|/,|/,|/)nPA PA PA PdiagAAA即*A也可对角化。例设,A B分别是,m n

36、阶矩阵，它们分别有,m n个不同的特征值。设( )f是矩阵A的 特 征 多 项 式 ， 且()f B可 逆 ， 证 明 对 任 意 的 mn 阶 矩 阵C， 都有0ACGB可对角化。y6v3ALoS89 证明：设12,m是矩阵A的 m个不同特征值，12,n是矩阵B的 n 个不同特征值，则由|0EACEGEB| |EAEB得矩阵G的特征值为1212,mn。由于j是矩阵B的特征值，所以()jf矩阵()f B的特征值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用20 / 20 又由于()f B可逆，所以()0jf。从而12,n不是矩阵A的特征值。因此矩阵G有 mn个不同的特征值。由此得矩阵G可对角化。申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页