《2022年特征值与特征向量考研复习》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年特征值与特征向量考研复习(20页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、个人资料整理仅限学习使用1 / 20 特征值与特征向量考研复习一、特征值和特征向量1、有关定义:(1 定义 1:设A为 n 阶矩阵,是一个数,如果存在非零的n维向量,使得:A,则称是矩阵A的一个特征值,非零向量为矩阵A的属于 定义 2:称矩阵AI称为A的特征矩阵,它的行列式AI称为A的特征多项式,AI0 称为A的特征方程,其根为矩阵A的特征值。p1EanqFDPw 2、特征值、特征向量的求法:设A是 n阶矩阵,则0是A的特征值,是A的属于0的特征向量的充分必要条件是0是AI00 的根,是齐次线性方程组0)(0XAI的非零解。DXDiTa9E3d 3、特征值、特征向量的基本性质(1 如果是A的属
2、于特征值0的特征向量,则一定是非零向量,且对于任意非零常数k,k也是A的属于特征值0的特征向量。RTCrpUDGiT (2 如 果21,是A的 属于 特征 值0的 特 征 向 量 , 则 当02211kk时 ,2211kk也是A的属于特征值0的特征向量。(3 n阶矩阵A与它的转置矩阵TA有相同的特征值。(4 121122( )nnntr Aaaa(5 An21(6 设是A的特征值,且是A属于的特征向量,则(a kc是kcA的特征值,kkcAc;(b 若A可逆,则,0且1是1A的特征值,1A1。上述结果在某种意义上可以说:()f A的特征值是( )f,其中是A的特征精选学习资料 - - - -
3、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页个人资料整理仅限学习使用2 / 20 值。(7 设m,21为 n 阶矩阵A 的不同特征值。m,21分别是属于m,21的特征向量,则m,21线性无关。4、典型例题例 1 (四/93 设 2是可逆矩阵A的一个特征值,则1231A有一特征值为 ( 。A、34B、43C、21D、41解:1212133()34AA,选 B练习: 1、(一/98设是n阶矩阵A的一个特征值,则EA2*)(必有特征值。解:因为*1AA A,所以*A的特征值为1A,从而221A是EA2*)(的一个特征值。2、(三/08设三阶矩阵A的特征值分别为
4、1,2,2,则14AE。解:14AE的三个特征值为3,1,1,所以143AE3、 (四/96 设有四阶方阵A满足:02AE,EAAT2,0A。求*A的一个特征值。解:由02AE知:2 是A的一个特征值由EAAT2,0A知:4A所以*A的一个特征值为42 22例 2 (一/95设A是 n阶矩阵,满足EAAT,0A,求EA。解:法一:由EAAT,0A知:1A而TTAEAAAAEAAE ,所以0AE法二:设是A的任意一个特征值,是对应的特征向量,则A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 20 页个人资料整理仅限学习使用3 / 20
5、由EAAT得TA AE,TTTA ATTAA2TT211,即A的特征值是 1 或1,而0A,所以A的特征值至少有一个是1,因此0AE同类型: (四/90 设方阵 A 满足EAAT,试证明 A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1。例3 ( 一 、 二 /08设A为 二 阶 矩 阵 ,12,是 二 个 线 性 无 关 的 列向 量 ,12120,2AA,则A的非零特征值为。解:由于121212(2)22AAA,所以A的一个非零特征值为1。例 4 (三/02 设A为n 阶实对称矩阵,P是可逆矩阵。已知是A的属于特征值的特征向量,则TAPP1属于特征值的特征向量是 ( 。5PCzVD7HxA A
6、、1PB、TPC、PD、TP1解:11TTTPAPP A P11TTA PPA,因此1TP,得TP选 B 例 5 (四/08 设三阶矩阵A的特征值互不相同,且| 0A,则( )r A。解:由| 0A知:A至少有一个特征值为0 又A的特征值互不相同,所以A只有一个特征值为0。因此()2r A例 6 (一、二、三 /05 设21,是矩阵A的二个不同特征值,对应的特征向量分别为21,,则)(,211A线性无关的充要条件是 ( 。jLBHrnAILg A、01B、02C、01D、02解:)(,211A线性无关的充要条件是11212()0xx A只有零解112121121222()0()0xx Axxx
7、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页个人资料整理仅限学习使用4 / 20 由21,线性无关得:112220,0xxx只有零解的充要条件是02选 B例 7 (三/90 设A为 n阶矩阵,21,是A的二个不同特征值,21, XX分别是属于21,的特征向量,试证明21XX不是A的特征向量。证明:若21XX是A的特征向量,则存在一个数,使得:1212()()A XXXX又12121122()A XXAXAXXX所以12()XX1122XX即1122()()0XX,又21, XX线性无关,所以120,0与21,是A的二个不同特
8、征值矛盾,所以21XX不是A的特征向量。例 8 (三/04 设 n阶矩阵111bbbbAbb,(1求A的特征值和特征向量; (2求可逆阵P,使得APP1为对角矩阵。解:(1111bbbbEAbb1(1)1(1)11(1)1nbbbnbbnbb1(1)010001nbbbbb1(1)1(1)nbnb所以1,(1),1(1)b nnb个1 若0b,则 n 个特征值均为 1,此时0EA,所以1(1,0,0) ,(0,0,1)TTn是 n个线性无关的特征向量2 若0b,则当1b时,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 20 页个人资料
9、整理仅限学习使用5 / 20 bbbbbbEAbbb000000bbb所以11( 1,0,1) ,(0, 1,1)TTn是1n个线性无关的特征向量当1(1)nb时,(1)(1)(1)nbbbbnbbEAbbnb111111111nnn00111nnnnn101011111 n1001010100110000得(1 ,1,1)Tn是它的一个基础解系。(2 当0b时,100010001P,且1(1 ,1,1)PAPdiag当0b时,1001010100111111P,且1(1,1,1(1) )P APdiagbbnb例 9 (三、四 /98 设TnTnbbaa),(,),(11都是非零 n 维向量
10、,且满足条件0T。记TA。求: (12A;(2A的特征值和特征向量。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 20 页个人资料整理仅限学习使用6 / 20 解:(1 20TTA(2 设是A的任意一个特征值,是对应的特征向量,则A所以22A20,又0,所以0,即A的n个特征值均为 0。由于,都是非零向量,所以不妨设110,0ab。当0时1 11212 122212nnTnnnnaba baba ba ba bEAa ba ba b1 1121000000naba ba b12000000nbbb所以基础解系为:1211(/,1,0,
11、0),TTnnbbbb。从而0对应的所有特征向量为:1111nncc,其中11,ncc不全为零。例 10 (四/03 设21112111Aa可逆,11b是*A的一个特征向量,是对应的特征值,求,ba的值。解:由是*A的属于的一个特征向量,且A可逆知:0,且*A即1A A,从而 AA代入得:3| 4(1)22|1|bAabA babA得:2,1,1ab或2,2,4ab。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页个人资料整理仅限学习使用7 / 20 练习: (一、三 /99 设矩阵acbcaA01351,且1A。又设 A 的伴
12、随矩阵*A有特征值0,属于0的特征向量为T) 1 , 1, 1(,求0,cba的值。解:由0AA得:000(1)1( 53)1( 1)1acbca,解得:01,3,bac又13Aa,所以2ac。例 11 (一/92 设三阶矩阵 A 的特征值为 1,2,3,对应的特征向量分别为:931,421,111321,又113(1将用321,线性表示; (2求nA( n为自然数 。解:(1解112233xxx则111112311493A111101200262111101200022得:12322(2 1231122332222AAAA11223322nnnnA1123223nn(也可以用相似矩阵先求nA
13、,再求nA做,但是比较麻烦 例 12 ( 二、三、四 /08 设A为三阶矩阵,12,是A的分别属于1,1的特征向 量 , 向 量3满 足323A, (1 证 明123,线 性 无 关 ; (2 令123(,)P,求1PAP。xHAQX74J0X 解:(1 设1122330xxx (1 所以1122330x Ax Ax A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页个人资料整理仅限学习使用8 / 20 代入得:1123233()0xxxx (2 (1(2得:113220xx由于12,是A的分别属于1,1的特征向量,所以12,线
14、性无关,因此130,0xx,再代入 (1式得:220x,因20,所以20x从而123,线性无关 (2 123(,)APAAA1223(,)123100(,)011001100011001P所以1PAP100011001。例设A是一个 n 阶正交矩阵,证明:1)如果A有特征值,则A的特征值只能是 1 或1;2)如果1A,则1是A的一个特征值; 设是矩阵A的一个特征值,是对应的特征向量,则A。从而2()TTTTAAA A(* 由于A是正交矩阵,所以TA AE。从而由 (*式得:2TT。因为0,所以0T。因此21,即1。(2 TEAA AA()TEAAEA所以0EA,即1是A的一个特征值。(3 ()
15、TTEAA AAEAA( 1)nEAEA由此得0EA。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页个人资料整理仅限学习使用9 / 20 例设,A B分别是,mn nm阶矩阵,如果是矩阵AB的属于非零特征值的一个特征向量,证明B是BA的属于特征值的一个特征向量。证明:因为是矩阵AB的属于特征值的一个特征向量,所以AB。两边乘B得:()()BA BB(* 如果0B,则0AB与0,0矛盾。所以0B。因此由 (*式知:B是BA的属于特征值的一个特征向量。例设1(,)Tnaa,其中1,naa 不全为零,求TA的特征值和特征向量。解:因
16、为1,naa 不全为零,所以不妨设10a。设是矩阵A的任意一个特征值,是对应的特征向量,则A。注意到221nTiiTAaA,易得:210niia或。又因为()TTTTAA,所以A是对称矩阵。从而A一定可以对角化。因此A的秩等于对应对角矩阵的秩。而()1r A,所以A只有一个非零特征值:21niia,其余的1n个均为 0。当0时,2112121222212nnnnnaa aa aa aaa aEAa aa aa121212nnnaaaaaaaaa12000000naaa所以基础解系为:12111(/,1,0) ,(/,1)TTnnaaaa从而对应的所有特征向量为111111,nnnkkkk其中不
17、全零。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 20 页个人资料整理仅限学习使用10 / 20 当21niia时,2211211221222122121nininininnniniaaa aa aa aaaa aEAa aa aaa22112112221112211100nininniiiinnniiiiaaa aa aaaaaaaaa22112112111001nininaaa aa aaaaa2110001001naaaa2111001000naaaa所 以 基 础 解 系 为 :2111,Tnnaaaa。 从 而 对 应 的
18、 所 有 特 征 向 量 为(0)nnnkk。二、矩阵的相似1、相似的定义:设 A、B 为 n 阶矩阵,如果存在n 阶可逆矩阵P,使得BAPP1成立,则称矩阵 A与 B相似,记作BA 。2、相似的性质(1 若二个矩阵相似,则它们具有相同的特征值;(2若二个矩阵相似,则它们具有相同的行列式;(3 若二个矩阵相似,则它们具有相同的迹(4 若二个矩阵相似,则它们具有相同的秩(5 若 n阶矩阵,A B相似,即BAPP1。则kAkB(k为任意非负整数,当精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 20 页个人资料整理仅限学习使用11 / 2
19、0 A可逆时,k还可以为任意负整数 且kkBPAP1。3、可对角化的定义及条件(1 定义:若方阵 A可以和某个对角矩阵相似,则称矩阵A可对角化。(2 可对角化的条件:(a n 阶矩阵 A相似于对角阵的充分必要条件是A有 n 个线性无关的特征向量。(b 若 n 阶矩阵 A有 n 个相异的特征值n,21,则矩阵 A一定可对角化。4、实对称矩阵的对角化(1 实对称矩阵的特征值都是实数;(2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的;(3 设 A为 n 阶实对称矩阵,则存在n 阶正交矩阵 Q ,使AQQ1为对角阵;(4 史密特正交化方法。5、典型例题例 1 (三/00 若四阶矩阵,A B相似,A的
20、特征值为51,41,31,21,则EB1。解:因为,A B相似,A的特征值为51,41,31,21,所以1B的特征值为2,3,4,5从而1BE的特征值为1,2,3, 4,故124BE例 2 (三/99 设A与B为 n阶矩阵,且A与B相似,则 ( 。A、BEAEB、A与B有相同的特征值与特征向量C、A与B都相似于一个对角矩阵D、对任意常数 t ,AtE与BtE相似解:D例3 (四/03 设001010100B,已知A与B相似,则)()2(EArEAr( 。A、2 B、3 C、4 D、5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 2
21、0 页个人资料整理仅限学习使用12 / 20 解:由A与B相似得:AkEBkE,而相似矩阵的秩相等,所以)()2(EArEAr(2)()314r BEr BE例 4 (三/92 设11322002xA与yB00020001相似, (1求yx,;(2求可逆阵P,使得BAPP1。解:(11是A的特征值,所以0EA,得0x又()()tr Atr B,所以2y(2 略例 5 (四/95 设TTT)2, 1,2(,) 1 , 2,2(,)2, 2, 1(321,且三阶矩阵A满足)3, 2, 1(iiAii,试求A。解:因为A有三个不同的特征值,所以A可以对角化,且122221212P,使得1(1,2,3
22、)PAPdiag,下略例 6 (四/99设3241223kkA,问当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得APP1为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵。解:2(1)(1)0EA,所以1, 1,1由于A可对角化,所以()1rEA而42221100422000EAkkkk,所以0k。其余略。例 7 (四/00 设5334111yxA,已知A有三个线性无关的特征向量,2 是A的二重特征值。试求可逆矩阵P,使得APP1为对角形矩阵。Zzz6ZB2Ltk 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 20 页个人资料整理仅限学习使用13 / 20
23、解:由A有三个线性无关的特征向量,2 是A的二重特征值知: 2 有二个线性无关的特征向量,所以(2)1rEA11122333EAxy11102000xxy所以2,2xyx。 下略。练习: (三、四 /94 设0011100yxA有三个线性无关的特征向量,求yx,应满足的条件。解:01101111010EAxyxy21001(1)(1)0101xxy所以1,1,1当1时,101101000101000EAxyxy由于1是二重根,且A有三个线性无关的特征向量,所以()1rEA因此0xy当1时,101101202101000EAxyyx,此时()2rEA,符合要求。故yx,应满足的条件是:0xy。例
24、 8 (一、二 /04 设矩阵51341321aA特征值有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可以对角化。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 20 页个人资料整理仅限学习使用14 / 20 解:2(2)(8183 )EAa因为有重根,所以(12是281830a的解,得:2a特征值为2,2,6当2时,123123123EA123000000得基础解系为1(2,1,0)T,2( 3,0,1)T当6时,523123121EA123011000101011000得基础解系:3( 1, 1,1)T因为有三个线性无关的特征向量,所以此时
25、矩阵能对角化。(2228183(4)a,得:23a。当2时,2312312313EA123010000得基础解系为1( 3,0,1)T当4时,2332310311EA103013000得基础解系为2( 3, 3,1)T因为只有二个线性无关的特征向量,所以矩阵不能对角化。例 9 (一/03 设矩阵PAPBBA*1,100101010,322232223,求EB2的特征值和特征向量。解:A的特征值与对应的特征向量分别为:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 20 页个人资料整理仅限学习使用15 / 20 1,1,7和123( 1
26、,1,0) ,( 1,0,1) ,(1,1,1)TTT所以*A特征值与对应的特征向量分别为:7,7,1和123( 1,1,0) ,( 1,0,1) ,(1,1,1)TTT而*A与B相似,所以二者的特征值相同。所以EB2的特征值为9,9,3由于11*11*1()()B PP A PPP AP,所以1P是B的特征向量。 (注意到1*BP A P和A知:B的特征向量可选1P,由此得:EB2的特征值为9,9,3对应的特征向量分别为:111123(1 , 1,0) ,( 1, 1,1) ,(0,1,1)TTTPPP例 10 (四/05设A为三阶矩阵,321,是线性无关的三维列向量,且满足3211A,32
27、22A,32332A(1 求矩阵B,使得BA),(),(321321;(2 求矩阵A的特征值; (3 求可逆阵P,使得APP1为对角阵。解:(11231232323(,)(,2,23)A123100(,) 122113所以100122113B。 (2 记123(,)C,则1CACB,因此求A的特征值转化为求B的特征值。B的特征值和对应的特征向量分别为:1,1,4和123( 1,1,0) ,( 2,0,1) ,(0,1,1)TTT记120101011D,则1(1,1,4)DBDdiag精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 20
28、 页个人资料整理仅限学习使用16 / 20 所以111(1,1,4)D C ACDD BDdiag,故PCD例 11 (一/01 已知三阶矩阵A与三维列向量X,使得向量组XAAXX2,线性无关 , 且 满 足XAAXXA2323。 (1 记),(2XAAXXP, 求B使 得1P B PA;(2EA。dvzfvkwMI1 解:(1 2(,)APA X AX A X2322(,)(,32)AX A X A XAX A XAXA X2000(,) 103012X AX A X000103012P故1000103012APP,即000103012B。(2 1()AEP BE P1PBEPBE10011
29、34011。例 12 (三/96 设矩阵210010000010010yA。(1已知A的一个特征值为3,试求y;(2求矩阵P,使得)()(APAPT为对角矩阵。解:(1 由 30EA得:2y。(2 由于A是对称矩阵,所以2A也对称。可以求出正交矩阵P,使得1PAP是对角矩阵,则P即为所求。具体的计算略。例 13 (一/95 设三阶实对称矩阵A的特征值为1, 1321,对应于1的特征向量为T) 1 , 1 ,0(1,求A。解:设123(,)TXx xx是A的属于231的特征向量,则X与1正交。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,
30、共 20 页个人资料整理仅限学习使用17 / 20 所以230xx,得基础解系为23(1,0,0) ,(0, 1,1)TT。记0101102211022Q(正交矩阵,一般可以通过史密特正交化的方法得到,则1( 1,1,1)Q AQdiag所以1( 1,1,1)( 1,1,1)TAQdiagQQdiagQ。练习: 1、 (三/97 设三阶实对称矩阵A的特征值是3, 2, 1;矩阵A的属于特征值1、2的特征向量分别为TT) 1,2, 1(,)1 , 1, 1(21。(1 求A的属于特征值 3的特征向量; (2 求矩阵A。rqyn14ZNXI 解:设3123(,)Tx xx是A的属于 3的特征向量,
31、则3与12,正交。故123123020xxxxxx,下略。2、(四/04 设三阶实对称矩阵A的秩为 2,621是 A 的二重特征值,若TTT)3,2, 1(,) 1 , 1 , 2(,)0, 1 , 1(321都是 A 的属于特征值6 的特征向量,(1求A的另一特征值和对应的特征向量;(2求矩阵A。EmxvxOtOco 解:因为A的秩为 2,所以0A,因此至少有一个特征值为0,故另一特征值为 0。其余同上,略。例 14(三、四 /07 设三阶对称矩阵A三个特征值分别为1,2,2,1(1 , 1,1)T是A的属于1的特征向量,记534BAAE,(1 验证1是B的特征向量,并求B的特征值及特征向量
32、; (2 求B。SixE2yXPq5 解:(1 由A三个特征值分别为1,2,2得:B的特征值为2,1,1(比较完整的写法是:设是A的特征值,则5341是B的特征值,所以B的特征值为2,1,1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 20 页个人资料整理仅限学习使用18 / 20 53531111114(14 11)2BAA设123(,)Tx xx是B的对应特征值1的特征向量,且B是对称矩阵,所以与1正交,即1230xxx,由此解得:23(1,1,0) ,( 1,0,1)TT (2 记111110101P,211,则1PBP由此
33、得:011101110B。例 15 (一/02 设,A B为同阶矩阵, (1 如果,A B相似,试证它们的特征多项式相同;(2 举一个二阶方阵的例子说明(1的逆命题不成立; (3当,A B均为实对称矩阵时,试证 (1的逆命题成立。6ewMyirQFL 解:(1 因为,A B相似,所以存在P,使得1PAPB因此11()EBEPAPPEA PEA 。 (2 反例:1010,0111AB它们有相同的特征值,但是它们不相似。 (3 若,A B均为实对称矩阵,且它们的特征多项式相同,则,A B与同一对角矩阵相似,即存在,C D,使得1CAC,1DBD因此11CACDBD,得11DCACDB取1PCD,则
34、1PAPB,所以,A B相似。例16 ( 三 、 四 /06 设 三 阶 实 对 称 矩 阵A的 各 行 元 素 之 和 均 为3 ,12( 1,2, 1) ,(0, 1,1)TT是0AX的二个解, (1 求A的特征值和特征向量;(2 求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQ AQ;(3 求A及632AE。kavU42VRUs 解:记3(1,1,1)T,则由A的各行元素之和均为3 得:333A,所以 3 是A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 20 页个人资料整理仅限学习使用19 / 20 的特征值,3是其对应的特征向量。又由于1
35、23,相互正交,所以12,是A的另外二个特征值对应的特征向量,记i对应的特征向量是i(1,2i,由于0iA(1,2i,所以120。记123(,)Q(标准 正交化后,则1(0,0,3)Q AQdiag。余下略。例设A是n阶可逆矩阵,证明:如果A可以对角化,则1*,AA 都可对角化。证明:若A可以对角化,则存在可逆阵P,使得112(,)nP APdiag。又因为A可逆,所以0i。从而111112()(1/,1/,1/)nPA PP APdiag即1A可对角化。注意到*1|AA A,所以*11112|(|/,|/,|/)nPA PA PA PdiagAAA即*A也可对角化。例设,A B分别是,m n
36、阶矩阵,它们分别有,m n个不同的特征值。设( )f是矩阵A的 特 征 多 项 式 , 且()f B可 逆 , 证 明 对 任 意 的 mn 阶 矩 阵C, 都有0ACGB可对角化。y6v3ALoS89 证明:设12,m是矩阵A的 m个不同特征值,12,n是矩阵B的 n 个不同特征值,则由|0EACEGEB| |EAEB得矩阵G的特征值为1212,mn。由于j是矩阵B的特征值,所以()jf矩阵()f B的特征值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 20 页个人资料整理仅限学习使用20 / 20 又由于()f B可逆,所以()0jf。从而12,n不是矩阵A的特征值。因此矩阵G有 mn个不同的特征值。由此得矩阵G可对角化。申明:所有资料为本人收集整理,仅限个人学习使用,勿做商业用途。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 20 页