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1、1.3 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式不共线三点确定二次函数的表达式湘教版九年级下册第第1 1章章 二次函数二次函数解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c由已知得：由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：解方程得：因此：所求二次函数是：因此：所求二次函数是：a=2, b=-3, c=5y=2x2-3x+5例1.已知一个二次函数的图象过点（1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.二、思考探究，获取新知二、思考探究，获取新知求二次函数求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待的解析式，关键是求出待定系数定
2、系数a，b，c的值。的值。由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于列出关于a，b，c的方程组，并求出的方程组，并求出a，b，c，就就可以写出二次函数的解析式。可以写出二次函数的解析式。用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式一般式一般式：1.1.求经过三点求经过三点A A（-2-2，-3-3），），B B（1 1，0 0），），C C（2 2，5 5）的二次函数的）的二次函数的解析式解析式. . 分析分析 ：已知一般三点，：已知一般三点，用待定系数法设为一般式用待定系数法设为一般式求其解析式求其解析式. .xyo-31 1
3、 ABC5-3-4解：因为抛物线的顶点为（解：因为抛物线的顶点为（-1，-3），），所以，设所求的二次函数的解析式为所以，设所求的二次函数的解析式为 y=a(x1)2-3例例2.2.已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1 1，3 3），与），与y y轴的轴的交点为（交点为（0 0，5 5），求抛物线的解析式。），求抛物线的解析式。因为点（因为点（0，-5 ）在这个抛物线上，）在这个抛物线上，所以所以a-3=-5， 解得解得a=-2故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2-3即：即：y=2x2-4x5。顶点式顶点式2.2.已知抛物线的顶点为已知抛物线的顶点为D(-1D(
4、-1，-4)-4)，又经过点，又经过点C(2C(2，5)5)，求其解析式。求其解析式。分析：设分析：设抛物线的解析式为抛物线的解析式为 再根据再根据C C点坐标求出点坐标求出a a的值。的值。顶点式：xyo-31 1 ABC5-3-4顶点式顶点式y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k(a+k(a、h h、k k为常数为常数a a00).).1.1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-y=a(x-h)h)2 2+k.+k.2. 2. 特别地，当抛物线的顶点为原点
5、是，特别地，当抛物线的顶点为原点是，h=0,k=0,h=0,k=0,可设可设函数的解析式为函数的解析式为y=axy=ax2 2. .3.3.当抛物线的对称轴为当抛物线的对称轴为y y轴时，轴时，h=0,h=0,可设函数的解析式可设函数的解析式为为y=axy=ax2 2+k.+k.4.4.当抛物线的顶点在当抛物线的顶点在x x轴上时，轴上时，k=0k=0，可设函数的解析，可设函数的解析式为式为y=a(x-h)y=a(x-h)2 2. .所以设所求的二次函数为所以设所求的二次函数为y=a(x1)(x1)例例3.3.已知抛物线与已知抛物线与x x轴交于轴交于A A（1 1，0 0），），B B（1,
6、01,0）并经）并经过点过点M M（0,10,1），求抛物线的解析式？），求抛物线的解析式？又又 点点M( 0,1 )在抛物线上在抛物线上 a(0+1)(0-1)=1a(0+1)(0-1)=1解得：解得： a=-1a=-1故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=- (x1)(x-1)即：即：y=x2+1解：因为抛物线与解：因为抛物线与x轴的交点为轴的交点为A(1，0)，B(1，0) ，交点式交点式y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2) ) （a a、x x1 1、x x2 2为常数为常数a0a0） 当抛物线与当抛物线与x x轴有两个交点为（轴有两个交点为（x
7、x1 1,0,0）,(x,(x2 2,0),0)时，二次时，二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c可以转化为交点式可以转化为交点式y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2).).因此因此当抛物线与当抛物线与x x轴有两个交点为（轴有两个交点为（x x1 1,0,0）,(x,(x2 2,0),0)时，可设时，可设函数的解析式为函数的解析式为y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2) )，在把另一个点的坐标，在把另一个点的坐标代入其中，即可解得代入其中，即可解得a a，求出抛物线的解析式。，求出抛物线的解析式。 交点式交点式y=a(x-xy=
8、a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2). x). x1 1和和x x2 2分别是抛物线与分别是抛物线与x x轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线的轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线的对称轴对称，则直线对称轴对称，则直线 就是抛物线的对称轴就是抛物线的对称轴交点式交点式3. 3. 已知抛物线与已知抛物线与x x轴的两个交点为轴的两个交点为A(-3A(-3，0)0)、B(1B(1，0)0)，又经过点又经过点C(2C(2，5)5)，求其解析式。，求其解析式。求二次函数解析式的一般方法：求二次函数解析式的一般方法：已知图象上三点或三对的对应值，已知图象上三点或三对的对应值， 通常选
9、择一般式通常选择一般式已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点的坐标已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点的坐标 通常选择顶点式通常选择顶点式 已知图象与已知图象与x x轴的两个交点的横坐标轴的两个交点的横坐标x x1 1、x x2 2和另一个点的和另一个点的坐标坐标 通常选择交点式通常选择交点式 确定二次函数的解析式时，应该根据条件的确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式特点，恰当地选用一种函数表达式. . 四、师生互动，课堂小结四、师生互动，课堂小结 抛物线的图象经过（抛物线的图象经过（2，0)与（与（6，0）两点，其顶）两点，其顶点的纵坐标是点的纵坐标
10、是2，求它的函数关系式，求它的函数关系式解：解：由题意得由题意得 x= 顶点坐标为（顶点坐标为（4，2）设设y=a(x-4)2+2（2,0）0=4a+2a=-1/2 y =- 1/2 (x-4)2+2 y =- 1/2 x2+4x-6充分利用条件充分利用条件 合理选用以上三式合理选用以上三式4.4.已知抛物线的顶点为已知抛物线的顶点为A(-1A(-1，-4)-4)，又知它与，又知它与x x 轴的两个交轴的两个交点点B B、C C间的距离为间的距离为4 4，求其解析式。，求其解析式。例例4 4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为高度为16m16
11、m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系现把它的图形放在坐标系里里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 解：设抛物线的解析式为解：设抛物线的解析式为y=axy=ax2 2bxbxc c，根据题意可知抛物线经过根据题意可知抛物线经过(0(0，0)0)，(20(20，16)16)和和(40(40，0)0)三点三点 可得方程组可得方程组 通过利用给定的通过利用给定的条件列出条件列出a a、b b、c c的三元一次方程的三元一次方程组，求出组，求出a a、b b、c c的值，从而确定的值，从而确定函数的解析式，函数的解析式，过程较繁杂过程较繁杂. .c=0400
12、a+20b+c=161600a+40b+c=0三、运用新知，深化理解三、运用新知，深化理解设抛物线为设抛物线为y=a(x-20)y=a(x-20)2 21616 解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(0(0，0)0)在抛物线上，在抛物线上， 通过利用条件中的通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点和过原点选用顶点式求解，顶点式求解，方法比较灵活方法比较灵活 所求抛物线解析式为所求抛物线解析式为 方法二：方法二： 设抛物线为设抛物线为y=ax(x-40 ）解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(20，16)在抛物线上，在抛物线上， 选用交点式求解，选用交点式求解，方法灵活巧妙，过方法灵活巧妙，过程也较简捷程也较简捷 方法三：方法三：
