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1、学习必备欢迎下载高三数学总复习立体几何复习(1)一、基本知识回顾(1)重要的几何位置关系;平行与垂直。主要包括线线、线面、面面三种情况。证明的基本思路:一般情况下,利用判定定理。而构造满足判定定理的条件时一般采用性质定理,即利用性质定理逆推来寻找满足判定定理的条件(关键图形 )。一般的思路是:线线 线面 面面,即高维的位置关系借助低维的位置关系来证明(判定 ),低维位置关系作为高维位置关系的性质。下面列表说明证明的一般方法。(需要说明的是,表中的性质定理并不是该表格所判定的位置关系的性质定理。如表1 中的性质定理并不仅限于线线平行的性质。) 线线平行的判定:平行公理性质定理线面平行的判定:判定
2、定理性质定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页学习必备欢迎下载面面平行的判定;判定定理性质定理线面平行面面平行线线垂直的判定:判定定理性质定理线面垂直的判定:判定定理性质定理面面垂直的判定:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页学习必备欢迎下载判定定理总结:从中可以看出,一般情况下,往往借助一些“ 性质定理 ” 来构造满足 “ 判定定理 ”的条件。(2)还会考查到的位置关系:异面直线的判定。判定方法:定义(排除法与反证法)、判定定理。二、基本例
3、题例 1已知:分析:利用线面平行的性质与平行公理。注意严格的公理化体系的推理演绎。说明:过 l 分别作平面lm 同理 ln mn 又精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页学习必备欢迎下载又例 2.已知: AB 是异面直线a、b 的公垂线段, P 是 AB 的中点,平面经过点 P 且与AB 垂直,设M 是 a 上任意一点, N 是 b 上任意一点。求证:线段MN 与平面的交点 Q 是线段 MN 的中点。分析:利用线线平行、线面平行的性质。证明:连结BM,设,连结 PR,QR 在平面 ABM 中, ABPR,AB AM AM
4、 PR,且 R 为 BM 中点同理可证BN 平面 BMN 且平面BNRQ BMN 中,由 R 为 BM 中点可知Q 为 MN 中点。例 3.已知 PA矩形 ABCD 所在的平面,M、N 分别是 AB 、PC 的中点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页学习必备欢迎下载(1)求证: MN 平面 PAD;(2)求证: MN CD 分析:利用性质定理来构造满足判定定理的条件。(1)法一:取 PD 中点 E,连结 NE,AE PCD 中 NE,又 AM, AMNE 四边形 AMNE 为平行四边形,MN AE MN 平面 PAD
5、 法二:连结CM 并延长与DA 延长线交于F,连结 PF M 为 CF 中点, MN PF, MN 平面 PAD 法三:取 CD 中点 G,连结 NG,MG NGPD,MG AD ,平面AD 平面 MNG MN 平面 PAD (2)PA平面 ABCD , PACD 又 CDAD , CD平面 PAD 由(1)知 CDAE( 或 PF), CDMN 或 CD平面 MNG , CDMN 例 4.已知:正三棱柱ABC-A1B1C1中, M 是 BB1上一点,平面AMC1平面 A1ACC1,N 是 A1C1的中点, P 是 A1A 的中点,求证:平面AMC1平面 B1NP 精选学习资料 - - - -
6、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页学习必备欢迎下载证明:在平面AMC1中作 MD AC1MD 平面 ACC1A1由正三棱柱的性质,B1N平面 ACC1A1MD B1N 又A1AC1中, DN AC1且 AC1MD=D ,DN B1N=N 平面 AMC1B1NP 例 5如图,四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为正方形, PA平面 ABCD 。过 A 且垂直于 PC 的平面分别交PB、PC、PD 于 E、F、 G。求证: AEPB,AGPD 分析:利用线面垂直的性质。证明: PA平面 ABCD , PABC 由已知 BCAB , BC平面 PA
7、B, BCAE PC平面 AGFE , PCAE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页学习必备欢迎下载AE平面 PBC AEPB,同理 AGPD 例 6.已知:三棱锥A-BCD ,AO1平面 BCD, O1为垂足,且O1是BCD 的垂心。求证: D 在平面 ABC 上的射影是 ABC 的垂心。分析:利用线面垂直的性质。证明:连结DO1,AO1设 D 在平面 ABC 内的射影为O2,连结 DO2,AO2,AO1平面 BCD , DO1为 AD 在平面 BCD 内射影同理 AO2为 AD 在平面 ABC 内射影O1为 BC
8、D 的垂心DO1BC BCAD BCAO2同理 AB CO2O2为ABC 的垂心例 7已知:正三棱柱ABC-A1B1C1中, AB1BC1,求证: A1CAB1分析:三垂线定理的逆定理的应用(线面垂直的性质) 证明:取 AB 、A1B1中点 DD1,连结 A1D,CD, C1D1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页学习必备欢迎下载由正三棱柱的性质C1D1平面 ABB1A1,CD平面 ABB1A1,A1D、BD1分别为 A1C 与 BC1在平面 ABB1A1内的射影AB1BC1, AB1BD1。在矩形 ABB1A1中 A1DBD1, AB1A1D AB1A1C 例 8如图, PA平面 ABCD ,四边形ABCD 是矩形, PA=AD=a ,M、N 分别是 AB 、PC 的中点。求证:平面MND 平面 PCD。证明:取 PD 中点 E,连结 NE 、AE 由例 3,MN AE, CDMN ,CD平面 PAD PA平面 ABCD PAAD 等腰 Rt PAD 中 AEPD RtPCD 中 NECD, NEPD PD平面 MNEA , PDMN MN 平面 PCD 平面 MND 平面 PCD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页