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1、学习必备欢迎下载二次函数综合题 等腰三角形一解答题(共30 小题)1 ( 2014?新余模拟)如图,已知二次函数图象的顶点为(1, 3) ,并经过点C( 2,0) (1)求该二次函数的解析式;(2)直线 y=3x 与该二次函数的图象交于点B(非原点),求点 B 的坐标和 AOB 的面积;(3)点 Q 在 x 轴上运动,求出所有AOQ 是等腰三角形的点Q 的坐标2 (2014 秋?怀宁县校级月考)如图,二次函数y= x2+mx+3 的图象与y 轴交于点A,与 x轴的负半轴交于点B,且 AOB 的面积为6(1)求该二次函数的表达式;(2)如果点P 在 x 轴上,且 ABP 是等腰三角形,请直接写出
2、点P的坐标3 ( 2011?淮安)如图已知二次函数y=x2+bx+3 的图象与x 轴的一个交点为A(4,0) ,与 y 轴交于点 B(1)求此二次函数关系式和点B 的坐标;(2)在 x 轴的正半轴上是否存在点P使得 PAB 是以 AB 为底边的等腰三角形?若存在,求出点 P的坐标;若不存在,请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页学习必备欢迎下载4 (2014?曲靖模拟)如图,已知二次函数y=ax24x+c 的图象与坐标轴交于点A( 1,0)和点 C(0, 5) (1)求该二次函数的解析式和它与x 轴的另一个交
3、点B 的坐标(2)在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P(2, 2) ,连接 OP,找出 x 轴上所有点M 的坐标,使得 OPM 是等腰三角形5 (2008 秋?密云县期末)已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象分别经过点(0,3) (3,0) (2, 5) ,(1)求这个二次函数的解析式;(2)若这个二次函数的图象与x 轴交于点C、D(C 点在点 D 的左侧),且点 A 是该图象的顶点,请在这个二次函数的对称轴上确定一点B,使 ABC 是等腰三角形,求出点B 的坐标6 (2008?海淀区二模)已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象分别经过点(0,3) , (3,0) , (2, 5) 求
4、:(1)求这个二次函数的解析式;(2)求这个二次函数的最值;(3)若设这个二次函数图象与x 轴交于点C,D(点 C 在点 D 的左侧),且点 A 是该图象的顶点,请在这个二次函数的对称轴上确定一点B,使 ACB 是等腰三角形,求出点B 的坐标7 ( 2006?松江区二模)如图,已知二次函数y=x2+bx+c (c 0)的图象经过点A( 2,m)(m0) ,与 y 轴交于点B,ABx 轴,且 3AB=2OB (1)求 m 的值;(2)求二次函数的解析式;(3)如果二次函数的图象与x 轴交于 C、D 两点(点 C 在左恻)问线段 BC 上是否存在点P,使 POC 为等腰三角形?如果存在,求出点P
5、的坐标;如果不存在,请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页学习必备欢迎下载8 ( 2010 秋?永新县校级月考)已知二次函数y=( x1) (x4)的图象与x 轴交于 A、 B两点( A 在 B 的左边),与 y 轴交于点C(1)求出 A、B、C 三点的坐标;(2)求 ABC 的面积;(3)在 y 轴上是否存在点P,使 P、A、C 能组成以AC 为腰的等腰三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由9 ( 2013?德宏州)如图,已知直线y=x 与抛物线交于 A、B 两点(1)求交点A、B 的坐标;
6、(2)记一次函数y=x 的函数值为y1,二次函数的函数值为y2若 y1 y2,求 x 的取值范围;(3)在该抛物线上存在几个点,使得每个点与AB 构成的三角形为等腰三角形?并求出不少于 3 个满足条件的点P 的坐标10 (2014?曲阜市模拟)设二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象与x 轴的两个交点A(x1,0) , B(x2, 0) ,抛物线的顶点为C,显然 ABC 为等腰三角形(1)当 ABC 为等腰直角三角形时,求b24ac的值;(2)当 ABC 为等边三角形时,求b24ac 的值11 (2015?赤峰)已知二次函数y=ax2+bx3a 经过点 A( 1,0) 、C(0,3) ,
7、与 x 轴交于另一点 B,抛物线的顶点为D(1)求此二次函数解析式;(2)连接 DC、BC、DB ,求证: BCD 是直角三角形;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页学习必备欢迎下载(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得 PDC 为等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由12 (2013 秋?本溪期末)如图,在平面直角坐标系xOy 中,二次函数y=x2+bx+c 的图象与 x 轴相交于点A( 4,0) ,与 y 轴相交于点B(0, 4) ,动点 C 是从点 A 出发,向O 点运动,
8、到达0 点时停止运动,过点C 作 ECx 轴,交直线AB 于点 D,交抛物线于点E(1)求二次函数的解析式;(2)连接 OE 交 AB 于 F 点,连接 AE,在动点 C 的运动过程中, 若AOF 的面积是 AEF面积的 2 倍,求点 C 的坐标?(3)在动点C 的运动过程中,DEF 能否为等腰三角形?若能,请直接写出点F的坐标;若不能,请说明理由13 (2011?临川区模拟)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过三点A( 1, 0) ,B(3,0) ,C(0, 3) ,它的顶点为M,且正比例函数y=kx 的图象与二次函数的图象相交于 D、E 两点(1)求该二次函数的解析式和顶点M
9、 的坐标;(2)若点 E 的坐标是( 2, 3) ,且二次函数的值小于正比例函数的值时,试根据函数图象求出符合条件的自变量x 的取值范围;(3)试探究:抛物线的对称轴上是否存在点P,使 PAC 为等腰三角形?如果存在,请直接写出点 P 的坐标;如果不存在,请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页学习必备欢迎下载14 (2006?孝感)如图,已知二次函数y=x2+bx+c 的图象与x 轴只有一个公共点M,与 y轴的交点为A,过点 A 的直线 y=x+c 与 x 轴交于点N,与这个二次函数的图象交于点B(1)求点
10、A、B 的坐标(用含b、 c 的式子表示) ;(2)当 SBMN=4SAMN时,求二次函数的解析式;(3)在(2)的条件下,设点P为 x 轴上的一个动点,那么是否存在这样的点P,使得以 P、A、M 为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请写出符合条件的所有点P的坐标; 若不存在,请说明理由15 (2011?东营模拟)如图,已知二次函数y=x2+bx+c(c0)的图象与x 轴交于 A、B两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点C,且 OB=OC=3 ,顶点为M(1)求二次函数的解析式;(2)点 P为线段 BM 上的一个动点,过点P作 x 轴的垂线PQ,垂足为Q,若 OQ=m,四边形 AC
11、PQ 的面积为S,求 S 关于 m 的函数解析式,并写出m 的取值范围;(3)探索:线段BM 上是否存在点N,使 NMC 为等腰三角形?如果存在,求出点N 的坐标;如果不存在,请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页学习必备欢迎下载16 (2010?徐州)如图,已知二次函数y=的图象与 y 轴交于点A,与 x 轴交于 B、C 两点,其对称轴与x 轴交于点D,连接 AC (1)点 A 的坐标为,点 C 的坐标为;(2)线段 AC 上是否存在点E,使得 EDC 为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点 E 的坐标
12、;若不存在,请说明理由;(3)点 P为 x 轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,若所得 PAC 的面积为S,则 S 取何值时,相应的点P有且只有2 个?17 (2011?呼伦贝尔)如图,已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x 轴相交于点A、C,与 y轴相交于点B,A() ,且 AOB BOC(1)求 C 点坐标、 ABC 的度数及二次函数y=ax2+bx+3 的关系式;(2)在线段AC 上是否存在点M(m,0) 使得以线段BM 为直径的圆与边BC 交于 P 点(与点 B 不同),且以点 P、 C、O 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由18 (2
13、013?廊坊一模)如图,二次函数y=ax2+x+c 的图象与x 轴交于点A、B 两点,且A点坐标为( 2,0) ,与 y 轴交于点 C(0,3) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页学习必备欢迎下载(1)求出这个二次函数的解析式;(2)直接写出点B 的坐标为;(3)在 x 轴是否存在一点P,使ACP 是等腰三角形?若存在,求出满足条件的P 点坐标;若不存在,请说明理由;(4)在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q,使得四边形ABQC 的面积最大?若存在,请求出 Q 点坐标及面积的最大值;若不存在,请说明理由19 (20
14、12?景宁县模拟) 已知二次函数y=x2+4x+5 图象交 x 轴于点 A、B,交 y 轴于点 C,点 D 是该函数图象上一点,且点D 的横坐标为4,连 BD ,点 P是 AB 上一动点(不与点A重合) ,过 P 作 PQAB 交射线 AD 于点 Q,以 PQ 为一边在 PQ 的右侧作正方形PQMN 设点 P 的坐标为( t,0) (1)求点 B,C, D 的坐标及射线AD 的解析式;(2)在 AB 上是否存在点P,使 OCM 为等腰三角形?若存在,求正方形PQMN 的边长;若不存在,请说明理由;(3)设正方形PQMN 与ABD 重叠部分面积为s,求 s 与 t 的函数关系式20 (2013?
15、徐州)如图,二次函数y=x2+bx的图象与 x 轴交于点A( 3,0)和点 B,以 AB 为边在 x 轴上方作正方形ABCD ,点 P 是 x 轴上一动点,连接DP,过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于点E(1)请直接写出点D 的坐标:;(2)当点 P 在线段 AO (点 P 不与 A、O 重合)上运动至何处时,线段OE 的长有最大值,求出这个最大值;(3) 是否存在这样的点P, 使PED 是等腰三角形?若存在,请求出点 P的坐标及此时 PED与正方形 ABCD 重叠部分的面积;若不存在,请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
16、 7 页,共 13 页学习必备欢迎下载21 (2013?鞍山一模)如图,已知二次函数y=ax2+bx+8(a 0)的图象与x 轴交与 A,B 两点,与 y 轴交与点C,已知点A 的坐标为( 2,0) ,sinABC=,点 D 是抛物线的顶点,直线 DC 交 x 轴于点 E(1)求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标;(2)在直线 CD 上是否存在一点Q,使以 B,C,Q 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)点 P是直线 y=2x4 上一点,过点P 作直线 PM 垂直于直线CD,垂足为M,若MPO=75 ,求出点P 的坐标22 (2013?菏泽)如
17、图,三角形ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形,点A、 C 分别是一次函数 y=x+3 的图象与y 轴、 x 轴的交点,点B 在二次函数的图象上,且该二次函数图象上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形(1)试求 b,c 的值,并写出该二次函数表达式;(2)动点 P 从 A 到 D,同时动点Q 从 C 到 A 都以每秒1个单位的速度运动,问: 当 P 运动到何处时,有PQAC ? 当 P 运动到何处时,四边形PDCQ 的面积最小?此时四边形PDCQ 的面积是多少?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页学习必备
18、欢迎下载23 (2014?北塘区二模)已知二次函数y=mx25mx+1(m 为常数, m 0) ,设该函数图象与 y 轴交于点 A,图象上一点B 与点 A 关于该函数图象的对称轴对称(1)求点 A、B 的坐标;(2)点 O 为坐标原点,点M 为函数图象的对称轴上一动点,求当M 运动到何处时 MAO的周长最小;(3)若该函数图象上存在点P 与点 A、B 构成一个等腰三角形,且PAB 的面积为10,求m 的值24 (2015?黔东南州)如图,已知二次函数y1=x2+x+c 的图象与x 轴的一个交点为A(4,0) ,与 y 轴的交点为B,过 A、B 的直线为y2=kx+b (1)求二次函数y1的解析
19、式及点B 的坐标;(2)由图象写出满足y1 y2的自变量x 的取值范围;(3)在两坐标轴上是否存在点P,使得 ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形?若存在,求出 P 的坐标;若不存在,说明理由25 (2015?曲靖一模)如图,直线y=x+2 与 x 轴交于点B,与 y 轴交于点C,已知二次函数的图象经过点B、C 和点 A( 1,0) (1)求 B、C 两点坐标;(2)求该二次函数的关系式;(3) 若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D, 则在抛物线的对称轴上是否存在点P, 使PCD是以 CD 为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P 点的坐标;如果不存在,请说明理由;精选学习资料 - - - -
20、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页学习必备欢迎下载(4)点 E 是线段 BC 上的一个动点,过点E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点F,当点 E 运动到什么位置时,四边形CDBF 的面积最大?求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标26 (2014?怀集县二模)如图,ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形,点A、C 分别是一次函数 y=x+3 的图象与y 轴、 x 轴的交点,点B 在二次函数y=x2+bx+c 的图象上,且该二次函数图象上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形(1)试求点B、D 的坐标,并求出该二次函数的解析式
21、;(2)P、Q 分别是线段AD 、CA 上的动点,点P 从 A 开始向 D 运动,同时点Q 从 C 开始向 A 运动,它们运动的速度都是每秒1 个单位,求: 当 P 运动到何处时,APQ 是直角三角形? 当 P 运动到何处时,四边形PDCQ 的面积最小?此时四边形PDCQ 的面积是多少?27 (2015?铜仁市)如图,关于x 的二次函数y=x2+bx+c 的图象与x 轴交于点A(1,0)和点 B 与 y 轴交于点C(0, 3) ,抛物线的对称轴与x 轴交于点D(1)求二次函数的表达式;(2)在 y 轴上是否存在一点P,使 PBC 为等腰三角形?若存在请求出点P 的坐标);(3)有一个点M 从点
22、 A 出发,以每秒1 个单位的速度在AB 上向点 B 运动,另一个点N从 点 D 与点 M 同时出发,以每秒2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M 到达点 B 时,点 M、N 同时停止运动,问点M、N 运动到何处时, MNB 面积最大,试求出最大面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页学习必备欢迎下载28 (2015?丹东)如图,已知二次函数y=ax2+x+c 的图象与y 轴交于点A(0, 4) ,与 x轴交于点 B、C,点 C 坐标为( 8,0) ,连接 AB、AC (1)请直接写出二次函数y=ax2+x
23、+c 的表达式;(2)判断 ABC 的形状,并说明理由;(3)若点 N 在 x 轴上运动,当以点A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时,请直接写出此时点 N 的坐标;(4)若点 N 在线段 BC 上运动(不与点B、C 重合) ,过点 N 作 NMAC ,交 AB 于点 M,当AMN 面积最大时,求此时点N 的坐标29 (2013?无锡)如图,直线x=4 与 x 轴交于点E,一开口向上的抛物线过原点交线段OE 于点 A,交直线x=4 于点 B,过 B 且平行于x 轴的直线与抛物线交于点C,直线 OC交直线 AB 于 D,且 AD : BD=1: 3(1)求点 A 的坐标;(2)若 OBC 是等
24、腰三角形,求此抛物线的函数关系式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页学习必备欢迎下载30 (2014?遵义)如图,二次函数y=x2+bx+c 的图象与x 轴交于 A(3,0) ,B( 1,0) ,与 y 轴交于点 C若点 P,Q 同时从 A 点出发,都以每秒1 个单位长度的速度分别沿AB ,AC 边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动(1)求该二次函数的解析式及点C 的坐标;(2)当点 P运动到 B 点时,点 Q 停止运动,这时,在x 轴上是否存在点E,使得以 A,E,Q 为顶点的三角形为等腰三角形?若存
25、在,请求出E 点坐标;若不存在,请说明理由(3)当 P,Q 运动到 t 秒时, APQ 沿 PQ 翻折,点A 恰好落在抛物线上D 点处,请判定此时四边形APDQ 的形状,并求出D 点坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页学习必备欢迎下载二次函数综合题 等腰三角形参考答案一解答题(共30 小题)1; 2; 3; 4; 5; 6;7; 8; 9; 10;11;12;13;14;15;16 (0,4) ;(8,0) ;17;18 (6,0) ;19;20 (-3,4) ;21;22;23;24;25;26;27;28;29;30;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页