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1、 平面向量的线性运算平面向量的线性运算1.1.向量、平行向量、相等向量的含义分向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？别是什么？2.2.用有向线段表示向量，向量的大小和用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和单方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？位向量？3.3.两个实数可以相加，从而给数赋予了两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵新的内涵. .如果向量仅停留在概念的层面如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的上，那是没有多大意义的. .我们希望两个我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需
2、要建立相提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则关的原理和法则. .探究一：向量加法的几何运算法则探究一：向量加法的几何运算法则 思考思考1 1：如图，某人从点：如图，某人从点A A到点到点B B，再从点，再从点B B按按原方向到点原方向到点C C，则两次位移的和可用哪个向量，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？表示？由此可得什么结论？A B C思考思考2 2：如图，某人从点：如图，某人从点A A到点到点B B，再从点，再从点B B按按反方向到点反方向到点C C，则两次位移的和可用哪个向量，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？表示？由此可得什么结论？A B
3、C探究二：向量减法的含义探究二：向量减法的含义思考思考1 1：两个相反向量的和向量是什么？两个相反向量的和向量是什么？向量向量a的相反向量可以怎样表示？的相反向量可以怎样表示？思考思考2 2：a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？的相反向量是什么？规定：零向量的相反向量仍是零向量规定：零向量的相反向量仍是零向量.（a）=aa在实数的运算中，减去一个数等于加上这个在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数数的相反数. .据此原理，向量据此原理，向量ab可以怎样理可以怎样理解？解？两个向量的差还是一个向量吗？两个向量的差还是一个向量吗？向量向量a加上向量加上向量
4、b的相反向量，叫做的相反向量，叫做a与与b的差向量，求两个向量的差的运算叫做的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量向量的减法，对于向量a，b，c，若，若a+cb，则，则c等于什么？等于什么？ 定义：定义：aba（b）.a+c b c = b a探究三：向量的数乘运算及其几何意义探究三：向量的数乘运算及其几何意义已知非零向量已知非零向量a，如何求作向量，如何求作向量aaa和（和（a）（）（a） （a）？）？aaaaO OM MN NP P （a）（a）（a）向量向量aaa和（和（a）（a）（）（a）分别如何简化其表示）分别如何简化其表示形式？形式？ aaa记为记为3a，（a）（a
5、）（a）记为记为3a.向量向量3 3a和和3 3a与向量与向量a的大小和方向有的大小和方向有什么关系？什么关系？aaO OaaA AB BC CaaaO OM MN NP P设设a为非零向量，那么为非零向量，那么 a和和 a还是向还是向量吗？它们分别与向量量吗？它们分别与向量a有什么关系？有什么关系？aaa一般地，我们规定：实数一般地，我们规定：实数与向量与向量a的积的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘是一个向量，这种运算叫做向量的数乘. .记作记作a，该向量的长度与方向与向量，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？有什么关系？（1 1）|a|=|=|a| |；（2 2）0 0时时,a与与a
6、方向相同；方向相同； 0 0时时,a与与a方向相反；方向相反； =0=0时时,a =0.=0.探究四探究四: :向量的数乘运算性质向量的数乘运算性质 你认为你认为2 2（5 5a），），2 2a2 2b， a可分别转化为什么运算？可分别转化为什么运算？-2-2 (5(5a)= -10)= -10a ；2 2a 2 2b = b = 2(2(a+ +b) )； (3(3 ) )a =3 =3a a. .一般地，设一般地，设，为实数，则为实数，则(a) )，() a，(ab) )分别等于什分别等于什么？么？(a)=()=() a ；() a = =a a； (a b)=)=ab. .对于向量对于向
7、量a（a00）和）和b，若存在实数，若存在实数，使，使b=a，则向量，则向量a与与b的方向有什的方向有什么关系？么关系？若向量若向量a（a00）与）与b共线，则一定存在共线，则一定存在实数实数，使，使b=a成立吗？成立吗？综上可得向量共线定理：向量综上可得向量共线定理：向量a（a00）与与b共线，当且仅当有唯一一个实数共线，当且仅当有唯一一个实数，使，使b=a. . 若若a0 0，上述定理成立吗？，上述定理成立吗？若存在实数若存在实数，使，使 ，则，则A A、B B、C C三点的位置关系如何？三点的位置关系如何？如图，若如图，若P P为为ABAB的中点，则的中点，则 与与 、 的关系如何？的关
8、系如何？A AB BP PO O向量的加、减、数乘运算统称为向量的向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量线性运算，对于任意向量a、b，以及任，以及任意实数意实数、x x、y y，(x(xay yb）可转化为）可转化为什么运算？什么运算？ (x(xay yb b）=x=xayyb b. . 理论迁移理论迁移 例例1 1 计算计算（1 1）（）（3 3）4 4a； （2 2）3 3（ab b）2 2（ab b）a；（3 3）（）（2 2a3 3b bc）（）（3 3a2 2b bc c）. .2b3babO O例例2 2 如图，已知任意两个非零向量如图，已知任意两个非零向量a，
9、b b，试作试作 = =ab b， = =a2 2b b， = =a3 3b b. .你能判断你能判断A A、B B、C C三点之三点之间的位置关系吗？为什么？间的位置关系吗？为什么？abA AB BC C小结作业小结作业1.1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量，实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减但实数与向量不能相加、相减. .实数除实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量是数乘向量. .2.2.若若a=0=0，则可能有，则可能有=0=0，也可能有，也可能有a=0.=0.3.3.向量的数乘运算律，不是规定，而是向量的数乘运算律，不是规定，而是可以证明的结论可以证明的结论. .向量共线定理是平面向量共线定理是平面几何中证明三点共线，直线平行，线段几何中证明三点共线，直线平行，线段数量关系的理论依据数量关系的理论依据. .
