《2022年二次函数的竞赛题型及其解题策略》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年二次函数的竞赛题型及其解题策略（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载二次函数的竞赛题型及其解题策略二次函数是初中数学的重要内容，由于它题材丰富，又易成为多种数学思想方法的载体，因此，深受各级各类竞赛命题者的亲睐，成为近几年各地竞赛的热点问题之一本文拟对二次函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括，仅供大家参考一、二次函数的系数a、b、c 及相关代数式的取值问题抛物线 y=ax2+bx+c 中二次项系数 a 描述抛物线的开口， a0 向上，a0 时交点处 x 轴上方， c0设抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，即 x1、x2为方程 ax2+bx+c=0的两个根，由题设x1x20 知ac0，所以 c0，故 b0故选 (A) 二、二次函数
2、与整数问题二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数a、b、c 为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等解题时往往要用到一些整数的分析方法例 2 已知二次函数f ( x)=ax2+bx+c 的系数a、b、 c 都是整数，并且f (19)= f (99)=1999 ，| c|1000，则 c= 解： 由已知f(x)=ax2+bx+c， 且f(19)=f(99)=1999 ， 因此可设f(x)=a(x19)(x99)+1999，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页精品资料欢迎下载所以 ax2+bx+c=a(x19)( x99)
3、+1999 =ax2(19+99) x+1999a+1999，故 c=1999+1881 a因为| c|1000，a 是整数， a0，经检验，只有a=1 满足，此时 c=19991881=118例 3 已知 a，b，c 是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个不同的交点 A，B，若 A、B到原点的距离都小于1，求 a+b+c的最小值解：设 A、B 的坐标分别为A(x1，0)，B(x2，0) ，且 x1x2，则 x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根, 0,02121acxxabxxx10，x20，b2ac|OA|=| x1|1 ，|OB|=| x2|1 ，即 1x1，x2
4、0，ac=x1x21，c0，a(1)2+b(1)+c0，即a+cbb，a+c 都是整数， a+cb+1 由，得 a+c2ac+1，(ca)21，又由知，ca1，ca+1，即 a(c+1)2(1+1)2=4 a5，又 b2ac2154，b5取 a=5，b=5，c=1时，抛物线 y=5x2+5x+1 满足题意故 a+b+c的最小值为 5+5+1=11 三、二次函数的图象与面积问题求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积，关键是用含系数a、b、c 的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
5、 - -第 2 页，共 6 页精品资料欢迎下载题与系数 a、b、c 建立联系例 4 如果 y=x2( k1)xk1 与 x 轴的交点为 A， B， 顶点为 C ， 那么ABC的面积的最小值是（）A、1 B、2 C、3 D、4 解：由于 =(k1)2+4(k+1)=( k+1)2+40，所以对于任意实数k，抛物线与 x轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为x1，x2，则：|AB|=524)()(221221221kkxxxxxx又抛物线的顶点 c 坐标是 (452,212kkk) ，因此 SABC=52212kk322)52(81452kkkk因为 k2+2k+5=(k+1)2+44，当 k=1
6、 时等于成立，所以， SABC14813，故选 A四、二次函数的最值问题定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值 ) 如果顶点横坐标在区间内，则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值；如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值例 5 已知二次函数 y=x2x2 及实数 a2求：(1) 函数在 2xa 的最小值；(2) 函数在 axa+2的最小值解：函数 y=x2x2 的图象如图 1 所示(1) 若2a21，当 x=a 时，y最小值=a2a2 若 a21，当 x=21时，y最小值
7、=492 1 1 2 0 x y )49,21(图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页精品资料欢迎下载(2) 若2a 且 a+221，即 2a23，当 x=a+2 时，y最小值=(a+2)2(a+2)2=a2+3a，若 a21a+2，即23a21，当 x=21时，y最小值=49若 a21，当 x=a 时，y最小值=a2a2例 6 当| x+1|6时，函数 y=x| x| 2x+1的最大值是解：由 | x+1|6，得7 x5，当 0x5 时，y=x22x+1=(x1)2，此时y最大值=(51)2=16当7x0，y=
8、x22x+1=2(x+1)2，此时y最大值=2因此，当 7x5 时，y 的最大值是 16说明：对于含有绝对值的二次函数， 通常是先分区间讨论， 去掉绝对值符号，求出各区间的最值，然后通过比较得出整个区间函数的最值五、二次函数及其图像的应用有些方程及不等式等有关问题， 直接求解十分困难， 若能构造二次函数关系，借助函数图像使之形象化，直观化，以形助数，会简化求解过程例 7 当 a 取遍 0 到 5 的所有实数时，满足3b=a(3a8)的整数 b 有几个？解：由 3b=a(3a8)有 b=a238a，即b=(a916)342，因为，当 a=0时，b=0 时；当 a=5时，b=1132利用二次函数图
9、象可知916b1132所以 b 可取到的整数值为 1，0，1， 11，共有 13个例 8 已知 a0，且acb42=b2ac，求 b24ac 的最小值解： 令 y=ax2+bx+c， 由于 a0，则= b24ac0，所以，此二次函数的图像是如图2 所示的一条开口向下的抛物线，且与x 轴有两个不同的交点 A(x1，0)，B(x2，0)A B O x1x2 y x C(0， c) 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页精品资料欢迎下载因为 x1x2=ac0，不妨设 x1x2，则 x100 B、M =0 C 、M 0，
10、且 x=73时 y0答案：4) 5、已知函数y=(a+2)x22(a21)x+1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求 x 为何值时，函数值最小1 O 1 x y 图 3 A B y x O y=2x+3 图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页精品资料欢迎下载(答案： x=,4, 1,4, 32,41, 1,1, 1时当时当或时当时当aaaaaa( 其中 a 为正整数 ) ，函数值最小6、 已知关于 x 的方程 x2(2m 3)x+m 4=0的二根为 1， 2， 且满足 310，求 m的取值范围 ( 答案：5674m) 7、已知关于正整数n 的二次式 y=n2+an( a 为实数 ) ，若当且仅当n=5 时，y有最小值，则实数a 的取值范围是(答案： 11a9) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
