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1、优秀教案欢迎下载二次函数一、知识点梳理1. 定义： 一般地， 如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数 . 2. 二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线 . 二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，a0 a0 y 0 x y 0 x （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2） 对称轴是 x=ab2， 顶点坐标是（ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时， y 随 x 的增大而增大（4）抛物线有最低点，当x=ab2时， y 有最小值，abacy442最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2） 对称轴是x
2、=ab2， 顶点坐标是 （ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时， y 随 x 的增大而减小（4）抛物线有最高点，当x=ab2时， y 有最大值，abacy442最大值3.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页优秀教案欢迎下载（2）顶点式：khxay2. 已知图像的顶点或对称轴以及最值，通常选择顶点式. 求抛物线的顶点、对称轴的方法：abacabxacbxaxy442222，顶点是）
3、，（abacab4422，对称轴是直线abx2. （ 3） 交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x， 通常选用交点式：21xxxxay抛 物 线 与x轴 两 交 点 之 间 的 距 离 ： 若 抛 物 线cbxaxy2与x轴 两 交 点 为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB4442221221221214.抛物线cbxaxy2中，cba,的作用（1）a决定开口方向及开口大小：a0，开口向上；a0，开口向上，又 y=x2x+m=x2x+（12）214+m=（x12）2+414m对称轴是直线x=12
4、，顶点坐标为（12，414m）（2）顶点在x 轴上方，顶点的纵坐标大于0，即414m0 m14m14时，顶点在x 轴上方（3）令 x=0，则 y=m即抛物线y=x2x+m 与 y 轴交点的坐标是A（0，m）ABx 轴B 点的纵坐标为m当 x2x+m=m 时，解得x1=0，x2=1A（0，m）， B（ 1，m）在 RtBAO 中， AB=1 ，OA= mSAOB =12OA AB=4 12m 1=4， m=8 故所求二次函数的解析式为y=x2x+8 或 y=x2x8【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a，b，c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本精选学习资料 - - - - - - - - -
5、 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页优秀教案欢迎下载题的关键之处例 2 已知： m，n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根，且mn，抛物线 y=x2+bx+c 的图像经过点 A（ m，0）， B（ 0，n），如图所示（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（ 1）中的抛物线与x 轴的另一交点为C，抛物线的顶点为 D，试求出点C，D 的坐标和 BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上的一点，过点P 作 PHx 轴，与抛物线交于 H 点，若直线BC 把 PCH 分成面积之比为2：3 的两部分，请求出 P 点的坐标【分析】（ 1）解方程求出m，n 的值用待定系数法求出
6、b， c 的值（2）过 D 作 x 轴的垂线交x 轴于点 M，可求出 DMC ，梯形 BDBO ， BOC 的面积，用割补法可求出BCD 的面积（3）PH 与 BC 的交点设为E 点，则点E 有两种可能：EH=32EP， EH=23EP【解答】（ 1）解方程x26x+5=0，得 x1=5，x2=1由 mn，有 m=1，n=5所以点 A，B 的坐标分别为A（1， 0）， B（0，5）将 A（1，0）， B（0，5）的坐标分别代入y=x2+bx+c ，得10,5bcc解这个方程组，得4,5bc所以抛物线的解析式为y=x24x+5（2）由 y=x24x+5，令 y=0，得 x2 4x+5=0解这个方
7、程，得x1= 5，x2=1所以点 C 的坐标为（ 5，0），由顶点坐标公式计算，得点D（ 2，9）过 D 作 x 轴的垂线交x 轴于 M，如图所示则 SDMC=129（ 52）=272S梯形MDBO=122（ 9+5）=14，SBDC =125 5=252精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页优秀教案欢迎下载所以 SBCD =S梯形MDBO+SDMCSBOC =14+272252=15（3）设 P 点的坐标为（ a，0）因为线段 BC 过 B，C 两点，所以BC 所在的直线方程为y=x+5 那么， PH 与直线 BC
8、的交点坐标为E（a，a+5），PH 与抛物线y= x2+4x+5 ?的交点坐标为 H（a， a24a+5）由题意，得EH=32EP，即（ a24a+5）（ a+5） =32（a+5）解这个方程，得a=32或 a=5（舍去）EH=23EP，得（ a24a+5）（ a+5） =32（a+5）解这个方程，得a=23或 a=5（舍去）P 点的坐标为（32，0）或（23，0）例 3 已知关于x 的二次函数y=x2 mx+212m与 y=x2mx222m，这两个二次函数的图像中的一条与x 轴交于 A，B 两个不同的点（1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B 两点；（2）若 A 点坐标为（1，0），试求B
9、点坐标；（3）在（ 2）的条件下，对于经过A，B 两点的二次函数，当x 取何值时， y 的值随 x 值的增大而减小？【解答】（ 1）对于关于x 的二次函数y=x2mx+212m由于 b24ac=（ m） 41212m=m220，所以此函数的图像与x 轴有两个不同的交点故图像经过A， B 两点的二次函数为y=x2mx222m（2）将 A（ 1，0）代入 y=x2mx222m得 1+m222m=0整理，得 m22m=0解得 m=0 或 m=2当 m=0 时， y=x21令 y=0，得 x2 1=0解这个方程，得x1= 1，x2=1此时，点 B 的坐标是 B（1，0）当 m=2 时， y=x22x3
10、令 y=0，得 x22x3=0解这个方程，得x1=1，x2=3此时，点 B 的坐标是 B（3，0）（3）当 m=0 时，二次函数为y=x21，此函数的图像开口向上，对称轴为x=0，所以当 x0 时，函数值y 随 x 的增大而减小当 m=2 时，二次函数为y=x22x 3=（x 1）24，此函数的图像开口向上，对称轴为 x=1，所以当 x1 时，函数值y 随 x 的增大而减小【点评】 本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题，但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系，抓住问题的实质，灵活运用所学知识，这类综合题并不难解决课堂习题一、填空题1右图是二次函数y1=ax2+bx
11、+c 和一次函数y2=mx+n 的图像，观察图像写出y2y1时， x 的取值范围 _2已知抛物线y=a2+bx+c 经过点 A（ 2，7）， B（6， 7），精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页优秀教案欢迎下载C（3， 8），则该抛物线上纵坐标为8 的另一点的坐标是_3已知二次函数y= x2+2x+c2的对称轴和x 轴相交于点（m，0），则 m 的值为 _4若二次函数y=x24x+c 的图像与x 轴只有 1 个交点，则c=_ 5已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点（ 1，2）与（ 1，4），则 a+c 的值是 _6
12、甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离 s （m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=112s2+23s+32如下左图所示，已知球网AB 距原点 5m，乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为94m，设乙的起跳点C 的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则 m 的取值范围是_7 二次函数 y=x22x3 与 x 轴两交点之间的距离为_8杭州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8 层高，房子的价格y（元 /m2）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上
13、（如上右图），则6 楼房子的价格为_元/m2二、选择题9二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图所示，?则下列关系式不正确的是（）Aa0 Ca+b+c0 (第 9 题) (第 12 题) (第 15 题) 10已知二次函数y=ax2+bx+c 的图像过点A（1，2），B（3，2），C（ 5，7）若点 M（2，y1）， N（ 1，y2）， K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c 的图像上，则下列结论中正确的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页优秀教案欢迎下载Ay1y2y3By2y1y3Cy3y1y2Dy1
14、y30）交 x 轴 A，B 两点，交y 轴于点 C，抛物线的对称轴交x 轴于点 E，点 B 的坐标为（1， 0）（ 1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（ 2）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP 是什么四边形？并证明你的结论；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页优秀教案欢迎下载18如图所示，m，n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根，且mn，?抛物线 y=x2+bx+c 的图像经过点A（m，0）， B（0，n）（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（ 1）中抛物线与x 轴的另
15、一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D 的坐标和 BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上的一点，过点P作 PH x 轴，与抛物线交于点H，若直线BC 把 PCH 分成面积之比为2：3 的两部分，请求出点P 的坐标19某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，?其截面是抛物线拱形ACB ，而且能通过最宽3m，最高3.5m 的厢式货车按规定，?机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB 为 x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB 和拱高
16、 OC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页优秀教案欢迎下载20已知一个二次函数的图像过如图所示三点（ 1）求抛物线的对称轴；（ 2）平行于x 轴的直线L 的解析式为y=254，抛物线与（ 3）x 轴交于 A，B 两点在抛物线的对称轴上找点P，（ 4）使 BP 的长等于直线L 与 x 轴间的距离求点P 的坐标21如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a 0）的图像与x?轴交于 A，B 两点，其中A 点坐标为（ 1，0），点 C（0，5）， D（ 1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）求 MCB 的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
