《2022年二次函数典型例题解析与习题训练》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年二次函数典型例题解析与习题训练(10页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、优秀教案欢迎下载二次函数一、知识点梳理1. 定义: 一般地, 如果cbacbxaxy,(2是常数,)0a,那么y叫做x的二次函数 . 2. 二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线 . 二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数,a0 a0 y 0 x y 0 x (1)抛物线开口向上,并向上无限延伸;(2) 对称轴是 x=ab2, 顶点坐标是(ab2,abac442) ;(3)在对称轴的左侧,即当xab2时, y 随 x 的增大而增大(4)抛物线有最低点,当x=ab2时, y 有最小值,abacy442最小值(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸;(2) 对称轴是x
2、=ab2, 顶点坐标是 (ab2,abac442) ;(3)在对称轴的左侧,即当xab2时, y 随 x 的增大而减小(4)抛物线有最高点,当x=ab2时, y 有最大值,abacy442最大值3.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式:cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页优秀教案欢迎下载(2)顶点式:khxay2. 已知图像的顶点或对称轴以及最值,通常选择顶点式. 求抛物线的顶点、对称轴的方法:abacabxacbxaxy442222,顶点是)
3、,(abacab4422,对称轴是直线abx2. ( 3) 交点式:已知图像与x轴的交点坐标1x、2x, 通常选用交点式:21xxxxay抛 物 线 与x轴 两 交 点 之 间 的 距 离 : 若 抛 物 线cbxaxy2与x轴 两 交 点 为0021,xBxA,由于1x、2x是方程02cbxax的两个根,故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB4442221221221214.抛物线cbxaxy2中,cba,的作用(1)a决定开口方向及开口大小:a0,开口向上;a0,开口向上,又 y=x2x+m=x2x+(12)214+m=(x12)2+414m对称轴是直线x=12
4、,顶点坐标为(12,414m)(2)顶点在x 轴上方,顶点的纵坐标大于0,即414m0 m14m14时,顶点在x 轴上方(3)令 x=0,则 y=m即抛物线y=x2x+m 与 y 轴交点的坐标是A(0,m)ABx 轴B 点的纵坐标为m当 x2x+m=m 时,解得x1=0,x2=1A(0,m), B( 1,m)在 RtBAO 中, AB=1 ,OA= mSAOB =12OA AB=4 12m 1=4, m=8 故所求二次函数的解析式为y=x2x+8 或 y=x2x8【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a,b,c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本精选学习资料 - - - - - - - - -
5、 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页优秀教案欢迎下载题的关键之处例 2 已知: m,n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根,且mn,抛物线 y=x2+bx+c 的图像经过点 A( m,0), B( 0,n),如图所示(1)求这个抛物线的解析式;(2)设( 1)中的抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为 D,试求出点C,D 的坐标和 BCD 的面积;(3)P 是线段 OC 上的一点,过点P 作 PHx 轴,与抛物线交于 H 点,若直线BC 把 PCH 分成面积之比为2:3 的两部分,请求出 P 点的坐标【分析】( 1)解方程求出m,n 的值用待定系数法求出
6、b, c 的值(2)过 D 作 x 轴的垂线交x 轴于点 M,可求出 DMC ,梯形 BDBO , BOC 的面积,用割补法可求出BCD 的面积(3)PH 与 BC 的交点设为E 点,则点E 有两种可能:EH=32EP, EH=23EP【解答】( 1)解方程x26x+5=0,得 x1=5,x2=1由 mn,有 m=1,n=5所以点 A,B 的坐标分别为A(1, 0), B(0,5)将 A(1,0), B(0,5)的坐标分别代入y=x2+bx+c ,得10,5bcc解这个方程组,得4,5bc所以抛物线的解析式为y=x24x+5(2)由 y=x24x+5,令 y=0,得 x2 4x+5=0解这个方
7、程,得x1= 5,x2=1所以点 C 的坐标为( 5,0),由顶点坐标公式计算,得点D( 2,9)过 D 作 x 轴的垂线交x 轴于 M,如图所示则 SDMC=129( 52)=272S梯形MDBO=122( 9+5)=14,SBDC =125 5=252精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页优秀教案欢迎下载所以 SBCD =S梯形MDBO+SDMCSBOC =14+272252=15(3)设 P 点的坐标为( a,0)因为线段 BC 过 B,C 两点,所以BC 所在的直线方程为y=x+5 那么, PH 与直线 BC
8、的交点坐标为E(a,a+5),PH 与抛物线y= x2+4x+5 ?的交点坐标为 H(a, a24a+5)由题意,得EH=32EP,即( a24a+5)( a+5) =32(a+5)解这个方程,得a=32或 a=5(舍去)EH=23EP,得( a24a+5)( a+5) =32(a+5)解这个方程,得a=23或 a=5(舍去)P 点的坐标为(32,0)或(23,0)例 3 已知关于x 的二次函数y=x2 mx+212m与 y=x2mx222m,这两个二次函数的图像中的一条与x 轴交于 A,B 两个不同的点(1)试判断哪个二次函数的图像经过A,B 两点;(2)若 A 点坐标为(1,0),试求B
9、点坐标;(3)在( 2)的条件下,对于经过A,B 两点的二次函数,当x 取何值时, y 的值随 x 值的增大而减小?【解答】( 1)对于关于x 的二次函数y=x2mx+212m由于 b24ac=( m) 41212m=m220,所以此函数的图像与x 轴有两个不同的交点故图像经过A, B 两点的二次函数为y=x2mx222m(2)将 A( 1,0)代入 y=x2mx222m得 1+m222m=0整理,得 m22m=0解得 m=0 或 m=2当 m=0 时, y=x21令 y=0,得 x2 1=0解这个方程,得x1= 1,x2=1此时,点 B 的坐标是 B(1,0)当 m=2 时, y=x22x3
10、令 y=0,得 x22x3=0解这个方程,得x1=1,x2=3此时,点 B 的坐标是 B(3,0)(3)当 m=0 时,二次函数为y=x21,此函数的图像开口向上,对称轴为x=0,所以当 x0 时,函数值y 随 x 的增大而减小当 m=2 时,二次函数为y=x22x 3=(x 1)24,此函数的图像开口向上,对称轴为 x=1,所以当 x1 时,函数值y 随 x 的增大而减小【点评】 本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题,但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系,抓住问题的实质,灵活运用所学知识,这类综合题并不难解决课堂习题一、填空题1右图是二次函数y1=ax2+bx
11、+c 和一次函数y2=mx+n 的图像,观察图像写出y2y1时, x 的取值范围 _2已知抛物线y=a2+bx+c 经过点 A( 2,7), B(6, 7),精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页优秀教案欢迎下载C(3, 8),则该抛物线上纵坐标为8 的另一点的坐标是_3已知二次函数y= x2+2x+c2的对称轴和x 轴相交于点(m,0),则 m 的值为 _4若二次函数y=x24x+c 的图像与x 轴只有 1 个交点,则c=_ 5已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点( 1,2)与( 1,4),则 a+c 的值是 _6
12、甲,乙两人进行羽毛球比赛,甲发出一十分关键的球,出手点为P,羽毛球飞行的水平距离 s (m)与其距地面高度h(m)之间的关系式为h=112s2+23s+32如下左图所示,已知球网AB 距原点 5m,乙(用线段CD 表示)扣球的最大高度为94m,设乙的起跳点C 的横坐标为m,若乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,则 m 的取值范围是_7 二次函数 y=x22x3 与 x 轴两交点之间的距离为_8杭州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8 层高,房子的价格y(元 /m2)随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1,2,3,4,5,6,7,8),已知点(x,y)都在一个二次函数的图像上
13、(如上右图),则6 楼房子的价格为_元/m2二、选择题9二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图所示,?则下列关系式不正确的是()Aa0 Ca+b+c0 (第 9 题) (第 12 题) (第 15 题) 10已知二次函数y=ax2+bx+c 的图像过点A(1,2),B(3,2),C( 5,7)若点 M(2,y1), N( 1,y2), K(8,y3)也在二次函数y=ax2+bx+c 的图像上,则下列结论中正确的是()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页优秀教案欢迎下载Ay1y2y3By2y1y3Cy3y1y2Dy1
14、y30)交 x 轴 A,B 两点,交y 轴于点 C,抛物线的对称轴交x 轴于点 E,点 B 的坐标为(1, 0)( 1)求抛物线的对称轴及点A 的坐标;( 2)过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P,你能判断四边形ABCP 是什么四边形?并证明你的结论;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页优秀教案欢迎下载18如图所示,m,n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根,且mn,?抛物线 y=x2+bx+c 的图像经过点A(m,0), B(0,n)(1)求这个抛物线的解析式;(2)设( 1)中抛物线与x 轴的另
15、一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D 的坐标和 BCD 的面积;(3)P 是线段 OC 上的一点,过点P作 PH x 轴,与抛物线交于点H,若直线BC 把 PCH 分成面积之比为2:3 的两部分,请求出点P 的坐标19某地计划开凿一条单向行驶(从正中通过)的隧道,?其截面是抛物线拱形ACB ,而且能通过最宽3m,最高3.5m 的厢式货车按规定,?机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道,在图纸上以直线AB 为 x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立如图所示的直角坐标系,求抛物线拱形的表达式,隧道的跨度AB 和拱高
16、 OC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页优秀教案欢迎下载20已知一个二次函数的图像过如图所示三点( 1)求抛物线的对称轴;( 2)平行于x 轴的直线L 的解析式为y=254,抛物线与( 3)x 轴交于 A,B 两点在抛物线的对称轴上找点P,( 4)使 BP 的长等于直线L 与 x 轴间的距离求点P 的坐标21如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a 0)的图像与x?轴交于 A,B 两点,其中A 点坐标为( 1,0),点 C(0,5), D( 1,8)在抛物线上,M 为抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式;(2)求 MCB 的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页