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1、1 / 13 经济数学基础(上)数学笔记整理第二章 导数与微分( P49)目录一、 导数的符号要清楚1二、 导数的几何意义1三、 可导与连续的关系1四、 导数的基本公式与练习题1五、切线方程问题4六、 复合函数的求导5七、 隐函数的导数9八、 高阶导数 10九、 微分 11十、可微、可导和连续、极限的关系12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页1 / 13 一、导数的符号要清楚(P51, 52都有),最简单的就是二、导数的几何意义(P55)函数 y=f (x)在点处的导数就是曲线y=f(x)在点()处切线的斜率,k=
2、,切线的方程为y三、可导与连续的关系(P56, 2.1.5)定理 2.1 和注意可导连续(充分条件)y=f(x)的图像在点处出尖,则f(x)在处不可导。例:y=,图像如下 ,此时,当 x=0 时,图像出尖,不可导。四、导数的基本公式与练习题(P6566,2.2.6 的 1., 2.,3.,)就记书上的前8 个就行了,其他的不用记再多记 2 个:【练习 1:求导】解:有分式,商的导数不好算,可以先化简。【注意 ln7 为常数,常数的导数为0 哦!】= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页2 / 13 解决此题有2 种方
3、法,方法一是直接求。方法二是先打开,再求。你觉得怎么简单就怎么来。一般情况是先打开再做比较容易,有时是怎么做都一样的。方法一:直接求。要用到乘积的导数。(先打开再做就用不着乘积的导数,看过程就知道哪个方法简单了。) =2()+ =10 =30方法二:先打开,再求导。=5=10【练习 2:求导】解:【注意: ln6 为常数,导数也为0哦!】解:解:解:很容易能看出来,此题必须要化简了。你要是想用商的导数来求的话,是够麻烦的了。解:=()=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页3 / 13 这题就不能化简了,怎么着都是麻烦
4、。商的导数会背吗?要用了。注意所有公式都必须要会背哦!=【书上的题P75,3,4】P75, 3.求导(2)这题就是怎么做都行,你想用乘积的方法做就直接挑战吧。但是为了简单,我们的习惯就是先打开,再求导。=2(4)此题也可以直接,前提是你必须会背两个公式。如果这两个公式知道的话,就直接求导。若不知道,就要化成指数的形式。方法一:直接求导。解:+=+精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页4 / 13 方法二:解:=2= 【写成这样就行了,不用再化成根号了】(8)这题化简也不容易,直接来商的导数吧!解:=P75,4.求导(3
5、)解:=【怎么样,这些导数还算简单?】五、切线方程问题从导数的几何意义可知,表示曲线y=f (x)在点()处切线的斜率。所以求切线方程就得先求斜率,再运用点斜式,方程就求出来了。例 1:求曲线y=在点( 3,9)处的切线方程解:k=方程为,即例 2:求 y=lnx 在 x=1 处的切线方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页5 / 13 写方程得知道斜率和一个点。而这题没给点,则需要先把该点找出来。题目中给了该点的横坐标,纵坐标很好找的嘛!解: y(1)=0 切点为( 1,0)k=方程为六、复合函数的求导(P58,2
6、.2.2)学会了上边的基本的求导,接下来就要学习更难一点的复合函数的求导了。而且,你还别着急,导数这章可是咱们期中考试的重点呐,怎么着也得会点吧?【求导的方法:】分解复合函数(第一章已经讲过了,不会的去看第一章吧)分别求导将导数相乘把中间变量( u、v、s、t)代回来下面有2 道例题,每道题都分为“初级、中级、高级”,哈哈,请对号入座你目前处于什么级别自己心里清楚,能把题做对就可以了嘛。例 1:求导:初级 :按照上边的方法一步一步来的说解: 分解:分别求导:将导数相乘 : 把中间变量(u、 v)代回来:【如果不知道余切公式,可以不用化成余切】中级 :省掉了分解函数的步骤,一步一步的求导解:=精
7、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页6 / 13 =高级 :你懂的=例 2:你应该知道,初级 :一切从分解复合函数开始解: 分解:分别求导:将导数相乘 :把中间变量(u、v)代回来:=sin2【如果不会二倍角公式,这步可以不写】=sin中级 :解:=sin2=sin高级 :解:=sin2=sin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页7 / 13 复合函数的导数学会了没?现在自己来做几道吧!下边的解题步骤有点高手级别了,不过基本上都是用公式做的,
8、你应该能看懂吧。看不懂的话只能说你公式不会背哦,先把公式背会吧。考试时可是闭卷哦。【书上的题, P76,7(3)( 21)( 6)( 12)( 20)( 22)。前2 道是课堂练习,后4 道为作业题】P76,7.求导(3)解: =2 = =(21)哦,天呐,最难打的一个公式了,好小的格哦看看是有多复杂的题吧。呵呵,看的懂吗?解:=下边 4 道题,凡是抄过我作业的同学,你们写的过程都至少有4、5 步,看不懂下边过程的,看作业上的去。如果还不会的话,问我。(6)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页8 / 13 解: =(
9、12)解: =(20)解: =(22)解: =【练习:求导数(复合函数)】解:20现在都应该知道了吧,不解释。解:解:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页9 / 13 解: =解: =解: =解: =七、隐函数的导数(P62)隐函数求导的方法:(书上有P62)直接来例题试试看:例 1:已知方程确定了函数。解:,例 2:已知方程确定了。解:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页10 / 13 例 3:已知方程确定了函数。解:例 4:已知方程确
10、定了函数。解:八、高阶导数(P66)一阶导数:二阶导数:三阶导数:二阶导数及二阶以上的导数,都叫高阶导数。n 阶导数:例 1:【】例 2:解: =精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页11 / 13 九、微分(P68)1.y=f(x)在点 x 处,将 dy 记作 y 的微分。dx 记作 x 的微分,是一个必须要带着的符号。如何判断方程的左边与右边呢?有dx 的就是方程的右边。2.求微分:求导,后边再加上dx 就可以了。如下:解:解:解:3.左边(微分)右边(积分)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页12 / 13 十、可微、可导和连续、极限的关系可微可导连续有极限精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页