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1、名师精编优秀教案第 28 章解直角三角形与中考中考要求及命题趋势1、理解锐角三角形函数的定义和掌握特殊三角函数值并会利用其计算或证明；2、会由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数值求它对应的锐角；3、会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。2008年将继续考查锐角三角形函数的概念，其中特殊三角函数值为考查的重点。解直角三角形为命题的热点，特别是与实际问题结合的应用题. 4.本节内容课时安排 :分 3 课时应试对策1 要掌握锐角三角函数的概念，会根据已知条件求一个角的三角函数，会熟练地运用特殊角的三角函数值，会使用科学计算器进行三角函数的求值；2 掌握根据已知条件解直角三角形的方法，
2、运用解直角三角形的知识解决实际问题。具体做到：1）了解某些实际问题中的仰角、俯角、坡度等概念；2）将实际问题转化为数学问题，建立数学模型；3）涉及解斜三角形的问题时，会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为解直角三角形的计算问题而达到解决实际问题第一节 锐角三角函数教案一、本节教学要求：锐角三角形：基本要求： 通过实例认识锐角的正弦、余弦、正切；知道30、45、60 角的三角函数值；会用计算器由已知锐角求它的三角函数值或由已知三角函数值求它对应的锐角。略高要求： 由某个角的一个三角函数值， 会求其余两个三角函数值； 会计算含有特殊角的三角函数式的值。较高要求：能运用三角函数解决与直角三角
3、形有关的、简单实际问题。二解题思路：若求边，用未知边比已知边，找已知角的三角函数；若求角，用已知边比已知边，找未知角的三角函数；选择关系式： a 尽量用原始数据； b 用方便算的数据； c 能用乘算不用除算的数据；非基本元素，例如中线、高线、角平分线, 周长、面积等，化成基本元素求解. 三. 教学目标 : 1 使学生理解锐角三角函数的定义并会在解题中灵活应用, 培养学生的方程思想和建模思想 . 2. 通过锐角三角函数的实际应用培养学生分析题的能力和解题技巧, 在建模中构建解题模式 . 四. 教学重难点教学重点：使学生会利用特殊值进行计算或证明。会利用锐角三角函数解决简单精选学习资料 - - -
4、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页名师精编优秀教案的实际问题，如方向角问题，或仰角俯角等问题。教学难点：锐角三角函数的实际问题。【回顾与思考】1、锐角 A的三角函数（按右图RtABC 填空）A的正弦： sin A = , A的余弦： cosA = , A的正切： tan A = , 2、锐角三角函数值， 都是实数（正、负或者 0） ；3、正弦、余弦值的大小范围：sin A；cos A4、填表6、在 RtABC 中， C90，ABc,BCa，ACb, 1 ） 、三边关系（勾股定理） ： 2 ） 、锐角间的关系：+= 903） 、边角间的关系
5、： sin A = ； sinB = ；cosA = ； cosB= ；tan A = ； tan B = ；【例题经典】一锐角三角函数的定义和性质【例 1】在 ABC中， C=90 若 cosA=12，则 tanB=_; 考查知识点：特殊角的三角函数值。（2）? Rt ABC中,900C35tan, 3BBC，那么._AC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页名师精编优秀教案考查知识点：锐角三角函数。【例 2】 （1）已知： cos=23，则锐角的取值范围是（） A030 B4560 C3045 D6090（2） （
6、2006年潜江市）当 45cossin Bsin costan Ctan sin cos Dcot sin cos考查知识点：会由特殊角的三角函数值比较大小。【例 3】解答下列各题（1）若为锐角，且sin =cos40，求；（2）已知 sin +cos=2，求 sin cos的值；考查知识点：;cossin) 1(BA（2）公式：1cossin22三特殊角的三角函数值【例 4】 （1）在平面直角坐标系内P 点的坐标（30cos，45tan） ，则 P 点关于x轴对称点 P的坐标为（）A)1 ,23(B)23, 1(C)1,23(D) 1,23(考查知识点：特殊角的三角函数值与直角坐标系中的对称
7、点相结合。（2）计算sin30sin60cos45-2(1 cot30 ) -tan45 考查知识点：熟记特殊角的三角函数值。（3）在 ABC中,900Csin23A, 则 cos B 等于( ) A、1 B、23 C、22 D、21考查知识点：三角函函数之间的关系。5. 在 RtABC中， C=90 ，下列式子不一定成立的是（） A sinA=sinB BcosA=sinB CsinA=cosB DA+B=906. 在 RtABC 中，C=90 ，当已知 A和 a 时，求 c，应选择的关系式是 （） Ac=sinaA Bc=cosaA Cc=atanA Dc=acotA 7. 已知 A是锐角
8、，且 sinA=32，那么 A等于（） A30 B45 C60 D75精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页名师精编优秀教案第二节 解直角三角形的应用 （1）一、本章教学要求：解直角三角形：基本要求： 知道解直角三角形的含义。略高要求：会解直角三角形； 能根据问题的需要合理作出垂线， 构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组成图形的问题。较高要求： 会解有特殊条件的四边形中的计算问题；会设计简单的测量方案； 能综合运用直角三角形的性质解决简单的实际问题。二、本章在中考的占分比例：1.06 年 18题解答 5 分
9、； 19 题综合 6 分 2.07年解答 5 分 308 年 19 题综合 5 分；. 三本章考点概述：1 学生必须背熟特殊角的三角函数值，熟练掌握三角函数值的计算和性质，拿到基础分 ; 2 本章是理论联系实际的重要章节，有关生活中的测量是中考命题的新动向；3 把三角函数融入到二次根式、 一元二次方程等其它知识体系中进行考察是中考热点之一；4 本章是其它章学习的工具，它若与相似形、圆、一元二次方程联合命题时，往往也是一个压轴题；知识整理1解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些边和角求未知的边和角叫做解直角三角形2解直角三角形的类型： 已知一边，一锐角；已知两边3解直角三角形的公式：（1）三
10、边关系： a2+b2=c2，（2）角关系： A+B=_ ，（3）边角关系： sinA=ac，sinB=bc，cosA=bc，cosB=ac，tanA=ab，cosA=ba，tanB=ba，4仰角、俯角图中角可以看作是点 A的角也可看作是点 B 的角；5、 （1）坡度（或坡比）是坡面的高度（ h）和长度（ l）的比。记作 i , 即 i = ；（2）坡角坡面与水平面的夹角。记作，有 i lh=tan（3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角就越，坡面就越cbaACB（1）ACB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页名师精编优
11、秀教案坡度： AB的坡度 iAB=ACBC，叫坡角， tan =i=ACBC6象限角： OA ：北偏东 60，OB ：东南方向，OC ：正东方向， OD ：西偏南 7045南北西东60ADCB70O【回顾】问题转化- 直角三角形视角常用术语坡度方位角解直角三角形一 【例题经典】【例 1】在 RtABC 中， C 90，由下列条件解直角三角形：（1）已知 a43，b23，则 c= ；（2）已知 c20，A60，则 a= ；（基本题）在 Rt中，知道两个元素，用三角函数或勾股定理求其它的元素。【例 2】如图，河对岸有铁塔 AB，在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30，向塔前进14 米到达 D，在
12、D 处测得 A 的仰角为 45，求铁塔 AB 的高。 （较高题）分析： （1）此题让学生掌握设参数（BD=AB=x ）(2) 转化在 Rt用三角函数求解 .二课练习1斜坡的坡度是3:1，则坡角._（基本）2一个物体 A点出发，在坡度为7:1的斜坡上直线向上运动到B ，当30ABm时，物体升高（）基本A 730m B 830m C 23m D 不同于以上的答案3如图，已知两座高度相等的建筑物AB、CD 的水平距离 BC60 米，在建筑物 CD 上有一铁塔 PD，在塔顶 P处观察建筑物的底部B 和顶部 A，分别测行俯A C D B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
13、 - - - - - -第 5 页，共 15 页名师精编优秀教案角0030,45，求建筑物 AB 的高。 （计算过程和结果一律不取近似值）较高三 【例 3】 （07 辽宁）为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为 1.2 米，下底宽为 2 米，坡度为1：0.8 的渠道（其横断面为等腰梯形）?，并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了 0.6 米（如图所示）求：（1）渠面宽 EF ；（2）修 200 米长的渠道需挖的土方数【例 4】 （07云南）已知：如图，在 ABC中，B = 45，C = 60，AB = 6求BC的长(结果保留根号 ).较高分析: 在三角形中求线
14、段长 , 一般在 Rt中求 , 添加辅助线 , 构造 Rt求解 . 四课堂练习1、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:1i，坝外斜坡的坡度1:1i，则两个坡角的和为（）A 90B 60C 75D 1052、电视塔高为 350m ，一个人站在地面，离塔底O一定的距离 A处望塔顶B，测得仰角为060，若某人的身高忽略不计时，_OAm. 3、如图沿 AC方向修隧道 , 为了加快施工进度 , 要在小山的另一边同时进行. 已知ABD=1500,BD=520m, B=600,那么开挖点E 到 D 的距离 DE=_m时, 才能使A,C,E 成一直线 . 精选学习资料 - - - - - - - -
15、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页名师精编优秀教案提高题： 1已 知： 如图 所 示 ， 在 ABC 中 ， BAC=90 ， AD BC 于 D， AB=4 ，求设，DACCD,59sin 和 tan 的值。aDCBA分析：欲求 sin 和 tan ，从图形上看 角在直角三角形ADC 中，先计算直角三角形 ADC 各边的长，然后用定义求sin 和 tan。2 如图，河旁用一座小山，从山顶 A处测得河对岸 C的俯角为此 30，测得岸边点 D的俯角为 45，已知河宽 CD为 50 米，现需从山顶A到对岸点 C拉一条笔直的缆绳 AC ，求缆绳 AC的长（答案带根号
16、）30EDCA点评：本题考查了三角函数的意义，俯角的意义，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，一元一次方程的解法，一元二次方程的解法等。 要求考生首先将实际问题转化为解直角三角形的问题，考查了学生利用转化思想、方程思想、数形结合思想解决问题的能力。8如图，已知 MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到 N的走向为南偏东30，在 M的南偏东 60方向上有一点 A，以 A为圆心， 500m为半径的圆形区精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页名师精编优秀教案域为居民区。取MN上另一点 B，测得
17、BA的方向为南偏东 75. 已知 MB=400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？答案：不会穿过居民区。过 A 作 AHMN 于 H，则 ABH=45，AH=BH 设 AH=x，则 BH=x，MH=3x=x+400，x=2003+200=546.1500不会穿过居民区。 10. 公路 MN和公路 PQ在点 P 处交汇，且QPN30，点 A 处有一所中学，AP=160m ，一辆拖拉机以 3.6km/h 的速度在公路 MN 上沿 PN方向行驶，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，会受影响几分钟？
18、N P A Q M 解：1008030sin1APAPAPBRt中，）在（会影响N B D P A Q M 100 30o160 （ ）在中（米）2100806022Rt ABDBD6023610006022.（分钟）分钟考查知识点：此题是实际问题与三角函数相结合。第三节解直角三角形的应用(2) 教学目标：1通过本节练习使学生能够熟练解决简单的实际问题，培养一定的解综合题的能力。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页名师精编优秀教案2通过解直角三角形的过程使学生建立解题的基本模型，培养解题技巧。一、重点难点解直角三角形
19、的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。二、中考导向掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。 因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。 个别省市也有小型综合题和创新题。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。三复习建议：（1）重视锐角三角函数定义的学习；（2）学会合理地设参数；（3）树立解直角三角形的意识。（一） 知识点回顾1. 解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边. (1)定义：已知边和角（两个，其中必有一边
20、）所有未知的边和角。(2)依据：边的关系：222cba角的关系： A+B=90 边角关系：三角函数的定义。注意： 尽量避免使用中间数据和除法。2坡度： i = 1:m = h/l = tan；坡角: . 3. 方位角：4仰角与俯角：5.互余两角的三角函数关系：sin(90 - )=cos ;6.三角函数值随角度变化的关系7.查三角函数表北东北偏 西30南偏东70仰角俯角水平线铅垂线lhai=1:m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页名师精编优秀教案8.对实际问题在两个直角三角形中， 都缺解直角三角形的条件时，可用列方
21、程的办法解决。解直角三角形（二） 。 【例题经典】【例 1】1如图 2，已知ABC中CRt，ACmBAC，求ABC的面积（用的三角函数及 m 表示）分析：要求ABC的面积，由图只需求出BC。解：由 tanBACBCACBCACBACACmBACBCmSAC BCm mmABCtantantantan，1212122考查知识点：会用字母表示边角的关系。2某片绿地形状如图所示，其中ABBC，CDAD，A=60，AB=200m，CD=100m，?求 AD、BC 的长【点评】设法补成含60的直角三角形再求解。考查知识点：把不规范的图形转化为直角三角形，灵活运用三角函数求解。3已知，三角形 ABC 中，
22、 A=30，AC=10，BC=52，求 AB 的长。【点评】没有给图，告诉学生是属于“边边角”类型，要分类有讨论。考察知识点：锐角三角函数的特殊值和斜化直的问题。4已知，如图， P 是矩形 ABCD 的 CD 边上一点， PEAC 于 E，PFBD于 F，AC=15，BC=8，求 PE+PF的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页名师精编优秀教案【点评】在图中的隐含条件是等角的正弦值和矩形的对边相等。考察的知识点：正弦矩形的性质。（三） .课堂练习1. 如图，太阳光线与地面成60角，一棵倾斜的大树与地面成30角，这
23、时测得大树在地面上的影子约为10 米，则大树的高约为 _米 （结果保留根号）分析：加辅助线（垂线）构造直角三角形。考查知识点：通过添加辅助线转化直角三角形，数形结合的思想。2如图 :在ABC 中,BAC=105,B=30,AB=8,求:BC 和 AC 的长. CBA分析:过 A 作 BC 上的高线 ,构造直角三角形. 考查知识点： 通过添加辅助线转化直角三角形，此类问题的解题思路是构建直角三角形模型。备选练习：1 （2005 年上海市）已知RtABC中， C=90 ，AC=2 ，BC=3 ，那么下列各式中，正确的是（） A sinB=23 B cosB=23 C tanB=23 D tanB=
24、32答案： C 2点（ -sin60 ，cos60）关于 y 轴对称的点的坐标是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页名师精编优秀教案A （32，12） B （-32，12） C （-32，-12） D （-12，-32）答案： A 3每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣 ?某同学站在离旗杆12 米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30，?若这位同学的目高1.6 米，则旗杆的高度约为（） A6.9 米 B8.5 米 C10.3 米 D12.0 米答案： B 4如图 5 所示
25、，在 300m高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30?和 60，则塔高 CD为（） A200m B180m C 150m D 100m （图 5）（第 6 题）答案： A 5在ABC 中，A、B为锐角且 sinA=12，cosB=32，试判断 ABC的形状？答案：等腰三角形6在 ABC中，C=30 ， BAC=105 ，AD BC ，垂足为D，AC=2cm ，求 BC的长答案： 10（1+3）cm 7 如图， 在 RtABC中， C=90 ， AD是BAC 的平分线，CAB=60 ， ?CD=3，BD=23，求 AC ，AB的长8（2006年金华市）如图所示，设 A城气象台测得台风中心
26、在A?城正西方向 600km的 B 处，正以每小时200km的速度沿北偏东60的 BF 方向移动，距台风中心500km? 的范围内是否受台风影响的区域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页名师精编优秀教案（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2） 若 A城受到这次台风的影响， 那么 A城遭受这次台风的影响有多长时间？答案：（1）作 AM BF可计算 AM=?300km500km，故 A城受影响（2）受影响时间为2003200=3小时9如图，点 A是一个半径为 300 米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、
27、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000 米的笔直公路将两村连通，经测得 ABC=45o，ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。答案：解： 在中，Rt ABHBHAHtan45在中，Rt ACHCHAHtan30AHAHtantan45301000AH500 3500300不会穿过10如图：在ABC中，AD 是 BC 边上的高，tancosBDAC。（1）求证： ACBD （2）若 sinCBC121312，求 AD 的长。答案：分析：由于AD 是 BC 边上的高，则有Rt ADB和Rt ADC，这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解。解： （1）
28、在Rt ABD中，有 tanBADBD，Rt ADC中，有 cosDACADACtancosBDACADBDADACACBD，故（2）由 sinCADAC1213；可设 ADxACBDx1213，由勾股定理求得 DCx5BCBDDCx121812A B H C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页名师精编优秀教案即 x23AD1223811人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置 O 点的正北方向 10 海里处的 A 点有一涉嫌走私船只正以 24 海里/小时的速度向正东方向航行。为迅速实验检查，
29、巡逻艇调整好航向，以 26 海里/小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问（1）需要几小时才能追上？（点B 为追上时的位置）（2）确定巡逻艇的追赶方向（精确到01 .） （如图 4）参考数据：sin.cos.sin.cos.sin.cos.sin.cos.668091916680393967 4092316740384668409298684036817060943270603322，分析： （1）由图可知ABO是直角三角形，于是由勾股定理可求。（2）利用三角函数的概念即求。解：设需要 t 小时才能追上。则 ABtOBt2426，（1）在Rt AOB中，OBOAAB222，()()261024222tt则t1（负值舍去）故需要1 小时才能追上。（2）在Rt AOB中sin.AOBABOBtt242609231AOB674 .即巡逻艇沿北偏东674 .方向追赶。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页名师精编优秀教案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页
