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1、学习必备欢迎下载为什么把2baab（a，b0）叫做 “ 基本不等式 ”1从“ 数及其运算 ” 的角度看，2ba是两个正数 a，b 的“ 平均数” ；从定量几何的角度看， ab是长为 a、宽为 b 的矩形面积，ab就叫做两个非负数a，b 的“ 几何平均 ” 。因此，不等式中涉及的是代数、几何中的 “ 基本量” 。2有多种等价形式：代数涉及两个正数的运算，也就是通过加、减、乘、除、乘方、开方等运算而产生的变化。 在对运算结果之间的大小关系比较中就可以得到各种表现形式；几何周长相等的矩形中，正方形的面积最大；或者，以a+b为斜边的直角三角形中， 等腰直角三角形的高最长； 或者，更直观地，等圆中，弦长
2、不大于直径；函数本质上是函数凹凸性的反映。 例如，可以直接通过函数xy1，xy，2xy等学生最熟悉的函数的凹凸性导出公式；或者，利用函数图像的切线（本质上是“ 以直代曲 ” ） ，例如，过点 (1,1)作曲线xy的切线，切线方程为121xy，曲线xy总位于切线的下方，故有，x121x。令bax，代入化简即得重要不等式。也可以这样考虑：在一个平面内固定一条直线x+y=2A，考察曲线族 xy=c（这里 c 是参数） ，画个图就可以看出，和给定直线有公共点，且使 c 取最大值的曲线，是和直线相切于（A，A）的那条曲线，这时 c=A2，于是 xy22yx。精选学习资料 - - - - - - - -
3、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载3证明方法的多样性从上所述已经表明， “ 基本不等式 ” 确是与重要的数学概念和性质相关，体现基础知识的联系性，表述形式简洁、流畅且好懂，而且从上述联系性中， 事实上也已经给出了证明的各种思路，这些思路与数学的基本概念相关，不涉及太多的技巧。我们还可以从 “ 平均数 ” 的角度来构造性地证明：设 A=2ba。引进一个量 d=2ba，则 a=A+d，b=Ad。于是a b =A2d 2=222dba，由 d0 容易得到ab2ba。4可推广。我们大家都知道有n 个正数的几何平均值不大于算术平均值的定理。 这个定理的证明
4、方法很多， 由此就能培养学生的解题能力，而且能体现创造性。值得注意的是， n 个数（不一定为正）的算术平均是一个重要的最小性质，有广泛的用途， 特别是在统计中， 就是对于某个未知量x，我们通过测量获得了它的n 个观测值 xi（i=1，2，n） 。由于测量误差，这些值会略有不同， 那么 x 取什么值才最可信呢？数学王子高斯的想法是：用xxi表示观测值 xi与理想值 x 之间的偏差（可正可负） ，可以把那个使总偏差最小的值作为理想值的最佳估计。数学中，习惯上把 (xxi)2作为不精确性的适当的度量，这样问题就转化为求使niixx12的最小值。非常凑巧，这个值恰好就是这n 个观测值的算术平均 这是重
5、要的高斯 “ 最小二乘法 ” 的出发点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载基本不等式的教学过程概录1借助问题情境（赵爽弦图） ，得到 a2+b22ab。老师提示：当a=b 时，有222abab。通过课件，动态演示面积变化情况，直观展示等号成立的条件。师：当 a，b为任意实数时，上式还成立吗？你能给出它的证明吗？生：利用完全平方， (ab)20，即 a22ab+b20，得到 a2+b22ab。师：还有什么方法？（片刻后）证明不等式的常用方法是 “作差”。证明：222222()0,2ababababab.
6、 由证明过程可知：不等式abba222恒成立 . 师：通过刚才的探究， 我们得到了一个对任意实数都成立的不等式abba222。特别是 a=b 时，222abab；反过来222abab时，定有 a=b。所以我们说当且仅当a=b 时取等号。2探究新知师：当 a0，b0 时，如果用a,b替换上述结论中的a，b，能得到什么结论？生：可 得2(0,0)ababab。师：你能证明这个不等式吗？什么时候取等号？学生模仿已有证明，用综合法。教师让学生阅读教科书，并填空：要证abba2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下
7、载只要证ba要证 ,只要证ba0要证 ,只要证0)(2显然, 是成立的。当且仅当a=b 时，中的等号成立。再阅读课本的“探究” ，作出基本不等式的几何解释。教师对基本不等式做出如下说明：（1）注意基本不等式成立的条件；（2）注意基本不等式的结构：两个正数之积与两数之和之间的不等关系。（3）注意等号成立的条件。3知识应用例 1 判断下列说法是否正确：（1）若 x0，则xx12；（2）若 x0，则xx12；（3）若 ab0，则baab2；（4）若 ab3，则 a+b23。（1）生：因为xx12=21xx0，所以xx12。（2）生：xx1+2=21xx0，所以？师：能写为21xx吗？生：哦，不能！应
8、该是D C A B E O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载2121xxxx0，所以xx12。教师提醒： 注意，利用基本不等式， 最基本的是要求两个数大于0。本题是经过变形可以利用基本不等式。（3）当 ab0 时，baab2；当 ab0 时，baab2。教师补充：实际上，概括一下就是前面（1）和（2） 。（4）生：当 a0，b0 时，a+b2ab=23；当 a0，b0时，师：怎么还不会？看一下（3）的解答。生：哦，因为 ab2ba=23，所以 a+b23。师：通过这几个例题可以知道，在基本不等式ab
9、ba2中，要求 a，b大于 0。例 2 在下列函数中，最小值是2 的是（）（A）xxy55（x0）（B）xxylg1lg（1x10）（C）xxy33（xR）（D）xxysin1sin（0x2）生 1：xxxxy525552，因为 x2+250，5x 既可以大于 0，也可以小于 0，所以 y 的值可以小于 0。所以选项（ A）不对。生 2：因为 1x10，所以 lgx0。根据基本不等式，xxlg1lg2xxlg1lg=2。所以选项（ B）正确。生 3：因为对任意x，3x0，所以xx332xx33=2。所以选精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
10、第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载项（C）正确。生4： 因 为 0 x2， 所 以 sinx 0。 所以xxsin1sin2xxsin1sin=2。所以选项（ D）正确。师：对吗？再看看每一个函数都能取到2 吗？学生经过思考，得出只有选项（C）中的函数能取到2。师：所以，大家要注意基本不等式中等号成立的条件。变式练习：（1）若1x，求11xxy的最小值及取得最小值时的x值。（2）求函数xxxy22（x0）的最小值及取最小值时的x 的值。（3）若01x，求xxxf1的最大值及取得最大值时的x值。大部分学生在解答时遇到较大困难。教师发现时间也不够了， 于是就自己讲解：做这几个题目时，大家要注意
11、灵活变形， 就是要往基本不等式靠。如果是和的形式， 就要凑出“积定” ；如果是积的形式， 就要凑出“和定” 。这样就有（1）因为1x，所以 x10。所以111111xxxxy2 11)1(xx+1=3。等号当且仅当111xx，即 x=2 时取得。（2）只要将函数解析式转化为12xxy，就可以利用基本不等式求解了。同学们课后完成。（3）因为01x，所以 01x1。所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载xxxf121xx=21。等号当且仅当 x=1x，即 x=21时取得。教师总结： 今天我们学了很重要的基
12、本不等式。基本不等式在求最值时很有用。从前面的几组题目可以看到， 用基本不等式求最值时，首先要注意含有字母的式子必须是正的；其次，要注意观察式子的结构， 和的形式要看是否有积为定值， 积的形式则要看是否有和为定值；第三，一定要注意是否能取到最值，这就要看“相等”的条件是否能满足。总结起来就是：一正，二定，三相等。大家一定要记住了。思考题：（1）基本不等式简单，而且“一正、二定、三相等”也很明确，但为什么学生总是想不到？越是简单，越接近常识， 应用范围就越广泛，越需要经过一定的训练而形成习惯。（2）在利用基本不等式求最值时，学生为什么总是丢三落四？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
