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1、学习必备欢迎下载为什么把2baab(a,b0)叫做 “ 基本不等式 ”1从“ 数及其运算 ” 的角度看,2ba是两个正数 a,b 的“ 平均数” ;从定量几何的角度看, ab是长为 a、宽为 b 的矩形面积,ab就叫做两个非负数a,b 的“ 几何平均 ” 。因此,不等式中涉及的是代数、几何中的 “ 基本量” 。2有多种等价形式:代数涉及两个正数的运算,也就是通过加、减、乘、除、乘方、开方等运算而产生的变化。 在对运算结果之间的大小关系比较中就可以得到各种表现形式;几何周长相等的矩形中,正方形的面积最大;或者,以a+b为斜边的直角三角形中, 等腰直角三角形的高最长; 或者,更直观地,等圆中,弦长
2、不大于直径;函数本质上是函数凹凸性的反映。 例如,可以直接通过函数xy1,xy,2xy等学生最熟悉的函数的凹凸性导出公式;或者,利用函数图像的切线(本质上是“ 以直代曲 ” ) ,例如,过点 (1,1)作曲线xy的切线,切线方程为121xy,曲线xy总位于切线的下方,故有,x121x。令bax,代入化简即得重要不等式。也可以这样考虑:在一个平面内固定一条直线x+y=2A,考察曲线族 xy=c(这里 c 是参数) ,画个图就可以看出,和给定直线有公共点,且使 c 取最大值的曲线,是和直线相切于(A,A)的那条曲线,这时 c=A2,于是 xy22yx。精选学习资料 - - - - - - - -
3、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页学习必备欢迎下载3证明方法的多样性从上所述已经表明, “ 基本不等式 ” 确是与重要的数学概念和性质相关,体现基础知识的联系性,表述形式简洁、流畅且好懂,而且从上述联系性中, 事实上也已经给出了证明的各种思路,这些思路与数学的基本概念相关,不涉及太多的技巧。我们还可以从 “ 平均数 ” 的角度来构造性地证明:设 A=2ba。引进一个量 d=2ba,则 a=A+d,b=Ad。于是a b =A2d 2=222dba,由 d0 容易得到ab2ba。4可推广。我们大家都知道有n 个正数的几何平均值不大于算术平均值的定理。 这个定理的证明
4、方法很多, 由此就能培养学生的解题能力,而且能体现创造性。值得注意的是, n 个数(不一定为正)的算术平均是一个重要的最小性质,有广泛的用途, 特别是在统计中, 就是对于某个未知量x,我们通过测量获得了它的n 个观测值 xi(i=1,2,n) 。由于测量误差,这些值会略有不同, 那么 x 取什么值才最可信呢?数学王子高斯的想法是:用xxi表示观测值 xi与理想值 x 之间的偏差(可正可负) ,可以把那个使总偏差最小的值作为理想值的最佳估计。数学中,习惯上把 (xxi)2作为不精确性的适当的度量,这样问题就转化为求使niixx12的最小值。非常凑巧,这个值恰好就是这n 个观测值的算术平均 这是重
5、要的高斯 “ 最小二乘法 ” 的出发点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页学习必备欢迎下载基本不等式的教学过程概录1借助问题情境(赵爽弦图) ,得到 a2+b22ab。老师提示:当a=b 时,有222abab。通过课件,动态演示面积变化情况,直观展示等号成立的条件。师:当 a,b为任意实数时,上式还成立吗?你能给出它的证明吗?生:利用完全平方, (ab)20,即 a22ab+b20,得到 a2+b22ab。师:还有什么方法?(片刻后)证明不等式的常用方法是 “作差”。证明:222222()0,2ababababab.
6、 由证明过程可知:不等式abba222恒成立 . 师:通过刚才的探究, 我们得到了一个对任意实数都成立的不等式abba222。特别是 a=b 时,222abab;反过来222abab时,定有 a=b。所以我们说当且仅当a=b 时取等号。2探究新知师:当 a0,b0 时,如果用a,b替换上述结论中的a,b,能得到什么结论?生:可 得2(0,0)ababab。师:你能证明这个不等式吗?什么时候取等号?学生模仿已有证明,用综合法。教师让学生阅读教科书,并填空:要证abba2,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页学习必备欢迎下
7、载只要证ba要证 ,只要证ba0要证 ,只要证0)(2显然, 是成立的。当且仅当a=b 时,中的等号成立。再阅读课本的“探究” ,作出基本不等式的几何解释。教师对基本不等式做出如下说明:(1)注意基本不等式成立的条件;(2)注意基本不等式的结构:两个正数之积与两数之和之间的不等关系。(3)注意等号成立的条件。3知识应用例 1 判断下列说法是否正确:(1)若 x0,则xx12;(2)若 x0,则xx12;(3)若 ab0,则baab2;(4)若 ab3,则 a+b23。(1)生:因为xx12=21xx0,所以xx12。(2)生:xx1+2=21xx0,所以?师:能写为21xx吗?生:哦,不能!应
8、该是D C A B E O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页学习必备欢迎下载2121xxxx0,所以xx12。教师提醒: 注意,利用基本不等式, 最基本的是要求两个数大于0。本题是经过变形可以利用基本不等式。(3)当 ab0 时,baab2;当 ab0 时,baab2。教师补充:实际上,概括一下就是前面(1)和(2) 。(4)生:当 a0,b0 时,a+b2ab=23;当 a0,b0时,师:怎么还不会?看一下(3)的解答。生:哦,因为 ab2ba=23,所以 a+b23。师:通过这几个例题可以知道,在基本不等式ab
9、ba2中,要求 a,b大于 0。例 2 在下列函数中,最小值是2 的是()(A)xxy55(x0)(B)xxylg1lg(1x10)(C)xxy33(xR)(D)xxysin1sin(0x2)生 1:xxxxy525552,因为 x2+250,5x 既可以大于 0,也可以小于 0,所以 y 的值可以小于 0。所以选项( A)不对。生 2:因为 1x10,所以 lgx0。根据基本不等式,xxlg1lg2xxlg1lg=2。所以选项( B)正确。生 3:因为对任意x,3x0,所以xx332xx33=2。所以选精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
10、第 5 页,共 7 页学习必备欢迎下载项(C)正确。生4: 因 为 0 x2, 所 以 sinx 0。 所以xxsin1sin2xxsin1sin=2。所以选项( D)正确。师:对吗?再看看每一个函数都能取到2 吗?学生经过思考,得出只有选项(C)中的函数能取到2。师:所以,大家要注意基本不等式中等号成立的条件。变式练习:(1)若1x,求11xxy的最小值及取得最小值时的x值。(2)求函数xxxy22(x0)的最小值及取最小值时的x 的值。(3)若01x,求xxxf1的最大值及取得最大值时的x值。大部分学生在解答时遇到较大困难。教师发现时间也不够了, 于是就自己讲解:做这几个题目时,大家要注意
11、灵活变形, 就是要往基本不等式靠。如果是和的形式, 就要凑出“积定” ;如果是积的形式, 就要凑出“和定” 。这样就有(1)因为1x,所以 x10。所以111111xxxxy2 11)1(xx+1=3。等号当且仅当111xx,即 x=2 时取得。(2)只要将函数解析式转化为12xxy,就可以利用基本不等式求解了。同学们课后完成。(3)因为01x,所以 01x1。所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页学习必备欢迎下载xxxf121xx=21。等号当且仅当 x=1x,即 x=21时取得。教师总结: 今天我们学了很重要的基
12、本不等式。基本不等式在求最值时很有用。从前面的几组题目可以看到, 用基本不等式求最值时,首先要注意含有字母的式子必须是正的;其次,要注意观察式子的结构, 和的形式要看是否有积为定值, 积的形式则要看是否有和为定值;第三,一定要注意是否能取到最值,这就要看“相等”的条件是否能满足。总结起来就是:一正,二定,三相等。大家一定要记住了。思考题:(1)基本不等式简单,而且“一正、二定、三相等”也很明确,但为什么学生总是想不到?越是简单,越接近常识, 应用范围就越广泛,越需要经过一定的训练而形成习惯。(2)在利用基本不等式求最值时,学生为什么总是丢三落四?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页