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1、2024 年吉林省中考数学试卷年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 2 分，共分，共 12 分）分）1（2 分）若（3）的运算结果为正数，则内的数字可以为（）A2B1C0D12（2 分）长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，风景秀丽，总蓄水量约达2040000000m3数据 2040000000 用科学记数法表示为（）A2.041010B2.04109C20.4108D0.20410103（2 分）葫芦在我国古代被看作吉祥之物如图是一个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（）A主视图与左视图相同B主视图与俯视图相同C左视图与俯视图相同D主视图
2、、左视图与俯视图都相同4（2 分）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A（x2）21 B（x2）20C（x2）21D（x2）225（2 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，0）（0，2）以 OA，OC 为边作矩形 OABC 若将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 90，则点 B的坐标为（）A（4，2）B（4，2）C（2，4）D（4，2）6（2 分）如图，四边形 ABCD 内接于O过点 B 作 BEAD，交 CD 于点 E若BEC50（）A50B100C130D150二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分）7（3 分）当分式的值为正数时，写出一个满
3、足条件的 x 的值为8（3 分）因式分解：a23a9（3 分）不等式组的解集是10（3 分）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，其蕴含的数学道理是11（3 分）正六边形的一个内角的度数是12（3 分）如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 F 是 OD 上一点，连接 EF若FEO45，则13（3 分）图中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，ABBC 于点 C，BC0.5 尺，可列方程为14（3 分）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由O 和扇形 OBC 组成，OC 分别与O 交
4、于点 A，DOA1m，AOD40，则阴影部分的面积为m2（结果保留）三、解答题（每小题三、解答题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分）15（5 分）先化简，再求值：（a+1）（a1）+a2+1，其中16（5 分）吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道舰丽的风景线某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率17（5 分）如图，在ABCD 中，点 O 是 AB 的中点，交 DA 的延长线于点 E求证：AEBC18（5 分）钢琴素有“乐器之王
5、”的美称键盘上白色琴键和黑色琴键共有 88 个，白色琴键比黑色琴键多 16 个求白色琴键和黑色琴键的个数四、解答题（每小题四、解答题（每小题 7 分，共分，共 28 分）分）19（7 分）图、图均是 44 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点点 A，B，C，D，E，O 均在格点上图中已画出四边形 ABCD，在给定的网格中按要求画图（1）在图中（2）在图中，画出经过点 E 的O 的切线20（7 分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量 R 的取值范围）（2）当电阻 R 为 3时，
6、求此时的电流 I21（7 分）中华人民共和国 20192023 年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示（以上数据引自中华人民共和国 2023 年国民经济和社会发展统计公报）根据以上信息回答下列问题：（1）20192023 年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？（2）直接写出 20192023 年全国居民人均可支配收入的中位数（3）下列判断合理的是（填序号）20192023 年全国居民人均可支配收入呈逐年上升趋势20192023 年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是 2020 年，因此这 5 年中，2020年全国居民人均可支配收入最低22（7
7、分）图中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”某直升飞机于空中 A 处探测到吉塔，此时飞行高度 AB873m，看塔底 D 的俯角EAD45，求吉塔的高度 CD（结果精确到 0.1m）（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）五、解答题（每小题五、解答题（每小题 8 分，共分，共 16 分）分）23（8 分）综合与实践某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流下面是第三小组汇报的部分内容，并解答“建立模型”中的问题【背景调查】图中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传
8、统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观榫眼的设计很有讲究，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置【收集数据】小组收集了一些板凳并进行了测量设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为 x mm，凳面的宽度为 y mm，记录如下：以对称轴为基准向两边各取相同的长度x/mm16.519.823.126.429.7凳面的宽度 y/mm115.5132148.5165181.5【分析数据】如图，小组根据表中 x，y 的数值【建立模型】请你帮助小组解决下列问题：（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，说明理由（2）当凳面宽度为
9、 213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？24（8 分）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：【探究论证】（1）如图，在ABC 中，ABBC，垂足为点 D若 CD2，BD1ABC（2）如图，在菱形 ABCD中，AC4，则 S菱形ABCD（3）如图，在四边形 EFGH 中，EGFH若 EG5，FH3，则 S四边形EFGH；若 EGa，FHb，猜想 S四边形EFGH与 a，b 的关系，并证明你的猜想【理解运用】如图，在MNK 中，MN3，MK5，点 P 为边 MN 上一点小明利用直尺和圆规分四步作图；（）以点 K 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 KN
10、，I；（）以点 P 为圆心，KR 长为半径画弧，交线段 PM 于点 I；（）以点 I为圆心，IR 长为半径画弧，交前一条弧于点 R，K 在 MN 同侧；（）过点 P 画射线 PR，在射线 PR上截取 PQKN，连接 KP，MQ请你直接写出 S四边形MPKQ的值六、解答题（每小题六、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分）25（10 分）如图，在ABC 中，C90，AC3cm，AD 是ABC 的角平分线动点 P 从点 A 出发，以，交 AC 于点 Q，以 PQ 为边作等边三角形 PQE，E 在 PQ 同侧设点 P 的运动时间为t（s）（t0），PQE 与ABC 重合部分图形的面积为 S
11、（cm2）（1）当点 P 在线段 AD 上运动时，判断APQ 的形状（不必证明），并直接写出 AQ 的长（用含 t 的代数式表示）（2）当点 E 与点 C 重合时，求 t 的值（3）求 S 关于 t 的函数解析式，并写出自变量 t 的取值范围26（10 分）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1），输入 x的值为2 时，输出 y 的值为 1，输出 y 的值为 3；输入 x 的值为 3 时（1）直接写出 k，a，b 的值（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于 x 的函数图象，如图（2）当 y 随 x 的增大而增大时，求 x 的取值范围若关于 x 的方程 ax2+b
12、x+3t0（t 为实数），在 0 x4 时无解，求 t 的取值范围若在函数图象上有点 P，Q（P 与 Q 不重合）P 的横坐标为 m，Q 的横坐标为m+1小明对 P（含 P，Q 两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随 m 的变化而变化1D2B3A4B5C6C70（答案不唯一）8a（a3）92x310两点之间，线段最短111201213x2+23（x+0.5）3141115解：（a+1）（a1）+a7+1a24+a2+15a2原式8（）2716解：把“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为 A、B、C，画树状图如下：共有 9 种等可能的结果，其中幸运游客小明与小亮恰好抽
13、中同一个项目的结果有 3 种，幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率为17证明：点 O 是 AB 的中点，AOOB，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，EBCO，又AOEBOC，AOEBOC（AAS），AEBC18解：设白色琴键的个数为 x 个，黑色琴键的个数为 y 个，由题意得：，解得：，答：白色琴键的个数为 52 个，黑色琴键的个数为 36 个19解：（1）如图所示，直线 GH 与直线 EF 即为所求；（2）如图所示，直线 AB 即为所求20解：（1）设 I，由题意得：KRI36，这个反比例函数的解析式为 I；（2）电阻 R 为 3时，I21解：（1）39218307338485
14、（元），答：20192023 年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低多 8485 元；（2）把 20192023 年全国居民人均可支配收入从小到大排列，排在中间的数是 2021 年人均可支配收入，所以 20192023 年全国居民人均可支配收入的中位数是 35128 元；（3）由折线统计图可知，20192023 年全国居民人均可支配收入呈逐年上升趋势，故说法正确；因为 20192023 年全国居民人均可支配收入呈逐年上升趋势，所以这 5 年中，故说法错误故答案为：22解：过点 C 作 CFAB，垂足为 FABBD，CFAB，CDBBCFB90四边形 CDBF 是矩形BFCD，CF
15、BD873mCFBDAE，EACACF37，EADADB45在 RtACF 中，tanACF，AFtanACFCFtan378730.75873654.75（m）在 RtDBA 中，tanADB，ABtanADBBDtan458731873873（m）CDFBABAF873654.75218.25218.3（m）答：吉塔的高度 CD 约为 218.3m23解：（1）它们在同一条直线上，设 ykx+b，则：，解得：，所以这条直线所对应的函数解析式为 y6x+33；（2）当 y213mm 时，2135x+33，解得：x36，所以当凳面宽度为 213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是 3
16、6mm24解：（1）在ABC 中，ABAC，CD2，ADCD2，AC3，SABCACBD5故答案为：2（2）在菱形 S菱形ABCDABCD中，AC4，S菱形ABCDACBD4，故答案为：3（3）EGFH，SEFGEGFO，SEHGEGHO，S四边形EFGHSEFG+SEHGEGFO+EGFH，故答案为：猜想：S四边形EFGH，证明：SEFGEGFO，SEHGEGHO，S四边形EFGHSEFG+SEHGEGFO+EGFH（4）根据尺规作图可知：QPMMKN，在MNK 中，MN3，MK5，MK3MN2+KN2，MNK 是直角三角形，且MNK90，NMK+MKN90，QPMMKN，NMK+QPM90，MKPQ，PQKN6，MK5，根据（3）中结论得 S四边形MPKQMKPQ1025解：（1）如图，过 Q 作 QHAD 于点 H，PQAB，BADQAP，AD 是角平分线，CADBAD，CADQAP，QAQP，APQ 是等腰三角形QHAP，AHAP，CAD30，AQt，故APQ 是等腰三角形，AQt（2）如图所示，E、C 重合时图形PQE 是等边三角形，QEQP，由（1）得 QAQP，AE2AQ
