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1、期末模拟卷-2023-2024学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数z满足，则复数z的虚部为（）ABCD22两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（）A抛一枚硬币，正面朝上的概率；B掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率；C转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率；D从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率3抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件 “次中至多有一次反面朝上”，事件 “次中全部正面朝上或全
2、部反面朝上”，下列说法不正确的是（）A当时，B当时，与不独立C当时，D当时，与不独立4设均为单位向量，且，则（）ABCD5如图，已知大小为的二面角棱上有两点，若，则的长度（）A22B44CD6中国古代的花窗花板，既雕工精美，又具有丰富的文化内涵如图，这是某花窗的平面图（扇形AOB截去扇形COD剩余的部分），已知，则 （）ABC8D7在 中， 角 的对边分别为，已知，若，则的外接圆半径等于（）AB2CD48一个五面体已知，且两两之间距离为1并已知则该五面体的体积为（）ABCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分
3、，有选错的得0分9已知复数，则下列说法正确的有（）AB若，则C若，则D若且，则10抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数.用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.记“”为事件，“是奇数”为事件，“”为事件，则（）A与互斥B与对立C与相互独立D与相互独立11已知向量，满足，且，则（）ABC向量，的夹角是D三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12抛两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为x，y，则x，y，3能够构成三角形三边长的概率为 .13设点P是的重心，过点P的直线分别与线段AB，AC交于E，F两点，已知，则 ；若，则 14如图，已知在矩形中，点是边的
4、中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，则二面角的余弦值为 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知（其中i为虚数单位）.(1)若为纯虚数，求实数a的值；(2)若（其中是复数的共轭复数），求实数a的取值范围.16在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知，(1)求sinA的值；(2)求的值172024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随
5、机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：(1)请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）；(2)现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.18如图所示，在三棱锥中，(1)证明：；(2)若是边长为2的等边三角形，点O到平面ABC的距离为试问直线OB与平面ABC所成夹角是否为定值，若是则求出该夹角的余弦值；若不是请说明理由；(3)在（2）的条件下，取OB中点为P，并取一点Q使得当直线PQ与平面ABC所成角的正切值最大时，试求异面直线OQ与PC所成角的余弦值19
6、如图，已知等腰梯形中，是的中点，将沿着翻折成，使平面平面(1)求证：平面；(2)求与平面所成的角试卷第7页，共7页学科网（北京）股份有限公司参考答案：1D【分析】先求出，再结合虚部定义可解【详解】，则，则，虚部为故选：D.2D【分析】先根据频率和概率的关系得到概率为，再对四个选项一一判断得到D正确.【详解】根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，即其概率，选项A，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；选项B，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；选项C，转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意；选项D，从装有2个红球和1个蓝球的口
7、袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为，故此选项符合题意；故选：D3D【分析】根据题意，利用列举法求得事件，和，求得相应的概率，结合根据与的关系，判断两个事件是否独立，即可求解【详解】当时，所有基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种，事件中基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），共3种，事件中基本事件有：（正，正），（反，反），共2种，事件中基本事件有：（正，正），共1种，所以，所以A正确；因为，所以事件与事件不独立，所以B正确；当时，所有基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（
8、反，反，反），共8种，事件中基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），共4种，事件中基本事件有：（正，正，正），（反，反，反），共2种，事件中基本事件有：（正，正，正），共1种，事件中基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，反），共5种，所以，所以C正确；因为，所以事件与事件独立，所以D错误故选：D4B【分析】对两边平方可得答案.【详解】.故选：B.5C【分析】根据二面角的定义得到，然后结合余弦定理得到，根据线面垂直的判定定理和性质得到，最后利用勾股定理求长度即可.【详解】如图，过点作，过点作交于点，连接，因为，所
9、以四边形为平行四边形，所以，因为，所以，因为，二面角为，所以，在中，解得，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，所以.故选：C.6B【分析】首先求向量的模和向量的夹角，再代入向量的数量积公式，即可求解.【详解】由题意可知，且，所以.故选：B7B【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得，得到，再结合正弦定理，即可求解.【详解】因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，可得，即，因为，所以，又由，所以的外接圆的直径，可得，所以的外接圆的半径为.故选：B.8C【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一
10、对应）与该五面体相嵌，使得；;重合，因为，且两两之间距离为1，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为，.故选：C.9ACD【分析】A项，表达出和，即可得出相等；B项，作出示意图即可得出结论；C项，写出和的表达式，利用得出两复数的实部和虚部的关系，即可得出结论；D项，对进行化简即可得出结论.【详解】由题意，设A项，,A正确；B项，当时，若两复数是虚数，不能比较大小，B错误；C项，当时，任取，或，任取，即至少有一个为0（其中至少有两项为0），C正确；D项，即，D正确；故选：ACD.10AC【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的定义
11、直接求解【详解】对于A，事件“”包含的基本事件有：，事件“为奇数”，包含的基本事件有：，与不能同时发生，是互斥事件，故A正确；对于B，与不能同时发生，且能同时不发生，不是对立事件，故B错误；对于C、D，与不相互独立，与独立，故C正确，D错误故选：AC11BCD【分析】根据垂直关系以及模长公式即可求解或，即可判断A,根据模长公式即可求解BD，根据夹角公式即可求解C.【详解】对于A,设，则，解得，由于，故或，故A错误，对于B，B正确，对于C，故C正确，对于D，D正确，故选：BCD12【分析】根据给定条件，利用列举法、结合古典概率计算即得.【详解】抛两枚骰子，所有的情况有36种，由x，y，3构成三角
12、形的三边长，得，当，有5种情况：；当（的情况只需与互换即可，即两种情况相同）时，若；若，；若，；若，；若，因此符合条件的共有（种）情况，所以所求概率为.故答案为：13 【分析】根据题意，延长交于点D，由三点共线可得，再由重心定理可得，列出方程，即可求得，再由向量数量积的运算即可得到结果.【详解】延长交于点D，则D是线段的中点，故因为三点共线，所以因为P是的重心，所以，所以解得因为，所以故答案为：；14/【分析】过点在平面内作，垂足为点，连接，证明二面角的平面角为，根据几何关系即可求解【详解】由平面知识易证，所以.在三棱锥中，过点在平面内作，垂足为点，连接，易得平面又平面，平面，平面，平面，二面
13、角的平面角为，在中，由余弦定理可得，平面平面，故，二面角的余弦值为故答案为：.15(1)；(2)【分析】（1）利用纯虚数的概念结合复数的运算得到求解a的值；（2）利用复数的模的概念得到求实数a的取值范围.【详解】（1）由，可得，因为为纯虚数，所以，解得；（2）因为，所以，由，可得，解得，故实数a的取值范围为16(1)(2)【分析】（1）根据余弦定理即可求出的大小，即可根据正弦定理即可求出的值，（2）根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出【详解】（1）由余弦定理以及，则，；由正弦定理，以及，可得；（2）由，及，可得，则，17(1)(2)【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得；（2）首先求出年龄在区间和中抽取的人数，再列出所有可能结果，最后由古典概型的概率公式计算可得.【详解】（1）由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为：；（2）样本中年龄在区间的频率为，年龄在区间的频率为，则年龄在区间抽取人，分
