《椭圆的定义及简单几何性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆的定义及简单几何性质（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、椭圆一、知识精析与点拨（一）椭圆的定义1、第一定义：平面上，与两个定点片、F2距离之和为常数（大于I FF2I）的点的轨迹称为椭圆。两个定点片、F2 称为椭圆的焦点，两个焦点间的距离称为焦距。1)2a2 I PF IIPF I+IPF I=2a, IPM I+IPM I= ，1221 cI PM I1I PF I2 =e；I PM I22)|A1F二 %少 a - CA1 P 卩a - c PF/ b)y2x2a2 +b2 =1(ab0)一般方程Ax2+Cy2=F（A、C、F 同号）中心O (0, 0)O (0, 0)参数方程C x= acos01 y= bsin0lx= bcos0y= as
2、in0长轴长2a2a短轴长2b2b焦距2c2c离心率c e = 一 ac e = 一 a基本量的关系a2=b2+c2, e = , - = #1-e2a aa2=b2+c2, e = , - = #1-e2a a顶点(a, 0) (0,b)(土b, 0) (0, 土a)焦占八、八、(土c, 0)(0, 土 c)准线方程 a2 x = c土 a2 y = c准线距2a2c2a2c焦准距b2 p = F cb2 p = _ F cm（x0, y0）的焦点半径r 左= a+ex0 r 右= aex0r 下= a+ex0 r 上=aex0通径长2b2a2b2a对称轴方程x=0, y =0x=0, y
3、=0三）椭圆参数的几何意义，如下图所示：AB = J a 2 +b2AB =IBF2I=IBF1I=a， IOF1I=IOF2I=cb 2|FiK=|F2K2切=，（四）点、直线与椭圆的位置关系x2 y 21、 点 P （x0, y0）和椭圆 =1 （ab0）的关系00a 2 b 2x 2 y 2x 2y 2（1）点P在椭圆内（含焦点）O 亠 + 1 （其中ab0）a 2b22、直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系也可通过讨论直线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y （或x）得到关于x （或y）的一元二次方程，考虑该方程的判别式，则有： （0 o直线与椭圆
4、相交于两点；x2 y 2设 AB 为椭圆+ =1 的弦，A（X, y1），B （x2，y2），弦中点 M （x。，y0）,a 2 b21)2 十一xj 1 + kAB 2 =|y2 yi| 寸1+ 十(0)；AB则弦长IABI=x - x )2 + (y - yv 2 1 2, y 一 yb 2 x(其中kAB二T 1二亠x 一 xa 2 y2 10b2x 直线AB的方程为yy =00 a 2 y0x2y 2焦点弦：AB为椭圆- =1的焦点弦的长IAB=e (X+x2)+2a (或IABI右=2a e (x1 +x2),a 2b2左 1 2 右 1 221x2 xp(x2 + X1)2 - 4
5、X1 x2 h 人5；(y2 + y1)2 一 4y1 y2)a2y（xx）；线段AB的垂直平分线方程为y y二 0 00 b2 x0122b2通径长为-（其中ab0）a（2）=0 o直线与椭圆相切；x2 y 2 x x y y设M （x0，y0）为椭圆 =1上的点，则以M为切点的切线方程为 H =1；0 0a2 b2a 2b2x2 y 2设M （x0, y0）为椭圆一 + 1 =1外的点，则过M引椭圆的切线，切点弦所在直线的方程为 00a 2 b2x x y y0 + 1=1 （其中 ab0）a 2b2x2 y 2椭圆 +：二1(a b 0)与直线Ax + By + C二0相切的条件是A2a
6、2 + B2b2二c2。 a 2 b2X 2 y 2；设切线的斜率为K,则椭圆一 + 1二1（a b 0）的切线方程为y二kx b2 + a2k2 a2 b2（3）A0 o直线与椭圆相离；直线与椭圆相离时，椭圆上到此直线距离最小或最大的点是与该直线平行的切线的切点1.椭圆 2x2+3y2=6 的焦距是A.2椭圆的第一定义与基本性质的练习题B.2 3 - 0B.0R2C.0R4D.2R 5)的两个焦点为F、F，12(C) 2*41且I FF 1= 8 ,12弦AB过点F1，则 ABF2的周长为（）B) 20(D)4p45椭圆+】=1的一个焦点为耳,1231点 P 在椭圆上，如果线段 PF1 的中
7、点 M 在 y 轴上，那么点 M 的纵坐标是：D、土 36.已知P是椭圆上的一点，只、F2是椭圆的两个焦点，ZPFF2=90 ,ZPF2F1=30，则椭圆的离心率 =1（a b 0）上一点，若 pf1 - 丫=0 tan f1 f2=2，则椭圆的离7已知P是以仆心率为1（A）-212x2+a2(F2为焦点的椭圆2（B）3y2b 2)1(C) 3y2x28椭圆25 + 9( A) 9 ( B) 12x29.AB为过椭圆a21 的焦点 F 、1D）A. b2(C) 10y2+丿=1b2B.abF，28中心的弦，P为椭圆上的一点，已知PF】丄叫贝仏FiPF2的面积为（）F（c,O）为椭圆的右焦点，则
8、AAFB面积的最大值是C.ac10.椭圆二_ +二=1的离心率为.，则实数m的值为5 m5x2y 2D.bc11.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆左顶点A，上顶点B，左焦点Fi到直线AB的距离为中OB|，则椭圆的离心率为。12若椭圆的两个焦点为F1（-4，0）、F2（4，0），椭圆的弦AB过点行，且AABF?的周长为20，那么该椭圆的方程为14与椭圆宁+ - = 1具有相同的离心率且过点（2,）的椭圆的标准方程是15.椭圆壬+兰=1的焦点为F、F，点P为其上的动点，当ZF1PF?为钝角时，点P横坐标的取值范围 9 4 1 2 1 2椭圆的第二定义与性质的练习题16. 点M到一个定点F(0,
9、2)的距离和它到一条定直线y=8的距离之比是1 ：2，则M点的轨迹方程 .17. 如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的A.4倍B.9倍C.12 倍D.18 倍18. 设点A( 2,占)，椭圆+兰=1的右焦点为F,点P在椭圆上移动.当IPAI+2IPFI取最小值时,P点的坐标是16 1219设椭圆+兰=1(ab0)的左焦点为F,(2,0)，左准线人与x轴交于点N(3,0),过点N且倾斜角为30的直线l a 2 b21 1交椭圆于A、B两点.(1) 求直线l和椭圆的方程；(2) 求证:点F1( 2,0)在以线段AB为直径的圆上.20已知椭圆的两焦点为行(0,1)、
10、F2(0, 1),直线y=4是椭圆的一条准线.(1) 求椭圆方程；(2) 设点P在椭圆上，且IPF1I IPF2I=1,求tanZF1PF2的值.21.设椭圆的中心为坐标原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连成60的角，两准线间的距离等于83，求椭 圆方程.椭圆练习一、选择题1下列命题是真命题的是（ ）A. 到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B. 到定直线x = a2和定点F（c, 0）的距离之比为的点的轨迹是椭圆caC. 到定点F（-c, 0）和定直线x = _a2的距离之比为-（ac0）的点的轨迹 是左半个椭圆ca2.3.4.5.6.7.8.9.D.到定直线x = a2和定点F（c，
11、0）的距离之比为a （ac0）的点的轨迹是椭圆c且椭圆过点弓,-1），则椭圆方程是（C.止 + 二=1 D. X 2 + y 2 _4 + 8110 + 6 =1若椭圆的两焦点为（-2,0）和（2, 0）,A. y2 + x2 = 1 B. 22 + 竺=18 4 10 6若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为A. （0, +Q B.设定点 F1（0,-3）、F2A.椭圆B.0, 2)0, 3),线段C. （1，+R）D. （0，1）动点P满足条件|PF |+ |PF | = a + 9 （a 0），则点P的轨迹是1C.不存在D.a椭圆或线段椭圆旦+止=1和竺+竺=
12、k （k 0）具有 a 2 b 2a 2 b2A.相同的离心率 B .相同的焦点 C.相同的顶点 若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为A. 1 4已知P是椭圆旦+丘=1上的一点,36B. 665A. 165100D.D.相同的长、短轴（）若P到椭圆右准线的距离是口C. 75D.，则点P到左焦点的距离是2778椭圆亘+丘=1上的点到直线x + 2y 込=0的最大距离是 16 4A. 3C. 22D.22在椭圆+ = 1内有一点P （1, 43小值是A.-2-1）, F 为椭圆右焦点,在椭圆上有一点M,使IMPI+2IMFI的值最小，则这一最b. 7C. 3D. 410.2过点M （-2, 0）的直线m与椭圆
