《高考数学大二轮专题复习第二编等差数列与等比数列》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学大二轮专题复习第二编等差数列与等比数列(28页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、新高考二轮复习数学(新课程版)第1讲等差数列与等比数列考情研析1.从具体内容上,主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明2.从高考特点上,难度以中、低档题为主,一般设置一道选择题和一道解答题核心知识回顾1.等差数列(1)通项公式:ana1(n1)dam(nm)d(2)等差中项公式:2anan1an1(nN*,n2)(3)前n项和公式:Snna12等比数列(1)等比数列的通项公式:ana1qn1amqnm(2)等比中项公式:aan1an1(nN*,n2)(3)等比数列的前n项和公式:Sn3等差数列的性质(n,m,l,k,p均为正整数)(1)若mnlk,
2、则amanalak(反之不一定成立);特别地,当mn2p时,有aman2ap(2)若an,bn是等差数列,则kantbn(k,t是非零常数)是等差数列(3)等差数列“依次m项的和”即Sm,S2mSm,S3mS2m,仍是等差数列(4)等差数列an,当项数为2n时,S偶S奇nd,;项数为2n1时,S奇S偶a中an,(其中S偶表示所有的偶数项之和,S奇表示所有的奇数项之和)4等比数列的性质(n,m,l,k,p均为正整数)(1)若mnlk,则amanalak(反之不一定成立);特别地,当mn2p时,有amana(2)当n为偶数时,q(公比为q).(其中S偶表示所有的偶数项之和,S奇表示所有的奇数项之和
3、)(3)等比数列“依次m项的和”,即Sm,S2mSm,S3mS2m,(Sm0)成等比数列热点考向探究考向1等差数列、等比数列的运算例1(1)(2020山东省青岛市模拟)已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,Sn是an的前n项和,则S9等于()A8 B6 C10 D0答案D解析a1,a3,a4成等比数列,aa1a4,(a122)2a1(a132),即2a116,解得a18.则S98920,故选D.(2)(2020山东省泰安市肥城一中模拟)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn,若a1,a3,a2成等差数列,mS2,S3,S4成等比数列,则m()A B C1 D答案D解析设a
4、n的公比为q(q0且q1),根据a1,a3,a2成等差数列,得2a3a1a2,即2a1q2a1a1q,因为a10,所以2q21q0,即(q1)(2q1)0.因为q1,所以q,则S2,S3,S4,因为mS2,S3,S4成等比数列,所以SmS2S4,即m,因为a10,所以0,所以m,得m,故选D.利用等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式,能够在已知三个元素的前提下求解另外两个元素,其中等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比为最基本的量,解题中首先要注意求解最基本的量.1(多选)(2020山东省青岛市模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn(nN*),公差d0,S690,a7是a3与a9的等
5、比中项,则下列选项正确的是()Aa122Bd2C当n10或n11时,Sn取得最大值D当Sn0时,n的最大值为20答案BCD解析等差数列an的前n项和为Sn,公差d0,由S690,可得6a115d90,即2a15d30,由a7是a3与a9的等比中项,可得aa3a9,即(a16d)2(a12d)(a18d),化为a110d0,由解得a120,d2,则an202(n1)222n,Snn(20222n)21nn2,由Sn,可得n10或n11时,Sn取得最大值110.由Sn0,可得0n21,即n的最大值为20.故选BCD.2定义:在数列an中,若满足d(nN*,d为常数),称an为“等差比数列”已知在“
6、等差比数列”an中,a1a21,a33,则()A4202021 B4201921C4202221 D420192答案A解析a1a21,a33,2,是以1为首项,2为公差的等差数列,2n1,(220211)(220201)4202021.故选A.考向2等差数列、等比数列的判定与证明例2(1)设数列an满足a11,an1(nN*).求证:数列是等差数列证明an1,为常数,又a11,1,数列是以1为首项,为公差的等差数列.(2)数列an的前n项和为Sn,且满足Snan1,n1,2,3,设bnan,求证:数列bn是等比数列证明Sn1an,Sn11an1,当n1时,易知a1,an1Sn1Snan1an,
7、2an1anan,2an,bnan,则bn1an1,上式可化为2bn1bn,bn是以b11为首项,为公比的等比数列,bn.(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明,其他方法最后都会回到定义,如证明等差数列可以证明通项公式是n的一次函数,但最后还得使用定义才能说明其为等差数列(2)证明数列an为等比数列时,不能仅仅证明an1qan,还要说明a10,才能递推得出数列中的各项均不为零,最后断定数列an为等比数列(3)证明等差、等比数列,还可利用等差、等比数列的中项公式1(多选)(2020日照一中摸底考试)已知数列an满足:a13,当n2时,an( 1)21,则关于数列
8、an,下列说法正确的是()Aa28 B数列an为递增数列C数列an为周期数列 Dann22n答案ABD解析由an( 1)21得an1(1)2,1,即数列是首项为2,公差为1的等差数列,2(n1)1n1.ann22n.所以易知A,B,D正确2已知正项数列an满足a6aan1an,若a12,则数列an的前n项和为_答案3n1解析a6aan1an,(an13an)(an12an)0,an0,an13an,an为等比数列,且首项为2,公比为3,Sn3n1.考向3数列中an与Sn的关系问题例3(1)(2020河南省高三阶段性测试)设正项数列an的前n项和为Sn,且4Sn(1an)2(nN*),则a5a6
9、a7a8()A24 B48 C64 D72答案B解析当n1时,由S1a1,得a11,当n2时,得4an(1an)2(1an1)2,aa2an2an10,(anan1)(anan12)0.an0,anan12,an是等差数列,an2n1,a5a6a7a82(a6a7)48.(2)(2020山东省德州市二模)给出以下三个条件:数列an是首项为 2,满足Sn14Sn2的数列;数列an是首项为2,满足3Sn22n1(R)的数列;数列an是首项为2,满足3Sn an12的数列请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整,并求解设数列an的前n项和为Sn,an与Sn满足_记数列bnlog2a1log2a2
10、log2an,cn,求数列cn的前n项和Tn.解选,由已知Sn14Sn2,(*)当n2时,Sn4Sn12,(*)(*)(*),得an14(SnSn1)4an,即an14an.当n1时,S24S12,即2a2422,所以a28,满足a24a1,故an是以2为首项,4为公比的等比数列,所以an22n1.bnlog2a1log2a2log2an13(2n1)n2,cn.所以Tnc1c2cn1.选,由已知3Sn22n1,(*)当n2时,3Sn122n1,(*)(*)(*),得3an22n122n1322n1,即an22n1.当n1时,a12满足an22n1,所以an22n1,下同选.选,由已知3Sna
11、n12,(*)则n2时,3Sn1an2,(*)(*)(*),得3anan1an,即an14an.当n1时,3a1a22,而a12,得a28,满足a24a1,故an是以2为首项,4为公比的等比数列,所以an22n1,下同选.由an与Sn的关系求通项公式的注意点(1)应重视分类讨论思想的应用,分n1和n2两种情况讨论,特别注意anSnSn1成立的前提是n2.(2)由SnSn1an推得an,当n1时,a1也适合,则需统一表示(“合写”).(3)由SnSn1an推得an,当n1时,a1不适合,则数列的通项公式应分段表示(“分写”),即an已知数列an中,a11,其前n项的和为Sn,且满足an(n2,n
12、N*).(1)求证:数列是等差数列;(2)证明:S1S2S3Sn.证明(1)当n2时,SnSn1,Sn1Sn2SnSn1,2,所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列(2)由(1)可知,(n1)22n1,所以Sn.S1S2S3Sn.真题押题真题检验1(2020全国卷)设an是等比数列,且a1a2a31,a2a3a42,则a6a7a8()A12 B24 C30 D32答案D解析设等比数列an的公比为q,则a1a2a3a1(1qq2)1,a2a3a4a1qa1q2a1q3a1q(1qq2)q2,因此,a6a7a8a1q5a1q6a1q7a1q5(1qq2)q532.故选D.2(2020全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和若a5a312,a6a424,则()A2n1 B221nC22n1 D21n1答案B解析设等比数列an的公比为q,由a5a312,a6a424可得解得所以ana1qn12n1,Sn2n1.因此221n.故选B.3(2020新高考卷)将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前n项和为_