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1、第二课 考点突破素养提升素养一数学抽象角度复数的概念【典例1】(1)若复数z=1+i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2+的虚部为()A.0B.-1C.1D.-2(2)实数k分别为何值时，复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)满足下列条件？是实数.是虚数.是纯虚数.是0.【解析】(1)选A.因为z=1+i，所以=1-i，所以z2+=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0.(2)(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.当k2-5k-6=0，即k=6或k=-1时，该复数为实数.当k2-5k-60，即k6且k-1时，该复数为
2、虚数.当即k=4时，该复数为纯虚数.当即k=-1时，该复数为0.【类题通】复数相关概念的应用技巧(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.特别提醒：求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.【加练固】1.下列命题为假命题的是()A.复数的模是非负实数B.复数等于零的充要条件是它的模等于零C.两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件D.复数z1z2的充要条件是|z1|z2|【解析】选D.A中，任何复数z=a+bi(a，bR)的模|z|=0总成立，所以A正确.B中
3、，由复数为零的条件z=0|z|=0，故B正确.C中，若z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2R)，且z1=z2，则有a1=a2，b1=b2，所以|z1|=|z2|；反之，由|z1|=|z2|，推不出z1=z2，如z1=1+3i，z2=1-3i时，|z1|=|z2|，故C正确.D中，若z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z1z2，则a1a2，b1=b2=0，此时|z1|z2|；若|z1|z2|，z1与z2不一定能比较大小，所以D错误.2.对于复数a+bi(a，bR)，下列结论正确的是()A.a=0a+bi为纯虚数B.b=0a+bi为实数C.a+(b-1)i=3+2ia
4、=3，b=-3D.-1的平方等于i【解析】选B.当a=0且b0时，a+bi为纯虚数，故A错；B正确；若a+(b-1)i=3+2ia=3，b=3，故C错；(-1)2=1，故D错.3.复数z=log3(x2-3x-3)+ilog2(x-3)，当x为何实数时，(1)zR.(2)z为虚数.(3)z为纯虚数.【解析】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以由，得x=4，经验证满足式.所以当x=4时，zR.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0，所以解得即x4时，z为虚数.(3)因为一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0，所以得无解.所以复数z不可能是纯虚数.素养二直观想象
5、角度复数的几何意义【典例2】(1)若复数(a+i)2的对应点在y轴负半轴上，则实数a的值是()A.-1B.1C.-D.(2)复数z=(mR，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】(1)选A.因为(a+i)2=a2-1+2ai，又复数(a+i)2的对应点在y轴负半轴上，所以即a=-1.(2)选A.z=(m-4)-2(m+1)i，其实部为(m-4)，虚部为-(m+1)，由得此时无解.故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限.【类题通】在复平面内确定复数对应点的步骤(1)由复数确定有序实数对，即z=a+bi(a，bR)确定有序实数对(
6、a，b).(2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b).【加练固】1.若复数(-6+k2)-(k2-4)i所对应的点在第三象限，则实数k的取值范围是_.【解析】由已知得，所以4k26.所以-k-2或2k.答案：(-，-2)(2，)2.已知复数z1=2+3i，z2=a+bi，z3=1-4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若=2+，则a=_，b=_.【解析】因为=2+，所以1-4i=2(2+3i)+(a+bi)，即所以答案：-3-10素养三数学运算角度复数的代数运算【典例3】(2019天津高考)i是虚数单位，则的值为_.【解析】=|2-3i|=.答案：【类题通】进行复数代数
7、运算的策略(1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算.复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)；复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a+bi)2=a2+2abi-b2与(a+b)2=a2+2ab+b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a+bi)(a-bi)=a2+b2与(a+b)(a-b)=a2-b2.(2)利用复数相等，可实现复数问题的实数化.【加练固】1.若z=1+2i，则=()A.1B.-1C.iD.-i【解析】选C.因为z=1+2i，则=1-2i，所以z=(1+2i)(1-2i)=5，则=i.2.已知复数z满足|3+4i|+z=1+3i.(1)求.(2)求的值.【解析】(1)因为|3+4i|=5，所以z=1+3i-5=-4+3i，所以=-4-3i.(2)=2.- 1 -
