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1、名校真题 测试卷10 (数论篇一)1、(05年人大附中考题)有_个四位数满足下列条件:它的各位数字都是奇数;它的各位数字互不相同;它的每个数字都能整除它本身。 2、(05年101中学考题)如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零,那么所得的三位数是原来的数的9倍,问这个两位数是_。 3 (05年首师附中考题)+=_。 4 (04年人大附中考题)甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数,并且满足:甲甲=乙+乙=丙135那么甲最小是_。(02年人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125 B、126 C、127 D、128 【附答案】1 【解】:62 【解】:设原来数为ab,这样后来的数为a0b
2、,把数字展开我们可得:100a+b=9(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。3 【解】:周期性数字,每个数约分后为+=14 【解】:题中要求丙与135的乘积为甲的平方数,而且是个偶数(乙+乙),这样我们分解135=5333,所以丙最小应该是2253,所以甲最小是:2335=90。5 【解】:八进制数是由除以8的余数得来的,不可能出现8,所以答案是D。第十讲 小升初专项训练 数论篇(一)一、小升初考试热点及命题方向数论是历年小升初的考试难点,各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多,题型多样,变化众多,所以对学生来说处理起来很头疼。数论内
3、容包括:整数的整除性,同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题,数论在各种杯赛中都会占不小的比重,而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。二、2007年考点预测2007年的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论,命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点,大题则需综合运用数的整除,质数与合数,约数倍数以及整数的分拆等方法,希望同学们全面掌握数论的几大知识点,能否在考试中取得高分解出数论的压轴大题是关键。三、基本公式1)已知b|c,a|c,则a,b|c,特别地,若(a,b)=1,则有ab|c。讲解练习:若3a75b能
4、被72整除,问a=,b=.(迎春杯试题)2)已知c|ab,(b,c)=1,则c|a。3)唯一分解定理:任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即n= p1 p2.pk(#)其中p1p2.bcd那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数,因此b=0或5,注意到bcd,所以b=5;从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数;所以c是偶数,cb=5,c=4或2从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间,所以a=d+4;因为ab,所以a至少是6,那么d最小是2,所以c就只能是4。而如果d=2,那么abdc的末2位是24,它是4的倍数,和条件
5、矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3所以这24个四位数中最大的一个是7543。【例2】()一个5位数,它的各个位数字和为43,且能被11整除,求所有满足条件的5位数?思路:现在我们有两个入手的选择,可以选择数字和,也可以选择被11整除,但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手【解】:5位数数字和最大的为95=45,这样43的可能性只有9,9,9,9,7或9,9,9,8,8。这样我们接着用11的整除特征,发现符合条件的有99979,97999,98989符合条件。
6、【例3】()由1,3,4,5,7,8这六个数字所组成的六位数中,能被11整除的最大的数是多少?【解】:各位数字和为1+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为14为了使得该数最大,首位必须是8,第2位是7,14-8=6那么第3位一定是5,第5位为1该数最大为875413。拓展:一个三位数,它由0,1,2,7,8组成,且它能被9整除,问满足条件的总共有几个? 【例4】()一个学校参加兴趣活动的学生不到100人,其中男同学人数超过总数的4/7 ,女同学的人数超过总数的2/5 。问男女生各多少人? 【来源】:06年理工附入学测试题【解】:男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7,
7、这样女生的范围在2/53/7之间,同理可得男生在4/73/5之间,这样把分数扩大,我们可得女生人数在28/7030/70之间,所以只能是29人,这样男生为41人。2 质数与合数(分解质因数) 【例5】()2005684375最后4位都是0,请问里最小是几?【解】:先分析123410的积的末尾共有多少个0。由于分解出2的个数比5多,这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。而能分解出5的一定是5的倍数。注意:5的倍数能分解一个5,25的倍数分解出2个5,125的倍数能分解出3个5最终转化成计数问题,如5的倍数有10/5=2个。2005=5401 684=22171 375=355
8、5前三个数里有2个质因子2,4个质因子5,要使得乘积的最后4位都是0应该有4个质因子2和4个质因子5,还差2个质因子。因此里最小是4。拓展:2005684375最后4位都是0,且是7的倍数,问里最小是_【例6】()03 年101中学招生人数是一个平方数,04年由于信息发布及时,04年的招生人数比03年多了101人,也是一个平方数,问04年的招生人数?【解】:看见两个平方数,发现跟平方差相关,这样我们大胆的设03年的为A,04年的为B,从中我们发现04年的比03年多101人,这样我们可以列式子B- A=101此后思路要很顺,因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开,所以B- A=(A+B)(A
9、-B)=101,可见右边的数也要分成2个数的积,还得考虑同奇偶性,但101是个质数,所以101只能分成1011,这样A+B=101,A-B=1,所以A=50,B=51,所以04年的招生人数为5151=2601。拓展:一个数加上10,减去10都是平方数,问这个数为多少?(清华附中测试题) 约数和倍数【例7】()从一张长2002毫米,宽847毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能大的正方形,如果剩下的部分不是正方形,那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复,最后剪得的正方形的边长是多少毫米?【解】:边长是2002和847的最大公约数,可用辗转相除法求得 (2002
10、,847)=77所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。辗转相除示例:2002847=2308 求2个数的最大公约数,就用大数除以小数847308=2231 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止308231=177 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止23177=3 最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数【例8】()一根木棍长100米,现从左往右每6米画一根标记线,从右往左每5米作一根标记线,请问所有的标记线中有多少根距离相差4米?【解】:100能被5整除,所以每5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。这样我们都以从左往右作,可见转化成讨论5,6的最小公倍数中的情况,画图可得有2根距离为4米,所以30,60,90里各有2条,但发现最后96和100也是距离4米,所以总共23+1=7。拓展:在一根长木棍上,有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成十等份;第二种将木棍分成十二等份;第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断,那么木棍总共被锯成多少段?【例9】()1、2、3、42008这2008个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积? 【解】:最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数,这样我们发现除2以外都是奇数质因数,可见我们只要找需要多少个2,所