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1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例1设f(x)是一次函数，且ff(x) 4x 3,求f(x)ff(x) af(x) ba(ax b) ba2x ab b解：设 f (x) ax b (a ),则配凑法：已知复合函数fg(x) 的表达式，求f(x)的解析式,fg(x)的表达式容易配成g(x)的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x) 的值域。已知f(x1) x(x0)求f(x)的解析式解:1 f(x -)x(x1)2 2 x三、换元法：已知复合函数注意所换元的定义域的变化2,2f(x) x2 2 (x 2)fg(x)的表达
2、式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要2Vx，求 f (x 1)1 , x (t 1)2 Q f (Vx四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。例4已知：函数y xx与yg(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式解：设M(x, y)为y g(x)上任一点,(x , y )为M (x，y)关于点(2,3)的对称点6 y代入得:f (x)满足 f (x)1 2f x1f(x) 2f xx 显然占M八、(x,y )在 yg(x)上 y4)24)整理得y7x 6x,求 f(x)X ，将X换成1f (_) 得 x2f(x)解联立的方程组，得f(
3、x)x 23 3xf (x)设f (x)为偶函数，g (x)为奇函数，又g(x)、x 1试求f(x)和g(x)的解析式f (x)为偶函数,g(x)为奇函数， f( x)f (x) g (x)f (x), g( x) g(x)又 9 x)即f(x)g(x)解联立的方程组，得.1f(x)x 1,g(x)六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例7 已知:f1,对于任意实数x、y,等式 f(x y) f(x) y(2x y 1)恒成立，求 f(x)解Q对于任意实数x、v,等式 f(x y)f(x) y(2x
4、 y 1)恒成立，不妨令x 0,则有f( y) f(0)y( y 1) 1 y(y 1)y 1再令 y x得函数解析式为:f (x) x2 x七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系, 迭代等运算求得函数解析式。则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者例8设f(x)是定义在N上的函数，满足f(1)1 ,对任意的自然数 a,b都有f(a)f (b)f(a b) ab,求 f(x)f(a)f (b) f(a b)ab, a,b N不妨令a x,b 1 ,得:f(x)f(1)f(x 1)x,又 f (1)1,故 f(x1)f(x)分别令式中的x1,2Lf (2) f (3) L L得：ff
5、 (1)f(2)f (nf(n) f(1) 2n,f(n) 12,3,1)n，将上述各式相加得:n(n 1) n 2UM t1 一 x, x N22.4.求下列函数的解析式(1)已知 f(x+1)=x2-3x+2 ,求 f(x). (2)已知 f(x)+2f( x )=3x,求 f(x)的解析式 8.已知f (x)是一次函数，且 2f(x)+f(-x)=3x+1 对xR恒成立，则f (x) =函数值域求法十一种1 .直接观察法1一 ，、一，y对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到例1.求函数x的值域。解:显然函数的值域是：(,0) (0,)例2.求函数y 3 dx的值域。解：;& 02
6、.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。2例3.求函数y x 2x 5，x 1，2的值域。X 0,3 & 3故函数的值域是：，3解：将函数配方得:y (x 1)2 4.x 1,2由二次函数的性质可知：当 x=1时，y min 4,当x 1时，y max 8故函数的值域是：4 , 83 .判别式法1 x x2y“2例4.求函数 1 x的值域。解：原函数化为关于x的一兀二次万程2(y 1)x(y 1)x 0(1)当 y 1 时，x r13(1)2 4(y 1)(y 1) 0 解得：2 y 21(2)当 y=1 时，x 0 ,而131322故函数的值域为22例5.求函数V xVx(2 x)的
7、值域。22解：两边平方整理得:2x2(y 1)x y 0(1)x r4(y 1)2 8y 0 解得：1 V2 y 1访“ 2但此时的函数的定义域由x(2 x) 0 ,得 0 x 2-Ov 2由 0 ,仅保证关于x的方程：2x 2(y0, 2上，即不能确保方程(1)有实根，由X12，2 24、20,2即当X12. 2 24 ,2时，原函数的值域为:0,1 、 221)x y0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0求出的范围可能比 y的实际范围大，故不能确定此函数1 3的值域为22 O可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 0 x 2 y x vx(2 x) 0 ymin 0，y 1 7二代
8、入方程(1)解得:注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的 部分剔除。4.反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。3x 4例6.求函数5x 6值域x 4 6V4 6y3 x& yT二 x解：由原函数式可得：5y 3则其反函数为：5x 3 ,其定义域为：5故所求函数的值域3,为： 55.函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。xe 1 y 例7.求函数 e1的值域。解：由原函数式可得:y10.-. y10解得:1 y1故所求函数的值域为(1，1)3y sin
9、x(x )1sinx(x ) 3y 即4y2 1222 27 y4 , 444故函数的值域为44cosxy 例8.求函数sm x 3的值域。解：由原函数式可得：ysinx cosx 3y,可化为： 3y1 1.x R/. sinx(x ) 1，1即“1 解得：6 .函数单调性法x 5例9.求函数y 2 log3 Vx 1(2 x 10)的值域。解：令y12x 5，y2 log3dx 1则y1,y2在2, 10上都是增函数所以y y1y2在2, 10上是增函数当x=2时,y min2 log 3。2 1 q58 当 x=1o 时，ymax 2 log 3 J933故所求函数的值域为:18,33例
10、10.求函数y X 1 4X 1的值域。2y 解：原函数可化为：x 1 x 1令y1 x 1，y2增函数所以y y1, y2在1，上也为无上界的增函数ox 1,显然y1,y2在1,上为无上界的所以当x=1时，y y12y2有最小值近,原函数有最大值 J2,2显然y 0,故原函数的值域为(0, 27 .换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元 法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例11.求函数y x x 1的值域。解：令x1 t,(t 0)则 x t2 12123y t t 1 (t )24又t 0 ,由二次函
11、数的性质可知当t 0时，ymin0时，y故函数的值域为1,)例12.求函数y x 2 V1 (x 1)的值域。2解：因1 (x D0即(x1)21故可令cos ,2y cos 1,1 cossincos2sin( ) 104,0故所求函数的值域为0,12y例13.求函数1的值域。解：原函数可变形为:2x1 x2 x2 yx可令xtg，则有2x2 xsin 2 ,311 x22 cos1y -sin 2 cos221-sin 448时,y max8时,y min122的值域。而此时tan有意义。故所求函数的值域为例 14.求函数 y (sinx 1)(cosx 1)解：y (sinx 1)(co
12、sx 1) sin x cosxsin xcosx 1 令 sin xcosxt，则1 z.2 sin x cosx (t21)y 2(t21)2(t1)2sin xcosx、2 sin(xx/4)且,12 2可得:t *2 时,y maxt 32时,2故所求函数的值域为15.求函数2解：由5 xx 一 5 cos ,0,y5 cos.10sin(-) 44故所求函数的值域为:45,4/ 4 时，y max4师当时，y minJ08 .数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结 合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目例16.求函数y (x 2)(x 8)的值域。解：原函数可化简得:y |x 2| |x 8|上式可以看成数轴上点P (x)到定点A (2) , B( 8)间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，y |x 2| |x 8| |AB | 10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y |x 2| |x 811AB 1 10故所求函数的值域为：10，例亿求函数y x6x 13 %x4x 5的值域。解：原函数可变形为：上式
