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1、导数的几何意义教案【教学目标】知识与技能目标：（1）使学生掌握函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在处的切线的斜率。（数形结合），即：切线的斜率(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。过程与方法目标：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。【教学手段】采用计算机（Flash,Powerpoint），实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。【教学重点与难点】重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。难点：发现、理解及应
2、用导数的几何意义【教学过程】（一）作业点评，承上启下： 问题：在高台跳水运动中，秒时运动员相对于水面的高度是（单位：），求运动员在时的瞬时速度，并解释此时的运动状态；在时呢？教师点评作业的优点及不足；由学生甲解释，时运动员的运动状态。（说明：实例引入，承上启下，有效铺垫，直接过渡）（二）课题引入，类比探讨：由导数的物理意义是瞬时速度，我们知道了导数的本质。问（一）：导数的本质是什么？写出它的表达式。学生活动：在“学生动手实践”中，学生写出：导数的本质是函数在处的瞬时变化率，即： （说明：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生
3、“发现”,感知导数的几何意义奠定基础） 问（二）：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要结合“数”： / 即：导数的代数表达式，并回忆求导数的步骤。 问（三）求导数的步骤有哪几步?教师引导学生回答：第一步：求平均变化率；第二步：当趋近于0时，平均变化率无限趋近于的常数就是。（回归本质，数形结合）教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比地，也可以分两个步骤：问（四）：第一步：平均变化率的几何意义是什么？请在函数图像中画出来；学
4、生动手活动：见“学生动手实践”。由学生乙回答：平均变化率的几何意义是割线AB的斜率。教师提醒学生A、B两点的坐标必须写清楚。问（五）：第二步：时，割线有什么变化？请画出来。学生动手活动：见“学生动手实践”。教师展示学生作品，引导学生观察：类比数的变化：，当，割线有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在处的切线，请把它画出来。学生动手活动：见“学生动手实践”。教师展示学生作品， 引导学生发现，并说出：（形），割线切线，则割线的斜率切线的斜率 由数形结合，得切线的斜率所以，函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在处的切线AD的斜率。（数形结合）。（说明：动手实践，探索发现。使学生经
5、历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解 “导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。） （三） 动画演示，总结归纳1演示Flash动画，将同学们画图、思考、数形结合的过程展示出来。2 教师提问：此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？展示Powerpoint动画。初中平面几何中，圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。 圆是一种特殊的曲线。这种定义并不适用于一般曲线的切线。例如上图中，直线虽然与曲线有惟一的公共点，但我们不能认为它与曲线相切；而另一条
6、直线虽然与曲线有不只一个公共点，我们还是认为它是曲线的切线。因此，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一），适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。 3根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以用在点P处的切线近似代替，这是微积分中重要的思想方法以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对象）。（动画演示：通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图，图象放得越大，这一小段曲线看起来就越象直线；大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”）教师引
7、导学生看书，理解，在课堂教学中紧密结合教材。（说明：适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对“导数的几何意义”形象、直观地理解，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维（深层内化）有效结合，增强学生的思维能力训练，提高教学效率和教学质量。）（四）训练巩固、加强理解：1在函数的图像上，（1）用图形来体现导数，的几何意义，并用数学语言表述出来。（2）请描述、比较曲线在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？ （说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）2如
8、图表示人体血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的函数图像，根据图像，估计（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）（五）抽象概括，归纳小结：1抽象概括：由练习2抽象概括出导函数（简称导数）的概念： 是确定的数（静态），是的函数（动态）由（特殊一般） （静态动态）（说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想2归纳小结：由学生进
9、行开放式小结：（1）函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在处的切线AD的斜率。（数形结合），即：切线的斜率（2）利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。（3）导函数（简称“导数”）的概念。（六）作业布置，分层要求：1习题P10A5,6.B2,3. 2如图（函数图像参见“学生动手实践”，此略）是利用信息技术画出的函数的图像，请根据图像，估计时，气球的瞬时膨胀率。有什么发现？ 3请给出求函数在处的切线方程的一个算法，并小组自编四个求切线的题目。（探索：若把3 “在点 处”改为“过点”，算法有何不同？并小组自编四个求切线的题目。）学生动手实践提问：1导数的本质
10、是什么？请写数学表达式。 导数的本质是函数在 处的 即： 函数平均变化率的几何意义是什么，请在函数图像中画出来。1）平均变化率的几何意义： 2）当时，观察图形变化。 3导数的几何意义是什么？导数的几何意义是 练习1在函数的图像上，（1）说说，的几何意义。（2）请描述、比较曲线在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？ (1) (2)2如图表示人体血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的函数图像，根据图像，估计(min)时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)，把数据用表格的形式列出。0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率抽象概括：归纳小结：附：动态直观消除神秘，启发点
11、拨贯通曲直导数的几何意义课例点评广州市教育局教学研究室 许世红本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义。它能过直观具体的形象帮助学生消除对极限的神秘感，深刻理解导数的内涵和意义，形成对于变量与常量之间相互联系与转化的认识，感受和体验辩证思维活动的过程，它对于学生深化数形结合认识，了解辩证思维的方式具有十分典型和重要的功能。本课的设计和教学较好地反映了以上意图，较好地体现出高中数学课程标准所倡导的教学理念，主要特色如下：1 教学思路清晰，学习重点突出本节课围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开。首先，
12、教师从点评简单的作业“求高台跳水运动中某时刻的瞬时速度并描述该时刻的运动状态”入手，复习导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义；然后，类比“平均变化率瞬时变化率”的研究思路，运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的几何意义“导数是曲线上某点处切线的斜率”。完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”，从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用
13、的广泛性。整节课的教学思路清晰，突出了对主干知识的深入研讨。虽然活动的每一个环节和片断基本上以教材内容为主线展开，但每一个知识、每一个发现，教师总是设法由学生自己得出，教师只是在关键处加以引导，尤其是，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，充分体现出学生才是学习的主角这一新课程理念。2 设问合乎情理，探究活动自然著名哲学家波普尔说“问题构成了一切科学探索活动(包括数学活动)的实际出发点”。在课堂上，只有通过适当的设问，才能在教学中真正实现“人人开动脑筋,积极思考”。本节课，教师十分注意提问的艺术，设计的问题围绕“怎样想到导数的几何意义就是切线的斜率”而进行，引导学生充分经历“提出问题（从数的角度研究了导数后，从形的角度如何研究导数？）寻求想法实施想法发现规律给出定义
