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1、内装订线外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_人教版2023-2024学年度第二学期期末测试卷及答案高一 数学（满分：150分 时间：120分钟）题号一二三四总分分数一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数满足:,其中为虚数单位,则的共轭复数在复平面对应的点的坐标为( )A. B. C. D. 2. 已知平面向量,且,则( )A. 2B. 3C. 4D. 53. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列说法正确的是( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则4. 如图是我国古代量粮食的器具“升”,其形状是正四
2、棱台,上、下底面边长分别为和,高为.“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平,这叫“平升”.则该“升”的“平升”约可装( )A. B. C. D. 5. 在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知的面积为,则的值为( )A. B. C. 2D. 46. 中,点为上点,且,若,则( )A. B. C. D. 7. 如图,正方体的棱长为1,设直线与分别交于点,且,则线段的长为( ) A. B. C. D. 8. 为调查某地区中学生每天睡眠时间,采用样本量比例分配的分层随机抽样,现抽取初中生800人,其每天睡眠时间均值为9小时,方差为1,抽取高中生1200人,其每天睡眠时间均值为8小时,方差为,则估
3、计该地区中学生每天睡眠时间的方差为( )A. B. C. D. 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 已知平面向量,则下列说法正确的是( )A. B. 在方向上投影向量为C. 与垂直的单位向量的坐标为或D. 若向量与非零向量共线,则10. 有一组从小到大排列的样本数据,若将第1个数据减1,最后一个数据加2,其余数据不变,得到新的一组数据,则下列统计量中,相比原来的数据变大的有( )A. 极差B. 中位数C. 平均数D. 方差11. 一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1,2,3,
4、4,抛掷该正四面体两次,记事件为“第一次向下的数字为1或2”,事件为“两次向下的数字之和为奇数”,则下列说法正确的是( )A. 事件与事件互斥B. 事件发生的概率为C. 事件与事件相互独立D. 事件发生的概率为112. 在棱长为2的正方体中,分别是棱BC,的中点,点满足,下列结论正确的是( )A. 若,则平面MPQB. 若,则过点,的截面面积是C. 若,则点到平面MPQ的距离是D. 若,则AB与平面MPQ所成角的正切值为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 抽取某校高一年级10名女生,测得她们的身高(单位:cm)数据如下:163 165 161 157 162 165 158
5、 155 164 162,据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是_.14. 在中,D为BC上一点,AD为的平分线,则_.15. 九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑(bi no).已知四面体为鳖臑,平面,且,若此四面体的体积为1,则其外接球的表面积为_.16. 已知正方形的边长为2,为对角线的交点,动点在线段上,点关于点的对称点为点,则的最大值为_.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本题满分10分） 已知、分别为三个内角、的对边,.(1)求;(2)若,的面积为,求、.18.（本题满分12分） 某海域的东西方向上分别
6、有,两个观测点(如图),它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号,经探测得知点位于点北偏东,点北偏西,这时位于点南偏西且与相距海里的点有一救援船,其航行速度为海里/小时. (1)求点到点的距离;(2)若命令处的救援船立即前往点营救,求该救援船到达点需要的时间.19. （本题满分12分） 青岛二中高一年级的同学们学习完统计与概率章节后,统一进行了一次测试,并将所有测试成绩(满分100分)按照进行分组,得到如图所示的频率分布直方图,已知图中. (1)估计测试成绩的上四分位数和平均分;(2)按照人数比例用分层随机抽样的方法,从成绩在内的学生中抽取4人,再从这4人中任选2人,求这2人成绩都在内的概率
7、.20. （本题满分12分） 如图,在四棱锥中,平面,底面平行四边形,.(1)证明:平面;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.21. （本题满分12分） 甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛,每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词概率;(2)求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率.22. （本题满分12分） 已知四棱锥的底面是梯形,平面,.(1)求点A到平面的距离;(2)求平面与平面的夹角的大小.参考答案与试题解析一、选择题:本
8、题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. A【解析】【分析】先由求出复数,从而可求出其共轭复数,进而可得答案【详解】解:由,得,所以,所以其在复平面对应的点为,故选:A2. C【解析】【分析】由向量的模的定义和向量垂直的性质,求得,再由向量的平方即为模的平方,化简计算可得所求值.【详解】解:由平面向量,可得,由,可得,即,则,故选:.3. A【解析】【分析】由空间中线面垂直、面面垂直、线面平行的的性质以及线线、线面、面面的位置关系即可得出.【详解】因为是两条不同的直线,是两个不同的平面,对于A,若,则由线面垂直的性质定理得,故A正确.对于B,若
9、,则由面面垂直、线面垂直的性质得或,故B错误.对于C,若,则与相交、平行或,故C错误.对于D,若,则与相交或平行,故D错误.故选:A4. C【解析】【分析】根据台体体积计算公式即可计算.【详解】由台体的体积公式可知,故选:C.5. D【解析】【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理即可求解.【详解】因为的面积为,所以,又,则,故选:D.6.D【解析】【分析】根据题意,利用向量的线性运算法则,准确化简,即可求解.【详解】如图所示,因为,由向量的线性运算法则,可得因为,所以,所以.故选:D.7. B【解析】【分析】把异面直线的距离转化为直线到平面的距离,进而转化为点到平面的距离,然后利用等体积法即可
10、求出答案.【详解】因为直线与分别交于点,且,则线段的长即为异面直线的距离,连接,由条件可知,又因为平面,平面,所以平面,所以异面直线的距离,即为直线到平面的距离,由平面可知,直线到平面的距离等于到平面的距离,设到平面的距离为,由题意可知平面,所以到平面的距离为的长,由得,由正方体的棱长为1,可知,所以,所以,所以,所以线段的长为.故选:B. 8. B【解析】【分析】根据方差的计算公式求得正确答案.【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为:(小时),该地区中学生每天睡眠时间的方差为:.故选:B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得
11、5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. ACD【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算,主要考查了两向量的夹角、投影向量、向量的平行与垂直的基本知识,一一验证即可.【详解】由题意知,则,因此A正确;在方向上的投影向量为,因此B错误;与垂直的单位向量的坐标为或,因此C正确;因为,若向量与向量共线,则,解得,因此D正确.故选:ACD.10. ACD【解析】【分析】根据极差、中位数、平均数、方差的定义计算即可得出得出答案.【详解】极差比原数据大3,故A正确;中位数不变,故B不正确;,所以平均数变大,故C正确;因为最小的数据变小,最大的数据变大,其余数据不变,显然新数据较原数据相对于各自的平
12、均值波动变大,由方差的意义易知方差也变大了,故D正确.故选:ACD.11. BC【解析】【分析】根据古典概型的概率公式判断B,利用特例说明A,计算、,即可判断C,根据判断D.【详解】由题意可得,故B正确;当两次抛掷的点数为时,事件与事件同时发生,所以事件与事件不互斥,故A错误;事件与事件同时发生的情况有共4种,所以,又,所以,故事件与事件相互独立,故C正确;,故D错误.故选:BC.12. BD【解析】【分析】时有M与A重合,对于A选项,可以利用反证法判定;对于B选项,根据平面的性质计算即可;时,M为AB中点,对于CD选项,建立合适的空间直角坐标系,利用空间向量处理即可.【详解】如图所示,时有M
13、与A重合,对于A选项,延长PQ交BB1于L,连接AL,易得平面平面MPQ=AL,若平面MPQ,则,显然,且B、L不重合,矛盾,故A错误;对于B项,连接AD1、D1Q,易知平面APQD1即该截面,显然该截面为等腰梯形,易得,故B正确; 如图所示,时,M为AB中点,以D为中心建立空间直角坐标系,则,设平面MPQ的法向量为,则,令,则,故对于C项,设点到平面MPQ的距离为,则,即C错误;对于D项,设AB与平面MPQ所成角为,则,所以,即D正确.故选:BD 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 【解析】【分析】计算,确定从小到大第个数即可.【详解】,第25百分位数是从小到大第个数为.故答案为:14. 【解析】【分析】在中,根据正弦定理可求出,从而可得,即得.【详解】如图,在中,由正弦定理可得,又,又为的平分线,且,又,.故答案为:2. 15. 【解析】【分析】由已知,可根据题意,设,然后根据体积为1,求解出,然后把鳖臑外接球可还原在以为长宽高的长方体中,可根据长方体的外接球半径是其体对角线的一半求解出外接球半径,从而求解外接球表面积.【详解】由已知,因为平面,可令,所以,所以,所以,由已知,鳖臑的外接球可还原在以为长宽高的长方体中,设其外接球半径为,所以其外接球的半径,所以其外接球的表面积.故答案为:.16. 1【解析
