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1、 DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列第6讲直角三角形边角关系一、 导入二、 知识点回顾1锐角三角函数定义在直角三角形ABC中,C=900,设BC=a,CA=b,AB=c,锐角A的四个三角函数是: (1) 正弦定义:A的正弦=;(2)余弦的定义:A的余弦= ,(3)正切的定义:A的正切=这种对锐角三角函数的定义方法,有两个前提条件:(1)锐角A必须在直角三角形中,且C=900; (2)在直角三角形 ABC 中,每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则,不存在上述关系2、锐角三角函数关系: (1) 互为余角的三角函数关系若A+B=90,则sinA=cosB,cosA=sinB.即: sin
2、(90A)=cosA, cos(90A)=sin A tan(90A)= cotA cot(90A)=tanA (2) 同角的三角函数关系 平方关系:sin2 A+cos2A=l 倒数关系:tanAcotA=1 商数关系: 3、特殊角的三角函数: 00300450600sinA0cosA1tanA014.三角函数的大小比较 (1) 同名三角函数的大小比较正弦、正切是增函数三角函数值随角的增大而增大,随角的减小而减小余弦、余切是减函数三角函数值随角的增大而减小,随角的减小而增大。 (2) 异名三角函数的大小比较tanASinA,由定义,知tanA=,sinA=;因为bc,所以tanAsinAco
3、tA cosA由定义,知cosA=,cotA=;因为 ac,所以cotAcosA若0 A45,则cosAsinA,cotAtanA;若45A90,则cosAsinA,cotAtanA5.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下文的叫俯角(如图)6.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图)注:仰角、俯角、方位角的区别是:三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的。7.方向角:相对于某一正方向的水平角(如图) 北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向;北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向;南偏本
4、等其他方向角类似。8、坡角与坡度:坡度:坡面与水平面所成角的度数(如图,角为坡角)坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图,为坡比)注:坡面的铅直高度h与水平宽度的比为坡度(或坡比),用字母i表示,即i= ,坡面与水平夹角叫 坡角 ,即坡度等于坡角的正切(tan= i )。工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示,坡面的铅直高度h与水平宽度的比为坡度(或坡比),坡度是坡角的正切,坡度越大,坡面越陡三、 专题讲解 【例1】计算 (1) (2) (3) ,其中; 解:1、设x=()-1+(sin73)0+tan21tan69,求的值2、+.(sin2113-tan21)0-【例2】一副直角三角板如图放
5、置,点C在FD的延长线上,ABCF,F=ACB=90, E=45,A=60,AC=10,试求CD的长【答案】 解:过点B作BMFD于点M在ACB中,ACB=90, A=60,AC=10,ABC=30, BC=AC tan60=10,ABCF,BCM=30在EFD中,F=90, E=45,EDF=45,综合实践课上,小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段,两岸ABCD,河岸AB上有一排大树,相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得=36,然后沿河岸走50米到达N点,测得=72。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR(结果保留两位有效数字).(参考数据:
6、sin 360.59,cos 360.81,tan360.73,sin 720.95,cos 720.31,tan723.08) 【答案】解:过点F作FGEM交CD于G. ABCDEFMNR则MGEF20米. FGN36.GFNFGN723636.FGNGFN,FNGN502030(米).在RtFNR中,FRFNsin30sin72300.9529(米).【例3】中华人民共和国道路交通管理条例规定:“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶(如图所示),在距离路边25米处有“车速检测仪O”,测得该车从北偏西60的A点行驶到北偏西30的B点,所用时
7、间为15秒(1)试求该车从A点到B的平均速度;(2)试说明该车是否超过限速(1)要求该车从A点到B点的速度只需求出AB的距离,在OAC中,OC=25米OAC=90-60=30,OA=2CO=50米由勾股定理得CA=25(米)在OBC中,BOC=30BC=OB.(2BC)2=BC2+252BC=(米)AB=AC-BC=25-=(米)从A到B的速度为1.5=(米/秒)(2)米/秒69.3千米/时69.3千米/时70千米/时该车没有超过限速【点评】此题应用了直角三角形中30角对的直角边是斜边的一半及勾股定理,也是几何与代数的综合应用 如图,自来水厂A和村庄B在小河l的两侧,现要在A,B间铺设一条输水
8、答道.为了搞好工程预算,需测算出A,B间的距离.一小船在点P处测得A在正北方向,B位于南偏东24.5方向,前行1200m,到达点Q处,测得A位于北偏西49方向,B位于南偏西41方向.(1)线段BQ与PQ是否相等?请说明理由;(2)求A,B间的距离.(参考数据:cos410.75)【答案】(1)B位于P点南偏东24.5方向,BPQ=65.5,又B位于Q点南偏西41方向, PQB=49, PBQ=65.5, PQ=BQ(等角对等边),(2)点P处测得A在正北方向,在RtAPQ中,AQ=1600,由(1)得PQ=BQ=1200,在点Q处,测得A位于北偏西49方向,B位于南偏西41方向,AQB=90,
9、在RtABQ中,AB=(m).ACDBEFG【例4】.(2011山东德州20,10分)某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度如示意图,由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为,在A和C之间选一点B,由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为测得A,B之间的距离为4米,试求建筑物CD的高度ACDBEFG【答案】解:设建筑物CD与EF的延长线交于点G,DG=x米 1分在中,,即 2分在中,即 3分, 5分 6分解方程得:=19.2 8分 答:建筑物高为20.4米 10分(2011江苏宿迁,23,10分)如图,为了测量某建筑物CD的高度,先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角
10、是30,然后在水平地面上向建筑物前进了100m,此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45已知测角仪的高度是1.5m,请你计算出该建筑物的高度(取1.732,结果精确到1m)(第23题)【答案】解:设CExm,则由题意可知BExm,AE(x100)m 在RtAEC中,tanCAE,即tan30,3x(x100)解得x5050136.6CDCEED(136.61.5)138.1138(m)答:该建筑物的高度约为138m【例5】(2011四川凉山州,23,8分)在一次课题设计活动中,小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案;大坝的横截面为等腰梯形,如图,坝高10m,迎水坡面的坡度,老师看后,从力学
11、的角度对此方案提出了建议,小明决定在原方案的基础上,将迎水坡面的坡度进行修改,修改后的迎水坡面的坡度。(1) 求原方案中此大坝迎水坡的长(结果保留根号)(2) 如果方案修改前后,修建大坝所需土石方总体积不变,在方案修改后,若坝顶沿方向拓宽2.7m,求坝顶将会沿方向加宽多少米?ABCED23题图【答案】解:过点作于。 在中,且。 , 过点作于。 在中,且。 , ABCMDGFEN 如图,延长至点,至点,连接,方案修改前后,修建大坝所需土石方总体积不变。 。来源:Zxxk.Com即 。 答:坝底将会沿方向加宽。如图,某县为加固长90米,高5米,坝顶宽为4米,迎水坡和背水坡的坡度都是1:1的横断面是
12、梯形的防洪大坝要将大坝加高1米,背水坡坡度改为1:1.5已知坝顶宽不变(1)求大坝横截面面积增加多少平方米?(2)要在规定时间内完成此项工程如果甲队单独做将拖延10天完成,乙队单独做将拖延6天完成现在甲队单独工作2天后,乙队加入一起工作,结果提前4天完成求原来规定多少天完成和每天完成的土方数? 四、 巩固练习:(1) 填空1、(2011浙江衢州,13,4分)在一次夏令营活动中,小明同学从营地出发,要到地的北偏东60方向的处,他先沿正东方向走了200m到达地,再沿北偏东30方向走,恰能到达目的地(如图),那么,由此可知,两地相距 m. (第1题)【答案】2002、如图,有两个长度相同的滑梯(即B
13、C=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则ABC+DFE=_(2) 选择3、(2011四川绵阳10,3)周末,身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园,准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图,小芳站在A处测得她看塔顶的仰角为45,小丽站在B处测得她看塔顶的仰角为30.她们又测出A、B两点的距离为30米。假设她们的眼睛离头顶都为10cm,则 可计算出塔高约为(结果精确到0.01,参考数据:=1.414,=1.73)A.36.21 米 B.37. 71 米 C.40. 98 米 D.42.48 米【答案】D4、如图28221,在ABC中,C=90,点D在BC上,CD=3,AD=BC,且c