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1、文献综述毕业设计（论文）文献综述院 系：应用数学学院年级专业：09信息与计算科学姓 名：李凤英学 号：0910012137指导老师评语：指导教师签名：年 月 日实数连续性定理的等价性证明文献综述【内容摘要】实数集是一个完备的数集，实数连续性定理包括：确界定理、单调有界收敛定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西准则。 这七个定理可由确界存在性定理出发依次证明，用致密性定理证明柯西准则的充分性，再由柯西准则充分证明确界存在性定理，形成一个封闭的循环。同时，对这个环上的任意两个定理都可以证明其等价性，它们都刻画了实数集R的连续性。本文建立在微积分的基础上，探讨了数学分析中的这个重
2、点、难点，对实数连续性定理的等价性证明进行了深入的学习。【关键字】确界定理 单调有界收敛定理 区间套定理 有限覆盖定理 聚点定理 致密性定理 柯西准则 实数连续性第一章 导言数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是实数的连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。数学分析课程是一门面向数学类专业的基础课。学好数学分析是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程的必备的基础。作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性
3、决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。数学分析在实数完备性理论体系上的严格化和精确化，确立了它在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化、逻辑推理、最优分析、符号运算等。这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。综合所参考的文献，也让我们对实数连续性定理的等价性有了更深入的了解。第二章 研究现状十七世纪，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼茨各自独立发现，推动了科学技术的前进。然而，贝克莱对牛
4、顿理论的攻击，将无穷小量嘲笑为“消失的量的灵魂”，却真正抓住了牛顿理论的缺陷。一方面，微积分在应用中大获成功；一方面其自身却存在着逻辑矛盾。至十九世纪，由十七、十八世纪积累下来的矛盾到了非解决不可的程度。使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。1823年，柯西给出了“柯西收敛定理”。而早在1817年，波尔察诺就确切地陈述了有界实数集的最小上界（即上确界）的定义。利用他的思想，魏尔斯特拉斯在19世纪60年代证明了“波尔察诺魏尔斯特拉斯紧致性定理”。海涅于1872年提出“有限覆盖定理”，波莱尔于1895年完善并证明了“有限覆盖定理”。187
5、2年，实数的三大派理论：戴德金 “分划”理论，康托的“基本序列”理论及魏尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现，1892年，巴赫曼提出了建立实数理论的一个重要原理区间套原理。由此，沿柯西开辟的道路建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作，从而使微积分学这座数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。1999年,在数学分析七大定理的互相证明1一文中，作者李寒对实数连续性的7个基本定理进行了表述，其表述如下：确界定理：在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。单调有界定理：若数列单调递增（递减）有上界（下界）,则数列收敛，即单调有界函数必有极限
6、。区间套定理：若是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得 ,即 ,有限覆盖定理：实数闭区间的任意一个覆盖H，必存在有限的子覆盖。紧致性定理：有界数列必含有收敛子数列。 聚点定理：实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。柯西收敛准则：实数列有极限的充分必要条件是：对任意给定的，存在正整数，当时，有成立。2000年，在关于实数连续性的注记2一文中，作者姜本源、石艳霞提出，数直线和坐标平面的连续性奠定了极限理论乃至整个微积分学的基础。人们发现了很多命题去描述这种连续性，而这些命题则是我们所要讨论的实数连续性的七个基本定理。这七个基本定理虽然数学形式不同，但是彼此之间都是等价的。在很多数学分析教
7、材中，由于教学课时的需要和限制，一般都没有对命题的等价性做出完整的证明，而此文则对运用循环证明的方法对几个基本定理的等价性做出了证明，以供初学者参考。2002年，在Pure solution mathematical analysis exercises3一文中，也同样对实数连续性六个基本定理有详细的定义及描述。而后，作者用确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、紧致性定理、柯西收敛定理依次证明除了其本身以外的其他五个实数连续性基本定理。在2003年朱永生、林立军基于实数连续性定理等价性的新探讨4一文中提到：所谓实数是连续的，从集合直观上看，即是直线上的点是连着的，其中没有“洞”。而
8、有理数就不是连续的，比方平方小于3的有理数的集合，在有理数集中没有上确界，即有理数是有“洞”的，因为不属于有理数集。而在实数域中，平方小于3的实数的集合，在实数域中有上确界，即实数域没有“洞”，实数是连续的。综上所述，严格的数学定义可描述为：所谓实数的连续性，就是实数集关于极限的运算是封闭的。如上例实质就是： 在有理数集内不存在极限，而在实数集中存在极限。再如单调有界数列在有理数集内不存在极限，而在实数集中则存在极限，即实数集关于极限的运算封闭。实数的连续性是极限理论的基础，而描述实数连续性的方式有很多，实数连续性定理即为其中的几种表现形式，同时又是构筑极限理论的重要基础。文章采用一种新的方式
9、，对实数连续性七个定理的等价性加以严格的证明，真正从理论上挖掘其等价性的内涵，也另辟新径对实数连续性进行了新的探讨。2007年，刘三阳、于力、李广民在数学分析选讲5一书第二讲中，首先简单地为我们介绍了实数系的一些基本性质，然后用不同的方式从各个角度刻画了实数系非常重要的特性连续性，并详尽地为我们证明实数连续性六个基本定理是相互等价的。在很多数学分析教材中虽然对实数连续性做了基本的介绍，但是并不够完善。而在本书中则更完善地介绍了实数连续性的七个基本定理。2009年，刘名生、冯伟贞、韩彦昌在数学分析(一)6一文中，首先在第一章为详细介绍了确界定理和数列收敛的判别法，从而让我们深入地了解实数与数列极
10、限，在第六章中又详细介绍了实数集的稠密性与完备性。此书在第一章中引人确界定理作为公理，并以此为基础证明了单调有界定理、致密性定理、柯西收敛准则，从而详细地为我们介绍了实数集的连续性。实数集的连续性使极限理论有了牢固的基础，是实数集有别于有理数集的重要特征。2009年，Real continuity and completeness of some equivalence theorem of7一文中，作者为我们列举了实数连续性七个基本定理，并对定理进行了循环互证，从而体现了实数连续性定理的等价性。同样，在2009年实数连续性基本定理的等价性8一文中，吉米提依明以柯西收敛准则作为公理，由柯西收敛
11、准则出发，依次证明确界定理，单调有界定理，闭区间套定理，致密性定理，据点定理，有限覆盖定理，最后再利用有限覆盖定理证明柯西收敛准则，完成实数连续性定理的循环证明，从而推出，实数系连续性的七个基本定理相互等价。2009年，彭培让在致密性定理证明其他实数连续性基本定理9一文中，作者使用“一证多”的方式，用致密性定理同一证明了其他实数连续性的基本定理。黄永辉在数学分析选讲10一书中，同样也对实数连续性做出了介绍，而与其他介绍数学分析的书不同的是，数学分析选讲中实数连续性部分的内容不仅仅体现在定理的等价性证明上，作者更为我们总结了几个定理证题的基本方法，方法如下：1用闭区间套定理证题当需要找一个具有某
12、种性质的特殊数的时候，可以考虑使用闭区间套定理将它“套”出来。2用有限覆盖定理证题根据所证的问题，构造一个有某种性质的开区间集，对使用有限覆盖定理，将局部性质延拓到全区间上。3用确定定理、子列定理证题在需要论证一个数的存在，或者需要寻找具有某种性质的数的时候，可以考虑使用确界定理。要讨论一个有某种性质的点的存在性，可以考虑子列定理，用子列定理证明一个命题，通常要根据需要去构造一个具有某种性质的点列，这个点列不要求其收敛，但是要有界。4用聚点定理证题当需要找一个具有某种性质的特殊数的时候，可以考虑使用聚点原则。一般的做法是，构造一个有性质的无限有界点集，由聚点原则，有聚点存在，再证明这个据点具有
13、性质。除了以上所述基本方法，数学分析选讲还为我们列举了定理证题的许多经典例题，以便我们更深入学习实数连续性定理的等价性证明。而在The Way of Analysis11一文中，作者则为我们介绍了实数系一些其他的研究版本与方法，其中详细为我们介绍无限小数展开形式和戴德金分割，这为我们学习实数系介绍了更多更为详尽的数学方法。第三章 总结与展望正如在任何语言中，同一思想可以用多种表达方法一样，同一个数学事实可以有不同的表达方式和不同的证明方法。而在证明过程中，我们不只检验了定理，而且对定理有了更深的理解。这七个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其
14、中两个定理，它们可以相互证明。它们在证明过程中相互联系。对同一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，有的用的是类似的证明方法，有的出发点与站的角度不同，但最后却都能回归到同一种方式。而有时使用同一个定理，也可能有不同的方法。即使方法相同，还可以有不同的细节。它们既有互通的地方又各有特点，值得我们去注意与发现。实数连续性的七个基本定理从不同的角度刻画了实数系的连续性,在理论上具有重要价值。在本文的撰写过程中，我们能更深入熟悉掌握数学分析的基本理论知识；深入探讨实数连续性，能够培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；锻炼养成熟练的运算能力与技巧，并应用实数连续性性这一工具解决实际应
15、用问题的能力。参考文献1 李寒.数学分析七大定理的互相证明J.气象教育与科技,1999,51(3),25-27.2 姜本源,石艳霞.关于实数连续性的注记J.鞍山钢铁学院学报,2000,23(5),367-369.3 WuLiangSen.Pure solution mathematical analysis exercises M.Science education press,2002 (secondedition).4 朱永生、林立军.基于实数连续性定理等价性的新探讨J.2003,24(2),55-56.5 刘三阳,于立,李广民.数学分析选讲M.科学出版社,2007.6 刘名生,冯伟贞,韩彦昌.数学分析(一)M.科学出版社,2009.7 Zhang jing. Real continuity and completeness of some equivalence theorem of J. Journal of Beijing union university (natural science edition), 2009, (02)
