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1、几种证明全等三角形增加辅助线方法计划全等三角形复习课适用学科适用地域知识点数学通用全等三角形的性质和判断方法适用年级课时时长分钟初中二年级120熟练掌握全等三角形的性质和判断方法，并学会用应用授课目的学会做辅助线证明三角形全等，常用的几种作辅助线的方法授课重点经过学习全等三角形，提高学生观察能力和解析能力授课难点授课过程构造全等三角形几种方法在几何解题中，常常需要增加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。一、延长中线构造全等三角形例 1. 如图 1， AD 是ABC的中线，求证： AB AC 2AD。证明：延长 AD 至 E，使 AD DE，连接 CE。如图 2。A
2、D 是 ABC的中线， BDCD。又 1 2， AD DE， ABD ECD SAS。ABCE。在 ACE中， CEACAE，AB AC2AD。二、沿角均分线翻折构造全等三角形例 2. 如图 3，在 ABC中， 1 2， ABC2C。求证： AB BDAC。证明：将 ABD沿 AD 翻折，点 B 落在 AC上的 E 点处，即：在 AC上截取AEAB，连接 ED。如图 4。 1 2，ADAD，ABAE， ABD AED SAS。BD ED， ABC AED2C。而 AED C EDC， C EDC。所以 EC EDBD。AC AEEC， ABBDAC。三、作平行线构造全等三角形例 3. 如图 5
3、， ABC中， ABAC。 E 是 AB 上异于 A、 B 的任意一点，延长AC到 D，使 CDBE，连接 DE交 BC于 F。求证： EFFD。证明：过 E作 EMAC交 BC于 M，如图 6。那么 EMB ACB， MEF CDF。AB AC， B ACB。 B EMB。故 EMBE。BE CD， EM CD。又 EFM DFC， MEF CDF， EFM DFC AAS。 EFFD。四、作垂线构造全等三角形例 4. 如图 7，在 ABC中， BAC90， ABAC。M 是 AC边的中点。 AD BM 交 BC于 D，交 BM 于 E。求证： AMB DMC。证明：作 CFAC交 AD 的
4、延长线于 F。如图 8。 BAC90， ADBM， FAC ABM90 BAE。ABAC， BAM ACF 90， ABM CAFASA。 F AMB， AMCF。AMCM， CFCM。 MCD FCD45， CDCD， MCD FCDSAS。所以 F DMC。 AMB F DMC。五、沿高线翻折构造全等三角形例 5. 如图 9，在 ABC中， ADBC于 D， BAD CAD。求证： ABAC。证明：把 ADC沿高 AD 翻折，点 C 落在线段 DB 上的 E 点处，即：在 DB上截取 DEDC，连接 AE。如图 10。 ADC ADESAS。AC AE， C AED。 AED B， C B
5、。从而 ABAC。六、绕点旋转构造全等三角形例 6. 如图 11，正方形 ABCD中， 1 2，Q 在 DC上， P 在 BC上。求证：PAPB DQ。证明：将 ADQ绕点 A 按顺时针方向旋转90，使 AD 与 AB 重合，获取 ABM，即：延长 CB到 M ，使 BM DQ，连接 AM。如图 12。 ABM ADQ SAS。 4 2 1， M AQD。ABCD， AQD BAQ 1 3 4 3 MAP。 M MAP。PAPMPB BMPB DQ因 BMDQ。【课堂练习】1、如图， AD=AE,AB=AC求.证： BF=FC2、如图，在ABC中， AB=AC，延长 AB 到 D，使 BD=A
6、B，取 AB 的中点 E，连接 CD和为 CD中点 求证： CD=2CE3、如图， ABC中， C2B， 1 2。求证： ABACCD4、 ： AB=CD， A= D，求证： B=CADBC5、 ：如图， CD AB 于点 D，BEAC于点 E， BE、CD交于点 O，且 AO 平分 BAC求证： OBOC6、如图， C 为线段 AB 上的一点，ACM 和 CBN都是等边三角形， AN 和CM 订交于 F 点， BM 和 CN交于 E 点。求证：CEF是等边三角形。7、以以下图，AEAB，AF AC，AE=AB，AF=AC。求证：1EC=BF；2ECBFFEA8、如图 10，四边形 ABCD、
7、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与 CG订交于点M，CG与 AD 订交于点 N求证：AECG ；9、如图，在等腰 RtABC中， C90， D 是斜边上 AB 上任一点， AECD于 E，BF CD交 CD的延长线于 F， CHAB 于 H 点，交 AE 于 G求证： BDCG10、：如图，在梯形 ABCD中， ADBC， BC=DC，CF均分 BCD， DF AB，BF的延长线交 DC于点 E。求证：1 BFC DFC；2AD=DE11、： BC=DE， B= E， C= D， F 是 CD 中点，求证： 1=2A1 2BECFD12、： AC均分 BAD，CE AB， B+D=18
8、0，求证： AE=AD+BE13、如图， ABC中， E、F 分别在 AB、AC上， DEDF，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 .补充：常有辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一的性质解题，思想模式是全等变换中的“对折 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转 3) 遇到角均分线，可以自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折 ，所考知识点常常是角均分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的均分线，构造全等三角形，利用的思想模式是全等
9、变换中的“平移或“翻转折叠5) 截长法与补短法，详尽做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特别方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各极点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答1、如图， AC BD， EA,EB 分别均分 CAB, DBA， CD过点 E，求证 ;AB AC+BD2、如图， ABC中， AD均分 BAC， DG BC且均分 BC， DE AB于 E， DF AC于 F.（ 1说明 BE=CF的原由； 2若是 AB=a ， AC=b ，求 AE、 BE的长 . 3、
