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1、2021-2022学年高中数学 第2章 直线和圆的方程 2.3 2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式学案 新人教A版选择性必修第一册2021-2022学年高中数学 第2章 直线和圆的方程 2.3 2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式学案 新人教A版选择性必修第一册年级：姓名：2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2两点间的距离公式学 习 任 务核 心 素 养1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标(重点) 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系(难点)3.探索并掌握平面上两点间的距离公式(重点)1.通过两直线交
2、点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养.2. 通过学习两点间的距离，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.点P(x0，y0)在直线AxByC0上，那么我们会有Ax0By0C0，当P(x0，y0)同时在两条直线A1xB1yC10和A2xB2yC20上时，我们会有Aix0Biy0Ci0(i1,2)，那么点P就是这两条直线的交点下面我们就来研究两直线的交点问题知识点1两条直线的交点已知两条直线的方程是l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1xB1yC10，也满足直线l2的方程A2xB2y
3、C20，即点P的坐标就是方程组的解1.直线xy5与直线xy3交点坐标是()A(1,2)B(4,1)C(3,2)D(2,1)B解方程组得，因此交点坐标为(4,1)，故选B知识点2两直线的位置关系和方程组解的个数的关系直线l1：A1xB1yC10(A1，B1不同时为0)；l2：A2xB2yC20(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示方程组的解一组无数组无解直线l1和l2公共点的个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行2.若方程组无解，则直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20的位置关系是_l1l2方程组无解，则l1与l2无公共点，从而l1l2.知识点3两条直线的
4、位置关系斜截式一般式方程yk1xb1，yk2xb2A1xB1yC10(AB0)，A2xB2yC20(AB0)相交k1k 2A1B2A2B10垂直k1k21A1A2B1B20平行或重合A1B2A2B10，且B1C2B2C101.若直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20满足A1B2A2B1，则l1与l2的位置关系是什么？提示平行或重合3.直线l1：4xy30与直线l2：3x12y110的位置关系是_l1l2由43(1)120得l1l2.知识点4两点间的距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|.(2)两点间距离的特殊情况原点O(0,
5、0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|.当P1P2x轴(y1y2)时，|P1P2|x2x1|.当P1P2y轴(x1x2)时，|P1P2|y2y1|.2.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|的形式？提示可以，原因是，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分4.已知点P1(4,2)，P2(2，2)，则|P1P2|_.2|P1P2|2. 类型1两条直线的交点问题【例1】(1)若直线xby90经过直线5x6y170与直线4x3y20的交点，则b等于()A2B3C4D5(2)直线2x3yk0和直线xky120的交点在x轴上，则k的值为()A24B24C6
6、D6(1)D(2)A(1)解方程组得则直线xby90经过点(1，2)，所以12b90，解得b5，故选D(2)设交点坐标为(a,0)，则有解得故选A两直线交点在坐标轴上的处理方法当两直线的交点在坐标轴上时，可设出交点坐标为(a,0)或(0，b)，然后代入直线方程求解跟进训练1三条直线ax2y70,4xy14和2x3y14相交于一点，则a_.解方程组得所以两条直线的交点坐标为(4，2)由题意知点(4，2)也在直线ax2y70上，将(4，2)代入，得a42(2)70，解得a. 类型2直线的平行与垂直问题【例2】(1)已知直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行，则m_.(2)已知直线
7、l1：(a2)x(1a)y10与直线l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直，则a_.(1)2或3(2)1或1法一：(1)由l1：2x(m1)y40，l2：mx3y20知：当m0时，显然l1与l2不平行当m0时，要使l1l2，需.解得m2或m3，m的值为2或3.(2)由题意知，直线l1l2.若1a0，即a1时，直线l1：3x10与直线l2：5y20显然垂直若2a30，即a时，直线l1：x5y20与直线l2：5x40不垂直若1a0且2a30，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1，k2.当l1l2时，k1k21，即1，a1.综上可知，当a1或a1时，直线l1l2.法二：(1)令23m(m1
8、)，解得m3或m2.当m3时，l1：xy20，l2：3x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2.同理当m2时，l1：2x3y40，l2：2x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2，m的值为2或3.(2)由题意知直线l1l2，(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1，将a1代入方程，均满足题意故当a1或a1时，直线l1l2.1对于直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20.有关直线l1，l2的平行与垂直问题，如何解决更简单？提示对于垂直问题，可利用A1A2B1B20解决；对于平行问题，可先利用平行或重合的充要条件A1B2A2B1，求出参数的范围，再通过验证判断两直线是否
9、重合2对于直线l：AxByC0，用待定系数法如何去设与直线l平行和垂直的直线？提示与直线l平行的直线可设为AxBym0(mC)；与直线l垂直的直线可设为BxAym0.跟进训练2已知直线l1：xmy60，直线l2：(m2)x3y2m0.求m的值，使得l1和l2：(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)由13m(m2)0得，m1或m3.当m1时，l1：xy60，l2：3x3y20.两直线显然不重合，即l1l2.当m3时，l1：x3y60，l2：x3y60.两直线重合故l1l2时，m的值为1.(2)由1(m2)m30得m，故l1l2时，m的值为. 类型3过定点(两条直线交点)的直线【例3】(1)直线
10、mx3y2m30，当m变动时，所有直线都经过的定点坐标为()A(2,1)B(1,2)C(1，2)D(2,1)(2)过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程为_(1)A(2)15x5y160(1)方程mx3y2m30可化为m(x2)3y30，令得即直线mx3y2m30过定点(2,1)，故选A(2)法一：解方程组得所以两直线的交点坐标为.又所求直线与直线3xy10平行，所以所求直线的斜率为3.故所求直线方程为y3，即15x5y160.法二：设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0.(*)由于所求直线与直线3xy10平行，所以有(2)1(3
11、)30, 得.代入(*)式，得xy0，即15x5y160.符合条件本例(2)中若将“平行”改为“垂直”，如何求解？解设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0，由于所求直线与直线3xy10垂直，则3(2)(3)10，得，所以所求直线方程为5x15y180.1含有参数的直线恒过定点的问题(1)法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解(2)法二：若能整理为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得若整理成yy0k(xx0)
12、的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0)2经过两直线交点的直线方程经过两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交点的直线方程可写为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(它不能表示直线l2)反之，当直线的方程写为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0时，直线一定过直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20的交点跟进训练3(1)经过点P(1,0)和两直线l1：x2y20，l2：3x2y20交点的直线方程为_(2)若aR，则直线(a1)xy2a10恒过定点_(1)xy10(2)(2,1)(1)设所求直线方程为x2y2(3x2y2)0.点P(1,0)在直线上，12(32)0.所求方程为x2y2(3x2y2)0，即xy10.(2)方程(a1)xy2a10可化为a(x2)xy10，令得即直线(a1)xy2a1恒过定点(2,1) 类型4两点间的距离公式及其应用【例4】(1)(对接教材P73例题)在直线2x3y50上求一点P，使点P到点A(2,3)的距离为，则点P的坐标是()A(5,5)B(1,1)C(5,5)或(1,1)D(5,5)或(1，1)(2)如图，在ABC中，|AB|
