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1、2016年全国卷3理科数学试题及答案解析绝密启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷3理科数学注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明1设集合S= ，则ST=（A）2，3 （B）（- ，2 3,+）（C）3,+） （D）（0，2 3,+）【答案】D【解析】试题分析：由解得或，所以，所以，故选D考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算2若，则 （A）1 （B） -1 （C）i （D）-i【答案】C【解析】试题分析：，故选C考点：1、复数的运算；2、共轭复数3已知向量 , 则ABC=（A）300 （B）
2、 450 （C）600 （D）1200【答案】A【解析】试题分析：由题意，得，所以，故选A考点：向量夹角公式4某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是（A）各月的平均最低气温都在00C以上 （B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同 （D）平均气温高于200C的月份有5个【答案】D【解析】试题分析：由图可知均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0以上，A正确；由图可在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所
3、以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20的月份有3个或2个，所以不正确故选D考点：1、平均数；2、统计图5若 ，则 （A） （B） （C） 1 （D） 【答案】A【解析】试题分析：由，得或，所以，故选A考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式6已知，则（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，故选A考点：幂函数的图象与性质7执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B【解析】试题分析：第一次循环，得；第二次循环，得，；第
4、三次循环，得；第四次循环，得，退出循环，输出，故选B考点：程序框图8在中，BC边上的高等于,则 （A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：设边上的高线为，则，所以，由余弦定理，知，故选C考点：余弦定理9如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A） （B） （C）90 （D）81【答案】B【解析】试题分析：由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积，故选B考点：空间几何体的三视图及表面积10在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，则V的最大值是（A）4 （B） （C）6 （D） 【答案】B【解析】试题分析：要
5、使球的体积最大，必须球的半径最大由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积11已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且轴.过点A的直线l与线段交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】试题分析：由题意设直线的方程为，分别令与得点，由，得，即，整理，得，所以椭圆离心率为，故选A考点：椭圆方程与几何性质12定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的
6、个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个【答案】C【解析】试题分析：由题意，得必有，则具体的排法列表如下：00001111101110110100111011010011010001110110100110考点：计数原理的应用第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）13若满足约束条件 则的最大值为_.【答案】【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最大值，即考点：简单的线性规划问题14函数的图像可由函数的图像至少向右平移_个单位长度得到【答案】【解析】
7、试题分析：因为，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数15已知为偶函数，当时，则曲线在点处的切线方程是_。【答案】【解析】试题分析：当时，则又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义16已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则_.【答案】4【解析】试题分析：因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，考点：直线与圆的位置关系评卷人得分三、解答题（题型注释）17
8、已知数列的前n项和，其中（）证明是等比数列，并求其通项公式；（）若 ，求【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）首先利用公式，得到数列的递推公式，然后通过变换结合等比数列的定义可证；（）利用（）前项和化为的表达式，结合的值，建立方程可求得的值试题解析：（）由题意得，故，.由，得，即.由，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列，于是（）由（）得，由得，即，解得考点：1、数列通项与前项和为关系；2、等比数列的定义与通项及前项和为18下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（）建立y关于t的
9、回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。参考数据：，2.646.参考公式：相关系数 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：【答案】（）理由见解析；（）1.82亿吨【解析】试题分析：（）根据相关系数公式求出相关数据后，然后代入公式即可求得的值，最后根据其值大小回答即可；（）利用最小二乘法的原理提供的回归方程，准确求得相关数据即可建立y关于t的回归方程，然后作预测试题解析：（）由折线图这数据和附注中参考数据得，.因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（）由及（）得，.所以，关于的回归方程为：.将2016
10、年对应的代入回归方程得：.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用19如图，四棱锥中，地面，为线段上一点，为的中点（）证明平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）见解析；（）【解析】试题分析：（）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（）以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线的方向向量与平面法向量的夹角来处理与平面所成角试题解析：（）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面
11、.（）取的中点，连结，由得，从而，且.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，.设为平面的法向量，则，即，可取，于是.考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积20已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点（）若在线段上，是的中点，证明；（）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（）见解析；（）【解析】试题分析：（）设出与轴垂直的两条直线，然后得出的坐标，然后通过证明直线与直线的斜率相等即可证明结果了；（）设直线与轴的交点坐标，利用面积可求得，设出的中点，根据与轴是否垂直分两种情况结合求解，试题解析：由题设.
12、设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为. （）由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，则.所以. （）设与轴的交点为，则.由题设可得，所以（舍去），.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为. 考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法21设函数，其中，记的最大值为（）求； （）求； （）证明【答案】（）；（）；（）见解析【解析】试题分析：（）直接可求；（）分两种情况，结合三角函数的有界性求出，但须注意当时还须进一步分为两种情况求解；（）首先由（）得到，然后分，三种情况证明试题解析：（）（）当时，因此， 当时，将变形为令，则是在上的最大值，且当时，取得极小值，极小值为令，解得（舍去），（）当时，在内无极值点，所以（）当时，由，知又，所以综上，（）由（）得.当时，.当时，所以.当时，所以.考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性22选修4-1：几何证明选讲如图，O中的中点为，弦分别交于两点（）若，求的大小；（）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明【答案】（）；（）见解析【解析】试题分析：（）根据条件可证明PFB与PCD是互补的，然后结合PFB=2PCD与三角形内角和定理，不难求得的大小；（）由（）的证明可知四点共圆，然后根据用线段的垂直平分线知为四边形
