函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数中的自变量的范围 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 2）偶次根式的被开方数非负3）对数中的真数部分大于0 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）中 6 )中x二、值域是函数中的取值范围 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法（10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终三、典例解析1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① ；② ；③ 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式无意义，而时，分式有意义，∴这个函数的定义域是.②∵3x+2<0，即x<-时，根式无意义，而，即时，根式才有意义，∴这个函数的定义域是{|}.③∵当，即且时，根式和分式 同时有意义，∴这个函数的定义域是{|且}另解：要使函数有意义，必须： Þ 例2 求下列函数的定义域：① ②③ ④ ⑤ 解：①要使函数有意义，必须： 即： ∴函数的定义域为： [] ②要使函数有意义，必须： ∴定义域为：{ x|}③要使函数有意义，必须： Þ ∴函数的定义域为：④要使函数有意义，必须： ∴定义域为： ⑤要使函数有意义，必须： 即 x< 或 x> ∴定义域为：例3 若函数的定义域是R，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴∴例4 若函数的定义域为[-1，1]，求函数的定义域解：要使函数有意义，必须：∴函数的定义域为：例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。
分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在 [－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，∴f(2x－1)的定义域为[0，1]例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域答案：－1≤x2≤1 x2≤1－1≤x≤1 练习：设的定义域是[-3，]，求函数的定义域解：要使函数有意义，必须： 得： ∵ ≥0 ∴ ∴ 函数的定域义为：例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1， x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域提示：定义域是自变量x的取值范围）练习：已知f(x2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域若的定义域是，则函数的定义域是 （ ）Ａ． Ｂ Ｃ． Ｄ．已知函数的定义域为Ａ，函数的定义域为Ｂ，则 （ ）Ａ． Ｂ．B Ｃ． Ｄ． 2、求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数的定义域为R，当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.例1 求下列函数的值域① y=3x+2(-1x1) ② ③ （记住图像） 解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②略③ 当x>0，∴=，当x<0时，=－∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）函数的图像为：二次函数在区间上的值域(最值)：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①； ②；③； ④；解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时， ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].注：对于二次函数,⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当时，其最小值；②当a<0时，则当时，其最大值.⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数的值域解：由算术平方根的性质，知， 故。
∴函数的值域为 .2、求函数 的值域解： 对称轴 例3 求函数的值域 解：法一：（单调性法）设,易知它们在定义域内为增函数，从而在定义域为上也为增函数，而且,因此，所求的函数值域为 小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域练习：求函数 的值域答案：)法二：换元法(下题讲)例4 求函数 的值域 解：（换元法）设，则 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域这种解题的方法体现换元、化归的思想方法它的应用十分广泛练习：求函数的值域答案：例5 （选）求函数 的值域解：（平方法）函数定义域为： 例6 （选不要求）求函数的值域解：（三角换元法） 设 小结：（1）若题目中含有，则可设 （2）若题目中含有则可设，其中（3）若题目中含有，则可设，其中（4）若题目中含有，则可设，其中（5）若题目中含有，则可设其中-10134-4xy 例7 求 的值域解法一：（图象法）可化为 如图， 观察得值域解法二：（零点法）画数轴 利用可得。
103解法三：（选）（不等式法） 同样可得值域练习：的值域呢？ （）（三种方法均可）例8 求函数 的值域解：（换元法）设 ，则 原函数可化为 例9求函数 的值域10xy解：（换元法）令，则 由指数函数的单调性知，原函数的值域为 例10 求函数 的值域解：（图象法）如图，值域为 例11 求函数 的值域解法一：（逆求法）解法二：（分离常数法）由 ，可得值域小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域例12 求函数 的值域011解法一：（逆求法） 小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围，可采用逆求法解法二：（换元法）设 ，则 练习：y=；（y∈(-1，1)）.01例13 函数 的值域解法一：（逆求法） 2解法二：（换元法）设 ，则 解法三：（判别式法）原函数可化为 1） 时 不成立2） 时，综合1）、2）值域解法四：（三角换元法）设，则 原函数的值域为10例14 求函数的值域5解法一：（判别式法）化为1）时，不成立2）时，得综合1）、2）值域解法二：（复合函数法）令，则 所以，值域例15 函数的值域解法一：（判别式法）原式可化为 解法二：（不等式法）1）当时，2） 时，综合1）2）知，原函数值域为例16 (选) 求函数的值域解法一：（判别式法）原式可化为 解法二：（不等式法）原函数可化为 当且仅当时取等号，故值域为例17 （选） 求函数的值域解：（换元法）令 ，则原函数可化为。
小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为（选）的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数的单调性去解 练习：1 、；解：∵x0，，∴y11.另外，此题利用基本不等式解更简捷：(或利用对勾函数图像法)2 、0