第 1 页（共 18 页）2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 ．（5 分）设集合 A={x |x2﹣4x+3＜0}，B={x |2x﹣3＞0}，则 A∩B=( )A . (﹣3 ，﹣ ) B . (﹣3 ， ） C ．（1 ， ） D ．（ ，3）2 ．（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中 x ，y 是实数，则|x+yi|= ( )A ．1 B ． C ． D ．23 ．（5 分）已知等差数列{an}前 9 项的和为 27 ，a10=8，则 a100= ( )A ．100 B ．99 C ．98 D ．974 ．（5 分）某公司的班车在 7：00 ，8：00 ，8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( )A ． B ． C ． D . 5 ．（5 分）已知方程﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是( )A . (﹣1 ，3） B . (﹣1 ， ） C ．（0 ，3） D ．（0 ，）6 ．（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是( )A ．17π B ．18π C ．20π D ．28π7 ．（5 分）函数 y=2x2﹣e |x |在[﹣2 ，2]的图象大致为( )A ． B . C ． D . 8 ．（5 分）若 a＞b＞1 ，0＜c＜1，则( )A ．ac＜bc B ．abc＜bacC ．alogbc＜blogac D ．logac＜logbc9 ．（5 分）执行下面的程序框图，如果输入的 x=0 ，y=1 ，n=1，则输出 x ，y 的值满足( )A ．y=2x B ．y=3x C ．y=4x D ．y=5x10 ．（5 分） 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知|AB|=4 ， |DE|=2，则 C 的焦点到准线的距离为( )A ．2 B ．4 C ．6 D ．8第 2 页（共 18 页）11 ．（5 分）平面 α 过正方体 ABCD﹣A1 B1C1 D1 的顶点 A ，α ∥平面 CB1 D1 ，α ∩平面 ABCD=m ，α ∩平面 ABB1A1=n ，则 m、n 所成角的正弦值为( )A ． B ． C ． D . 12 ．（5 分） 已知函数 f（x ）=sin( ωx+φ) ( ω >0 ， |φ|≤) , x=﹣为 f（x ）的零点，x= 为 y=f（x ）图象的对称轴，且 f（x ）在（ ，）上单调，则 ω 的最大值为( )A ．11 B ．9 C ．7 D ．5二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 ．（5 分）设向量=（ m ，1）， =（1 ，2），且|+ |2= | |2+| |2 ，则 m= .14 ．（5 分）（2x+）5 的展开式中， x3 的系数是 ． （用数字填写答案）15 ．（5 分）设等比数列{an}满足 a1+a3=10 ，a2+a4=5，则 a1a2…an 的最大值为 .16 ．（5 分）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要 甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有 甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元.三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 ．（12 分）△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 2cosC（acosB+bcosA）=c .(Ⅰ)求 C；(Ⅱ)若 c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长.18 ．（12 分）如图，在以 A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°,且二面角 D﹣AF﹣E 与二面角 C﹣BE﹣F 都是 60° .(Ⅰ)证明平面 ABEF⊥平面 EFDC；(Ⅱ)求二面角 E﹣BC﹣A 的余弦值.19 ．（12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在 购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期间，如果备件不足 再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)求 X 的分布列；(Ⅱ)若要求 P（X≤n ）≥0.5，确定 n 的最小值；(Ⅲ) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n=19 与 n=20 之中选其一，应选用哪个？第 3 页（共 18 页）20 ．（12 分）设圆 x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为 A，直线 l 过点 B（1 ，0）且与 x 轴不重合，l 交圆 A于 C ，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E .(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(Ⅱ) 设点 E 的轨迹为曲线 C1 ，直线 l 交 C1 于 M ，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于P ，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围.21 ．（12 分）已知函数 f（x ）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2 有两个零点.(Ⅰ)求 a 的取值范围；(Ⅱ)设 x1 ，x2 是 f（x ）的两个零点，证明： x1+x2＜2 .请考生在 22 、23 、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. [选修 4-1：几何证明选讲]22 ．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120° . 以 O 为圆心， OA 为半径作圆.(Ⅰ)证明：直线 AB 与⊙O 相切；(Ⅱ)点 C ，D 在⊙O 上，且 A ，B ，C ，D 四点共圆，证明： AB∥CD .[选修 4-4：坐标系与参数方程]23 ．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 ：ρ=4cosθ .(Ⅰ)说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；(Ⅱ) 直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0 ，其中 α0 满足 tanα0=2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a .[选修 4-5：不等式选讲]24 ．已知函数 f（x ）= |x+1|﹣|2x﹣3|.(Ⅰ)在图中画出 y=f（x ）的图象；(Ⅱ)求不等式|f（x ） |＞1 的解集.第 4 页（共 18 页）第 5 页（共 18 页）2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 ．（5 分）设集合 A={x |x2﹣4x+3＜0}，B={x |2x﹣3＞0}，则 A∩B=( )A . (﹣3 ，﹣ ) B . (﹣3 ， ） C ．（1 ， ） D ．（ ，3）【考点】1E：交集及其运算.【专题】11：计算题； 4O：定义法； 5J：集合.【分析】解不等式求出集合 A ，B，结合交集的定义，可得答案.【解答】解：∵集合 A={x |x2﹣4x+3＜0}=（1 ，3），B={x |2x﹣3＞0}=（ ，+∞),∴A∩B=（ ，3），故选： D .【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题.2 ．（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中 x ，y 是实数，则|x+yi|= ( )A ．1 B ． C ． D ．2【考点】A8：复数的模.【专题】34：方程思想； 4O：定义法； 5N：数系的扩充和复数.【分析】根据复数相等求出 x ，y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可.【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|= |1+i|=，故选： B .【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出 x ，y 的值是解决本题的关键.3 ．（5 分）已知等差数列{an}前 9 项的和为 27 ，a10=8，则 a100= ( )A ．100 B ．99 C ．98 D ．97【考点】83：等差数列的性质 .【专题】11：计算题； 4O：定义法； 54：等差数列与等比数列 .【分析】根据已知可得 a5=3，进而求出公差，可得答案.【解答】解：∵等差数列{an}前 9 项的和为 27 ，S9===9a5 .∴9a5=27 ，a5=3，又∵a。
