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1、2004年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题1已知abc0,且a+b+c=0, 则代数式的值是( )(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 02已知p,q均为质数,且满足5p2+3q=59,则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是( )(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形3 一个三角形的边长分别为a,a,b,另一个三角形的边长分别为b,b,a,其中ab,若两个三角形的最小内角相等,则的值等于( )(A) (B) (C) (D) 4过点P(-1,3)作直线,使它与两坐标轴围成的三角形面积为5,这样的直线可以作( )(A) 4条 (B
2、) 3条 (C) 2条 (D) 1条5已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的一个实数根,则ab的取值范围为( )(A) (B) (C) (D) 6如图,在23矩形方格纸上,各个小正方形的顶点称为格点,则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为( )(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50 二、填空题:1计算= .2如图ABCD是边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P,延长AP交BC于点N,则= .3实数a,b满足a3+b3+3ab=1,,则a+b= .4设m是不能表示为三个合数之和的最大整数,则m= .第二试(A)一、 已
3、知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数,求整数n的值二、 已知如图,梯形ABCD中,ADBC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF,设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M,EPl于P,FQl于Q求证:EP=FQ三、已知点A(0,3),B(-2,-1),C(2,-1) P(t,t2)为抛物线yx2上位于三角形ABC内(包括边界)的一动点,BP所在的直线交AC于E, CP所在的直线交AB于F。将表示为自变量t的函数第二试(B)一、 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数,求整数n的值二、已知如图,梯形ABCD中,ADBC, 以两腰AB,CD为一边分别
4、向两边作正方形ABGE和DCHF,设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M求证:M为EF的中点三、已知点A(0,3),B(-2,-1),C(2,-1) P(t,t2)为抛物线yx2上位于三角形ABC内(包括边界)的一动点,BP所在的直线交AC于E, CP所在的直线交AB于F将表示为自变量t的函数第二试(C)一、 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数,求整数n的值二、 已知如图,梯形ABCD中,ADBC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF, 连接EF,设线段EF的中点为M求证:MA=MD三、已知点A(0,3),B(-2,-1),C(2,-1) P(t,t2
5、)为抛物线yx2上位于三角形ABC内(包括边界)的一动点,BP所在的直线交AC于E, CP所在的直线交AB于F将表示为自变量t的函数2004年全国初中数学联赛试题参考答案一试一二1 2 31或-2 417二试一 -18,-8,0,10二 (略)三 下面按斜边长分类进行计数 (1)当斜边长为 时,斜边一定是小正方形的对角线,这样的线段有12条,每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形,共有212=24个 (2)当斜边长为2时,图形中长为2的线段有10条,其中有6条在23矩形的四周上,每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形;另有4条在23矩形的内部,每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形共有6+24=14个, (3)当斜边长为2 时,斜边一定是22正方形的对角线,这样的线段有4条,每条对应着两个等腰直角三角形,共有24=8个 (4)当斜边长为时,这样的线段有4条,每条对应着一个等腰直角三角形,共有4个 因此,以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为24+14+8+4=50 317 最小三个合数为4,6和8,4+6+8=18故17是不能表示为三个互不相等的合数之和的整数 当m18时,若m=2k18,则m=4+6+2(k-5);若m=2k-118,则m=4+9+2(k一7) 因此,任意大于18的整数均可表示为三个互不相等的合数之和故m=17