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1、2004年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题1已知abc0，且a+b+c=0, 则代数式的值是（ ）(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 02已知p,q均为质数，且满足5p2+3q=59，则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形3 一个三角形的边长分别为a,a,b，另一个三角形的边长分别为b,b,a，其中ab，若两个三角形的最小内角相等，则的值等于（ ）(A) (B) (C) (D) 4过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ）(A) 4条 (B
2、) 3条 (C) 2条 (D) 1条5已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的一个实数根，则ab的取值范围为（ ）(A) (B) (C) (D) 6如图，在23矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50 二、填空题:1计算= .2如图ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，则= .3实数a,b满足a3+b3+3ab=1,，则a+b= .4设m是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m= .第二试（A）一、 已
3、知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值二、 已知如图，梯形ABCD中，ADBC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M，EPl于P，FQl于Q求证：EP=FQ三、已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线yx2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F。将表示为自变量t的函数第二试（B）一、 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值二、已知如图，梯形ABCD中，ADBC, 以两腰AB,CD为一边分别
4、向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M求证：M为EF的中点三、已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线yx2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F将表示为自变量t的函数第二试（C）一、 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值二、 已知如图，梯形ABCD中，ADBC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF， 连接EF，设线段EF的中点为M求证：MA=MD三、已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2
5、)为抛物线yx2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F将表示为自变量t的函数2004年全国初中数学联赛试题参考答案一试一二1 2 31或-2 417二试一 -18，-8，0，10二 （略）三 下面按斜边长分类进行计数 (1)当斜边长为 时，斜边一定是小正方形的对角线，这样的线段有12条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有212=24个 (2)当斜边长为2时，图形中长为2的线段有10条，其中有6条在23矩形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有4条在23矩形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形共有6+24=14个， (3)当斜边长为2 时，斜边一定是22正方形的对角线，这样的线段有4条，每条对应着两个等腰直角三角形，共有24=8个 (4)当斜边长为时，这样的线段有4条，每条对应着一个等腰直角三角形，共有4个 因此，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为24+14+8+4=50 317 最小三个合数为4，6和8，4+6+8=18故17是不能表示为三个互不相等的合数之和的整数 当m18时，若m=2k18，则m=4+6+2(k-5)；若m=2k-118，则m=4+9+2(k一7) 因此，任意大于18的整数均可表示为三个互不相等的合数之和故m=17
