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1、克莱数学研究所征解的七个数学问题 (CMI Seven Millennium Prize Problems)二十一世纪到来之际，克莱数学研究所（The Clay Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts (CMI)）参照一百多年前德国数学家大卫希尔伯特的做法，于2000年5月24日在法国召开的千禧年年会上，公开征解七个数学问题的解答。这七个问题是由克莱数学研究所的科学顾问委员会精心挑选的，克莱数学研究所的董事会为每一个问题的解决提供了一百万美元的奖金。这些问题是（按照问题题目的英文字母顺序排列）7个问题的说明1. 波奇和斯温纳顿-戴雅猜
2、想(Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)：对有理数域上的任一椭圆曲线, 其L函数在1的化零阶等于此曲线上有理点构成的Abel群的秩。2. 霍奇猜想(Hodge Conjecture)：在非奇异复射影代数簇上, 任一霍奇类是代数闭链类的有理线性组合。3. 纳威厄-斯托克斯方程(Navier-Stokes Equations)：证明或否定3-维奈维尔斯托克斯方程解的存在性和光滑性(在合理的边界和初始条件下)。4. P与NP问题(P VS NP Problem)：有确定性多项式时间算法的问题类P是否等于有非确定性多项式时间算法的问题类NP。5. 庞加莱猜想(Po
3、incare Conjecture)：任意闭单连通3-流型同胚于3-球。6. 黎曼假设(Riemann Hypothesis)：黎曼Zeta函数的非平凡零点的实部都是1/2。7. 杨-米尔理论(Yang-Mills Theory)：证明量子YangMills场存在并存在一个质量间隙。庞加莱猜想庞加莱(Poincare)猜想 :庞加莱在1904年发表的一組论文中提出：任一单连通的、封闭的三維流形与三維球面同胚。粗浅的比喻为：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，
4、那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。历史 庞加莱猜想由法国数学家亨利庞加莱于1904年提出拓扑学难题。百年来无人能解。在庞加莱猜想提出後不久，就被推广到4维的情況，这称为广义庞加莱猜想。1961年，美国数学家S.Smale采用十分巧妙的方法绕过三、四给的困难情況，证明了五维以上的庞加莱猜想。1981年另一位美国数学家M.Freedman证明
5、了四维猜想，至此广义庞加莱猜想得到了证明。但时至今日，庞加莱猜想却依然故我。 在2002年，一位俄罗斯的数学家裴瑞曼(Grigori Perelman)提出的论文证明了此一猜想。到了2006年6月3日哈佛大学教授、著名数学家、菲尔兹奖得主丘成桐在中国科学院晨兴数学研究中心宣布：在美、俄等国科学家的工作基础上，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东已经彻底证明庞加莱猜想。庞加莱生平简介龐加萊, （J.-）H. （Jules-Henri Poincare 1854-1912） 法國數學家。1854年4月29日生於南錫，1912年7月17日卒於巴黎。1873年10月以第一名考入巴黎綜
6、合工科學校。1879年以數學論文獲博士學位。旋即去卡昂大學理學院任講師。1881年為巴黎大學教授，直到去世。 龐加萊的研究涉及數論、代數學、幾何學、拓撲學等許多領域，最重要的工作是在分析學方面。他早期的主要工作是創立自守函數理論（1878）。他引進了富克斯群和克萊因群，構造了更一般的基本域。他利用後來以他的名字命名的級數構造了自守函數，並發現這種函數作為代數函數的單值化函數的效用。1883年，提出了一般的單值化定理。同年，他進而研究一般解析函數論，研究了整函數的風格及其與泰勒展開式的系數或函數絕對值的增長率之間的關係。 龐加萊為了研究行星軌道和衛星軌道的穩定性問題，在18811886年發表的四
7、篇關於微分方程所確定的積分曲線的論文中，創立了微分方程的定性理論。他研究了微分方程的解在四種類型的奇點（焦點、鞍點、結點、中心）附近的性態。他提出根據解對極限環的關係，可以判定解的穩定性。1885年，瑞典國王奧斯卡二世設立n體問題獎，更加引起龐加萊研究天體力學問題的興趣。他以關於當三體中的兩個質量比另一個小得多時的三體問題的周期解的論文獲獎。還證明了這種限制性三體問題的周期解的數目同連續統的勢一樣大。這以後，他進行了大量天學力體研究。引進了漸進展開的方法，得出嚴格的天體力學計算技術。他開創了動力系統理論，1895年證明了龐加萊回歸定理。他在天體力學方面的另一重要結果是，在引力作用下，轉動流體的
8、形狀除了已知的旋轉橢球體、不等軸橢球體和環狀體外，還有三種龐加萊梨形體存在。 龐加萊對數學物理和偏微分方程也有貢獻。用括去法證明了狄利克雷問題解的存在性（1890），這一方法後來促使位勢論有新發展。他還研究拉普拉斯算子的特徵值問題，給出了特徵值和特徵函數存在性的嚴格證明（1894）。他在積分方程中引進複參數方法，促進了弗雷德霍姆理論的發展。 龐加萊對現代數學另一重要的影響是創立組合拓撲學。他引進貝蒂數、撓系數和基本群等重要概念，創造流形的三角剖分、單純複合形、重心重分、對偶複合形、複合形的關連系數矩陣等工具，借助它們推廣歐拉多面體定理，成為歐拉-龐加萊公式，並證明流形的同調對偶定理。他還提出龐
9、加萊猜想。在龐加萊的最後定理中，他把限制性三體問題的周期解的存在問題歸結為滿足某種條件的平面連續變換不動點的存在問題。 龐加萊在數論和代數學方面的工作不多，他的（1901）開創了丟番圖方程的有理解的研究。他定義了曲線的秩數，成為丟番圖幾何的重要研究對象。他在代數學中引進群代數（Group Algebra）並證明其分解定理。第一次引進代數中左理想和右理想的概念。證明了李代數第三基本定理（The third foundamental theorem of Lie Algebra） 及坎貝爾-豪斯多夫公式（1899）。還引進李代數的包絡代數（Borel Algebra），並對其基加以描述，證明了龐加
10、萊-伯克霍夫-維特定理。 龐加萊對經典物理學有深入而廣泛的研究，對狹義相對論的創立有貢獻。他從1899年開始研究電子理論，首先認識到洛倫茨變換構成群。 Poincar（18541912）生於法國 Nancy，卒於巴黎，法國數學家。工作橫跨數學與科學多領域，影響廿世紀數學甚鉅，被目為史上最後一位數學通才。 Poincar 家族顯赫，堂弟 Raymond Poincar 是多任的法國總理，而且是帶領法國渡過第一次世界大戰的總統。不過當英國數學家與哲學家 Russell 被問及當代法國偉人時，他所回答的 Poincar 卻是超越時代，在學術上驚才絕豔的 Henri。 Poincar 從小在各種學科都
11、表現優秀，在數學上更是被稱為怪物的資優生。19歲進入綜合工科學校（cole Polytechnique），數學表現遙遙領先同儕。不過由於他小時感染白喉，加上先天肌肉運作不很協調，他在體育、美術、音樂上的表現就相當差勁。更令人驚訝的是他的視力很差，因此上課完全靠聽力來進行，幸好他有著非凡的記憶力與驚人的空間直覺，在知識的掌握與學習上反而另闢蹊徑，以他獨特的內在之眼見人之所未見。 1875年他畢業後，進入礦業學校（cole des Mines）立志成為工程師，但是他的數學天分，還是讓他走回數學的道路。1879年，他在 Hermite 指導下，在巴黎大學取得博士學位，隨即應聘到 Caen 大學教書。
12、1881年，他27歲時轉到巴黎大學任教，一直到他過世。 Poincar 的數學工作跨越相當多領域，大略綜述如下： 自守函數（automorphic function）： Poincare 早期最主要的工作集中在自守函數的研究，其中牽涉到複變、微分方程、黎曼面、群論的知識。這個主要由他所開拓的領域（還有 Klein），涵蓋了十九世紀最重要的數學課題之一橢圓函數論。運用其中的 Fuch 函數，可以求得高次多項式的公式解。有趣的是，他命名為 Fuchs 函數的這類函數，被德國數學家 Klein 指出他已經研究過了。於是 Poincar 幽默地將另一類 Klein 從未涉及的自守函數，命名為 Klei
13、n 函數。 動力系統 (dynamical system) 與渾沌 (chaos) 的預見： 1887年瑞典國王 Oskar 二世懸賞徵答，以解決天體力學中的 n 體問題。Poincar 以他在三體問題的研究，獲得大獎，但是他的內容有誤，一直到1890年修訂版才問世。這個重要的錯誤，導致 Poincar 以定性而非定量的方式重新探討這個艱難的問題，並開啟了廿世紀動力系統定性理論的先河。近日流行的渾沌理論，雖然另有起源，但是其數學理論則為動力系統的一支，許多 Poincar 使用的詞彙（如 stability、cyclic solution、Poincar map、homoclinic poin
14、t 等），今日都已經成為標準用法。 另外，Poincar 在天體力學的成就，總結在他天體力學方法（Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, 1892-1899）三冊，天體力學講義（Legous de mecanique celeste, 1905-1910）三冊，他的傳記作者及數學家 Darboux，稱讚前者繼 Laplace天體力學後，為整個領域開拓了一個新紀元。 代數拓樸的催生： 由於自守函數與 n 體問題的研究，Poincar 心中開始醞釀它們恰當的幾何基礎，1895年他出版位相分析(Analysis situs) 正式為代數拓樸吹起
15、號角，提出基本群 (fundamental group)、同調群 (homology group)、Poincar 對偶性質(Poincar duality)、三角分割 (triangulation) 等新觀念，此後40年間代數拓樸的蓬勃發展，幾乎都是以 Poincar的工作與構想為基礎。一直到今日，所謂 三維 Poincar 猜測： 若一三維連通緊緻無邊流形之基本群為 1，則它必為圓球。 仍然是幾何領域最具挑戰性的猜測（更高維的 Poincar 猜測，已經被 Smale 與 Freedman 解決，他們並都因此榮獲費爾茲獎）。 其他工作： Poincar 至少還催生了多複變函數論的領域；機率論的遍歷性假設（應用到統計力學）；在代數幾何的代數曲線方面，澄清義大利學派的迷團；研究數論裡丟番圖問題的有理點；流體力學中旋轉流體之平衡解（之後應用到天體演化之宇宙學）；由於研究電子運動，他得到許多與愛因斯坦狹義相對論相同的結果，（只是 Poincar 還受限於舊以太介質的觀念）；另外他在物理及其他科學領域也有許多成果，這種非凡的成就讓他成為法國科學院唯一橫跨所有分組幾何，力學，物理，地學與航海學的院士。 Poincar 是一個相當獨立的數學家，終身沒有一
