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4、高等教育专升本考试2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程2013年5月17日星期五 曲天尧 编写一、求极限的各种方法1约去零因子求极限例1：求极限【说明】表明无限接近，但，所以这一零因子可以约去。【解】=42分子分母同除求极限例2：求极限【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】【注】(1) 一般分子分母同除的最高次方；(2) 3分子(母)有理化求极限例3：求极限【说
5、明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】例4：求极限【解】【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键4应用两个重要极限求极限两个重要极限是和，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑，最后凑指数部分。【解】例6：(1)；(2)已知，求。5用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当 时,；(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例7：求极限【解】 .例8：求极限【解】6用洛必达法则求
6、极限例9：求极限【说明】或型的极限,可通过罗必塔法则来求。【解】【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用洛必达法则求解例10：设函数f(x)连续，且，求极限【解】 由于,于是 =7用对数恒等式求极限 例11：极限 【解】 =【注】对于型未定式的极限，也可用公式=因为例12：求极限.【解1】 原式 【解2】 原式 8利用Taylor公式求极限 例13 求极限 .【解】 , ; .例14 求极限.【解】 .9数列极限转化成函数极限求解例15：极限【说明】这是形式的的数列极限，由于数列极限不能使用洛必达法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。【解】考虑辅助极
7、限所以，10n项和数列极限问题n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.例16：极限【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把看成0,1定积分。【解】原式例17：极限【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成的形式，因而用两边夹法则求解； (2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】因为又所以11单调有界数列的极限问题例18：设数列满足（）证明存在，并求该极限；（）计算. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. 【详解】 （）因为，则
8、.可推得，则数列有界.于是，（因当）， 则有，可见数列单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限存在.设，在两边令，得，解得，即.（）因，由（）知该极限为型， (使用了洛必达法则)故.二、常见不定积分的求解方法的讨论0. 引言不定积分是高等数学中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函
9、数的原函数不能用初等函数来表示，例如（其中）；等。这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展。同时，同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以，掌握不定积分的解法比较困难，下面将不定积分的各种求解方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。1. 不定积分的概念定义：在某区间I上的函数，若存在原函数，则称为可积函数，并将的全体原函数记为 ,称它是函数在区间I内的不定积分，其中为积分符号，称为被积函数，称为积分变量。若为的原函数，则： =+C(C为积分常数)。在这里要特别注意，不定积分是某一函数的全体原函数，而不是一个单一的函数，它的几何意义是一簇平行曲线，也就是说： () 和 是不相
10、等的，前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。性质：1.微分运算与积分运算时互逆的。 注：积分和微分连在一起运算时： 完全抵消。 抵消后差一常数。2.两函数代数和的不定积分，等于它们各自积分的代数和，即：=。3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即： =(0)。 在这里，给出两个重要定理： (1)导数为0的函数是常函数。 (2)若两函数的导数处处相等，则两函数相差一个常数。以便于更好的解决一些简单的不定积分问题。上面将不定积分的概念以及性质做了简单的介绍，下面，我们开始讨论不定积分的各种求解方法。2. 直接积分法(公式法)从解题方面来看，
11、利用不定积分的定义来计算不定积分是非常不方便的，利用不定积分的运算性质和基本积分公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法(另称公式法)。下面先给出基本求导公式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 。根据以上基本求导公式，我们不难导出以下基本积分表：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 。下面举例子加以说明：例2.1： 求解 原式= = = =注意：这里三个积分常数都是任意的，故可写成一个积分常数。所以对一个不定积分，只要在最后所得的式子中写上一个积分常数即可，以后遇到这种情况不
12、再说明。例2.2： 求解 原式= = 注：此处有一个技巧的方法，这里先称作“加1减1”法，相当于是将多项式拆分成多个单项式，然后利用基本积分公式计算，下面的例题中还会遇到类似的题型，遇到时具体讲解。直接积分法只能计算较简单的不定积分，或是稍做变形就可用基本积分表解决的不定积分，对于稍微复杂一点的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。3. 第一类换元法(凑微法)利用基本积分公式和积分性质可求得一些函数的原函数，但只是这样远不能解决问题，如 就无法求出，必须将它进行变形，然后就可以利用基本积分公式求出其积分。如果不定积分用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为 ，作变量代换，并注意
13、到，则可将关于变量的积分转化为关于的积分，于是有如果可以求出，不定积分的计算问题就解决了，这就是第一类换元法(凑微分法)。注：上述公式中，第一个等号表示换元，最后一个等号表示回代.下面具体举例题加以讨论例3.1：求.解 原式= = 对变量代换比较熟练后，可省去书写中间变量的换元和回代过程。例3.2：求.解 原式 例3.3：求解 在这里做一个小结，当遇到形如：的不定积分，可分为以下3中情况：的：大于0时。可将原式化为，其中，x1、x2为的两个解，则原不定积分为： 等于0时。可利用完全平方公式，然后可化成。然后根据基本微分公式(2)便可求解。 小于0时。形如例4，可先给分母进行配方。然后可根据基本积分公式(4)便可求解。例3.4： 求 解 原式
