《2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题2-3 函数的奇偶性与周期性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题2-3 函数的奇偶性与周期性（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【核心素养分析】1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。【重点知识梳理】知识点一 函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称知识点二 函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何
2、值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【特别提醒】1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0).(2)若f(xa)，则T2a(a0).(3)若f
3、(xa)，则T2a(a0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称.(3)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称.【典型题分析】高频考点一 函数奇偶性的判定例1【2020全国卷文数】设函数f(x)=x3，则f(x)A是奇函数，且在(0,+)单调递增B是奇函数，且在(0,+)单调递减C是偶函数，且在(0,+)单调递增D是偶函数，且在(0,+)单调递减【答案】A【解析】因为函数定义域为，其关于原点对
4、称，而，所以函数为奇函数又因为函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递增，故选A。【方法技巧】判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再化简解析式后验证f(x)f(x)或其等价形式f(x)f(x)0是否成立(2)图象法：f(x)的图像关于原点对称，f(x)为奇函数；f(x)的图像关于y轴对称，f(x)为偶函数。(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇【变式探究】【2020浙江卷】函数y=xcos
5、x+sin x在区间，上的图象可能是（ ）【答案】A【解析】因为，则，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；且时，据此可知选项B错误，故选A。高频考点二 函数奇偶性的应用例2【2020江苏卷】已知y=f(x)是奇函数，当x0时，则的值是 【答案】4【解析】，因为为奇函数，所以。【方法技巧】与函数奇偶性有关的问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于参数的恒等式由系数的对等性得方程(组)，进而得
6、出参数的值(4)画函数图象：利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值【变式探究】(2019全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)eax.若f(ln 2)8，则a_.【答案】3【解析】法一：由x0可得x0，由f(x)是奇函数可知f(x)f(x)，x0时，f(x)f(x)ea(x)eax，则f(ln 2)ealn 28，aln 2ln 83ln 2，a3.法二：由f(x)是奇函数可知f(x)f(x)，f(ln 2)f(e)8，aln ln 83ln 2，a3。高频考点三 求函数解析式例3.(2019全国卷)设f
7、(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1【答案】D【解析】当x0，当x0时，f(x)ex1，f(x)ex1.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)ex1，故选D。【变式探究】若函数f(x)在定义域上为奇函数，则实数k_.【答案】1【解析】若函数f(x)在定义域上为奇函数，则f(x)f(x)，即，化简得(k21)(22x1)0，即k210，解得k1。高频考点四 函数的周期性及其应用例4. (2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x).若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A.50 B
8、.0 C.2 D.50【答案】C【解析】方法一：f(x)在R上是奇函数，且f(1x)f(1x).f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x).因此f(x4)f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1x)f(1x)，f(1)2，故令x1，得f(0)f(2)0令x2，得f(3)f(1)f(1)2，令x3，得f(4)f(2)f(2)0，故f(1)f(2)f(3)f(4)20200，所以f(1)f(2)f(3)f(50)120f(1)f(2)2.方法二：取一个符合题意的函数f(x)2sin，则结合该函数的图象易知数列f(n)(nN*)是以4为周期的周期数列.故f(1)f(2)f(3)f(50)
9、12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)1220(2)0202.【方法技巧】(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性【变式探究】（2020安徽安庆一中模拟）设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x2,1)时，f(x)则f_.【答案】【解析】由题意可得fff42，f.高频考点五 函数性质的综合应用例5. （2020辽宁省育才学校模拟）已知函数是奇函数（1）求实数的值；（2）用定义证明函数在上的单
10、调性；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1)函数的定义域为R，且是奇函数，解得此时，满足，即是奇函数 (2) 任取，且，则，于是即，故函数在上是增函数（3）由及是奇函数，知又由在上是增函数，得，即对任意的恒成立当时，取最小值，。【方法技巧】（1）利用奇偶性以及对称性去判断函数的周期时：首先根据奇偶性以及对称性写出对应的函数抽象表达形式，然后联立两个及两个以上的等式得到形如的结构即可求解出周期；（2）充分必要条件的证明：证明的时候分两步走：充分性证明，必要性证明，缺一不可.【变式探究】（2020呼和浩特二中模拟）函数是定义在上的奇函数，且（1）求函数的解析式；（2）用定义证明:在上是增函数；（3）解不等式:【答案】（1）；（2）见详解；（3）.【解析】（1）是定义在上的奇函数，.又，a=1，经检验符合题意.（2）设，则.，所以在上是增函数.（3）是定义在上的奇函数，由，得，又是定义在上的增函数，解得，所以原不等式的解集为。
