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1、考点45变量间的相关关系:知识整合匕 -71相关关系当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这两个变量之间的关系叫做相关关系.即相 关关系是一种非确定性关系.当一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，则这两个变量正相关；当一个变量的值由小变大时，而另一个变量的值由大变小，则这两个变量负相关【注意】相关关系与函数关系的异同点：共同点：二者都是指两个变量间的关系.不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系；而相关关系是一种非确定性关系，体现的不 一定是因果关系，可能是伴随关系.2 散点图将样本中的n个数据点(x ,y )(i 1,2,，n)描在平面直角坐标系中，所得图
2、形叫做散点图.i iy ty tILL.IJ.00尤图I图2从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在 从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.具有正相关关系的两个变量的散点图如图1,具有负相关关系的两个变量的散点图如图2.3 回归分析如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，则这两个变量之间具有线性相关关系，这条直 线叫做回归直线.回归直线对应的方程叫做回归直线方程(简称回归方程).4 回归方程的求解1)求回归方程的方法是最小二乘法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小若变量X与y具有线性相关关系，有n个样本数据
3、(x ,y.)(i = 1,2,，n)，则回归方程y = bx + a中i i工(X X)(y - y)八iib = -i=i工(x X )2i工X. y nX yii=i=1工 x 2 nX 2ii =1其中x=1 Xxnii=1x + x HF x _1 V y + y HF y=2n, y = y = T 2n，nn ini=1(x，刃称为样本点的中心.i=1(2)线性回归模型y = bx + a + e,其中e称为随机误差，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量【注意】回归直线y=bx+a必过样本点的中心(无,y)，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准 确的依据，也是求参数的一个
4、依据. 利用回归直线方程不但可以预测在x取某一个值时，y的估计值，同时也能知道x每增加1个单位，y 的变化量 在回归直线方程中，b既表示直线的斜率，又表示自变量x的取值每增加一个单位时，函数y的改变 量5相关系数(1)样本相关系数r的计算公式 我们可以利用相关系数来定量地衡量两个变量之间的线性相关关系， 计算公式为X (x X)(y y)iir = i=i(2)样本相关系数r的性质 I r 10时，表明两个变量正相关；当r0时，表明两个变量负相关; Irl越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强； Irl越接近于0,表明两个变量的线性相关性越弱.6非线性回归分析对某些特殊的非线性关系，可以通过
5、变量转换，把非线性回归问题转化成线性回归问题，然后用线性回 归的方法进行研究.在大量的实际问题中，所研究的两个变量不一定都呈线性相关关系，当两变量y与x不具有线性相关关 系时，要借助散点图，与已学过的函数（如指数函数、对数函数、幕函数等）的图象相比较，找到合适的 函数模型，利用变量代换转化为线性函数关系，从而使问题得以解决.直通高考1.已知x与y之间的一组数据如下表所示:x0123ym35.57已求得y关于x的线性回归方程为y = 2.1x + 0.85，则m的值为A. 0.85B. 0.75C. 0.6D. 0.52某考察团对全国10大城市的职工人均工资x与居民人均消费y进行统计调查，y与x
6、具有相关关系， 回归方程为y = 0.66x +1.562（单位：千元），若某城市居民消费水平为7.675千元，估计该城市消费额 占人均工资收入的百分比约为A. 66%B. 72.3%C. 67.3%D. 83%3经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系对某小组学生每周 用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下表：x1516181922y10298115115120由表中样本数据求得回归方程为y二b+a，则点（a, b与直线x+18y=100的位置关系是A. a + 18b 100C. a + 18b = 100D. a + 18b与100的大小无法
7、确定4. （2015年高考福建卷）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y = bx + a，其中b = 0.76, a = y -bx，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为A. 11.4万元B. 11.8万元C. 12.0万元D. 12.2万元5. （2014年高考重庆卷）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x二3，y二3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是B. y 二 2x-2.4A. y 二 0.4x + 2.3c. y = 2x + 9.5D. y = 0.3x + 4.46. （2014年高考湖北卷）根据如下样本数据：x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回归方程为y二bx + a，则A. a 0， b 0C. a 0B. a 0， b 0D. a 0， b 0
