高二数学试卷 第 1 页（共 4 页）高二数学试卷 第 2 页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司 辽宁省普通高中辽宁省普通高中2023-2024学年度下学期学年度下学期6月月考模拟试题月月考模拟试题（1）高二数学高二数学 试题考察范围：（数列、导数）试卷难度：偏难 一、一、单项单项选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 已知函数()tanf xx=，则()()0limxfxfx+=（）A.1 B.0 C.1 D.不存在 2 正项等比数列 na中，5a，34a，42a成等差数列，若212a=，则17a a=（）A.4 B.8 C.32 D.64 3 下列导数运算正确的是（）A.()22141xx+=+B.sincos33=C.2ln1 lnxxxx+=D.()3sin2cos3cos2sinxxxx=+4 设数列 na满足123211111222nnaaaan+=+，则 na的前 n 项和（）A.21n B.21n+C.2n D.121n+5 函数22()f xxx=+的大致图像为（）A.B.C.D.6 数列 na满足111122nnnaa+=，且112a=，若13na，则n的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.6 7 已知数列 na满足：()()211nnnaannN+=，12a=，若存在n+N使得不等式22nna成立，则实数的取值范围是（）A.138 B.1 C.4332 D.0 8 已知1x，2x是函数()222lnf xxaxx=+的两个极值点，且12xx，且5835aa=，则当12n=时，nS取得最小值 11已知函数()()ln1f xxx=+，()()1exg xxa=+，则下列选项正确的有（）A.函数()f x在原点()0,0处的切线方程为0y=.B.存在实数()1,x +，使得不等式()()g xf x成立，则实数 a 的取值范围是1a .C.当()0,x+时，不等式()21ln1102xxx+.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12已知nS，nT分别是等差数列na，nb的前 n 项和，且()*31,1nnSnnNTn+=+，则1011318615aabbbb+=+_ 高二数学试卷 第 3 页（共 4 页）高二数学试卷 第 4 页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司 13若2eexx=，elneyy=，则xy=_ 14正项数列 na的前 n 项和为nS，11a=，()*1122,NnnnaSnna+=，则1280111SSS+=_其中 x表示不超过 x 的最大整数 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 13 分）已知函数()()212lnR2f xxaxx a=.（1）当1a=时，求函数()f x的单调区间和极值；（2）若函数()f x在区间)1,+上单调递增，求实数 a 的取值范围.16（本小题满分 15 分）函数()()e21xf xxaxa=+，()aR，e为自然对数的底数.（1）当1a=时，求曲线()yf x=在点()()1,1f处的切线方程；（2）当1a 时，若有且只有唯一整数0 x，满足()00f x，()1392nnafa+=+，求数列 na的通项公式；（3）在（2）的条件下，若()1nnbn a=，求数列 nb的前n项和为nS 18（本小题满分 17 分）已知函数()e sinxf xxkx=+（1）若()fx在()0,上单调，求参数 k 的取值范围；（2）若0,2x，()2f xx，求参数 k的取值范围 19（本小题满分 17 分）对于给定数列 na，若数列 nb满足：对任意*nN，都有()()110nnnnabab+，则称数列 nb是数列 na的“相伴数列”.（1）若nnnbac=+，且数列 nb是数列 na的“相伴数列”，试写出 nc的一个通项公式，并说明理由；（2）设21nan=，证明：不存在等差数列 nb，使得数列 nb是数列 na的“相伴数列”；（3）设12nna=,1 nnbb q=（其中0q 可得1x，由()0fx可得1x 且0 x，所以()f x在()(),0,0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，故选：D 6数列 na满足111122nnnaa+=，且112a=，若13na，则n的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】高二数学试卷 第 4 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司【分析】分析可知数列2nna是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列 na的通项公式，然后分析数列 na的单调性，可得结果.【详解】因为111122nnnaa+=，等式两边同时乘以12n+可得11221nnnnaa+=，所以，11221nnnnaa+=且121a=，所以，数列2nna等差数列，且首项和公差都为1，则211nnann=+=，所以，2nnna=，因为111111 212222nnnnnnnnnnnaa+=.当1n=时，1212aa=；当2n 时，1nnaa+，41143a=；当4n 时，13na.所以，13na，则n的最小值为4.故选：B.7已知数列 na满足：()()211nnnaannN+=，12a=，若存在n+N使得不等式22nna成立，则实数的取值范围是（）A.138 B.1 C.4332 D.0 【答案】A【解析】【分析】先根据递推公式求得21a=，再累加求得2222nann=+，代入可得2222nnn+后分析表达式()2222nnnf n+=的单调性与最小值即可【详解】当1n=时，()1221111aa=，故21a=.当n为偶数时，21nnaan+=，()2211nnaan+=+，两式相加有()222121nnaannn+=+=，故21a=，425aa=，649aa=，8613aa=，22243nnaan=+，累加可得是 高二数学试卷 第 5 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司()()2254311 59 13.431222nnnannn+=+=+=+，则存在n+N使得不等式22nna成立，即2222nnn+有解，故只需求()2222nnnf n+=的最小值即可.又()()()()221211222122nnnnnnf nf n+=()()222111213231222532222nnnnnnnnnnnn+=，故当1,2n=时()()10f nf n+，即()()1f nf n+，故当3n=时()f n取得最小值()()232 332134328ff+=，故()2222nnnf n+=的最小值为138，故138 故选：A 8已知1x，2x是函数()222lnf xxaxx=+的两个极值点，且12xx，1252xxa+=，121=x x，因不等式()12f xmx恒成立，即()12f xmx恒成立，因为()()21323211111111121112222ln22ln22lnf xxaxxxaxxxxxxxxxxx+=+=+3111122lnxxxx=+，所以()31111min22lnmxxxx+因为1252xxa+=，121=x x，得11152xx+，所以1102x，令()3122 ln02g xxxxxx=+，则()232ln0gxxx=+，所以()g x在10,2上单调递减，所以()min19ln228g xg=，故9ln28m ，故选：B 二、二、多项多项选择题：本题共选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9若曲线()20yaxa=与ln1yx=+存在公共切线，则实数 a 的可能取值是（）A.1 B.e C.e2 D.12【答案】ABC【解析】【分析】先分别设出切点，表示出两条切线，利用两条切线重合建立关系得到2221ln4xxa=，构造函数()2lng xxx=，求导确定值域，即可求出实数 a 的取值范围.为 高二数学试卷 第 7 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司【详解】设曲线2yax=在点 A（1x，1y）处的切线与ln1yx=+在 B（2x，2y）处的切线是公共切线，曲线2yax=，2yax=，则112kax=，所以切线方程为()1112yyaxxx=，即2112yax xax=，ln1yx=+，1yx=，则221kx=，所以切线方程为()2221yyxxx=，即221lnyxxx=+，1221212lnaxxaxx=，可得2221ln4xxa=，令()2lng xxx=，()()2ln1gxxx=+，当10,ex时，()0gx，()g x单调递增，min11()2eeggx=，又0 x 时，()0g x，x +时，()g x +，又104a，()11,0)0,42ea+，解得()e,0,)2a+.故选：ABC 10已知等差数列 na，其前 n 项的和为nS，则下列结论正确的是（）A.数列nSn是等差数列 B.数列2nSn不可能是等差数列 C.()9633SSS=D.若公差0d，且5835aa=，则当12n=时，nS取得最小值【答案】ACD【解析】高二数学试卷 第 8 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司【分析】由等差数列的前n项和公式求nS，由此判断 C，D，再根据等差数列定义判断 A，B 即可.【详解】设数列 na的公差为d，则1(1)2nn nSnad=+，所以91936Sad=+，61615Sad=+，3133Sad=+，所以()9633SSS=，C 正确；若5835aa=，则1232ad=，所以223(1)=12222nn ndSnddnnd=+，因为0d，所以当12n=时，nS取得最小值，D对，因为1(1)2nn nSnad=+，所以1(1)2nSnadn=+，所以1(1)(2)1222nnSSnndddnn=，所以数列nSn是等差数列，A对，12(1)2nSandnnn=+，所以1121Sa=，2121224Sad=+，31211333Sad=+，令3212232+212SSS=可得111111233adaad+=+，化简可得12da=，此时112(1)=2nSand annn=+，所以()1220(2)1nnSSnnn=，所以数列2nSn可能是等差数列，B 错，故选：ACD.11已知函数()()ln1f xxx=+，()()1exg xxa=+，则下列选项正确的有（）A.函数()f x在原点()0,0处的切线方程为0y=.B.存在实数()1,x +，使得不等式()()g xf x成立，则实数 a 的取值范围是1a .C.当()0,x+时，不等式()21ln1102xxx+.【答案】AC 高二数学试卷 第 9 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】对 A，根据导数的几何意义求解即可；对 B，举反例判断即可；对 C，令()()21ln112h xxxx=+，求导分析令()h x在()0,x+的单调区间与最大值判定即可；对 D，数形结合举反例判断即可【详解】对 A，()()ln11xfxxx=+，故()0ln10f=，故()f x在原点()0,0处的切线方程为0y=，故 A正确；对 B，当0a=时，()()001e100g=+=，()00f=，故存在()01,x=+使得不等式()()g xf x成立，故 B错误；对 C，令()()21ln112h xxxx=+，则()()ln11xhxxxx=+，又()()()()()()2222211111111111xxxxhxxxxx。